解析法證明平面幾何問題探索

李萍

摘 要：在數學中，經常遇到不同類型的幾何證明題，我們可以利用初等幾何的有關定義、定理來處理，但技巧性比較強.如果采用解析法，可以使問題的思路清晰簡單，它的優點是解決問題具有一般性和程序性.

關鍵詞：解析法；幾何問題；證明

一、平面幾何解析法的基本證明

平面幾何中，有一些基本結論，許多人知道，但不知道結論是如何來的。我們可以用解析法來證明。

例1.證明：三角形的三條高交于一點。

已知：AD，BE，CF分別是△ABC的三邊上的高。

即證明：（x3y2-x2y3）·（y4-y1）=-（x1y4-x4y1）·（y2-y3）

將上式整理得：y3y4（x1+x2）+y1y2（x3+x4）=x1y2y4+x2y1y3+x3y2y4+x4y1y3

注意到：y1=mx1，y2=mx2；y3=nx3；y3=nx4，代入整式得：

左邊=m2x1x2（x3+x4）+n2x3x4（x1+x2），右邊mnx1x2（x3+x4）+x3x4（x1+x2）

把上述韋達定理的結論代入得：

可見：左邊=右邊，故xQ=-xP，即AP=AQ。

三、平面幾何解析法的參數證明

例4.已知如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F.求證：∠DEN=∠F。

分析：如圖4，建立坐標。

總體思路：設點A、B、C、D坐標后，求出直線AD、MN、BC的斜率，從而求出兩個角度的正切值，證明這兩個角度的正切值相等即可。

問題的關鍵是：如何設點C、D的坐標更方便？由已知條件AD=BC，而C、D兩點是相互獨立運動的，故把點C、D看作是圓周上的動點.設AD=BC=r，則C點可以看作是以B為圓心，r為半徑的圓周上的動點，類似看待D點，故，設C（a+rcosθ，rsinθ）、D（-a+rcosθ，rsinθ），

四、平面幾何解析法的延伸證明

證三點共線，常用的方法有：（1）先建立過兩點的直線方程，再驗證第三點也適合這個方程；（2）若能證得kAB=kBC，則A，B，C三點共線；（3）點Ai（Xi，Yi）（i=1，2，3）共線的充要條件為x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0。

證明三線共點，常用的方法有：（1）利用定比分點公式，分別求出三條線上某分點坐標，若求得相同，因直角坐標平面上的點和坐標一一對應，故三線共點，（2）三條互不平行直線li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）若A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3=0，則l1，l2，l3相交于一點。

證明諸點共圓，可先求出有關各點坐標，再利用兩點間距離公式證這點到某一定點的距離相等；也可先建立過三點的圓的方程，再證其余點適合圓的方程。

分析：以AD，AB為坐標軸，引進直角坐標系，因A、B、C、D各點坐標為已知，故可求出E，F兩點的坐標然后求出直線AE，BF的方程，它們的交點M坐標由此可求出，最后把點M的坐標代入正方形ABCD的外接圓方程，即可得證。

從以上可以看出，解析法證明平面幾何問題的優點在于解決幾何問題時有一個比較固定的思考步驟，思路較明顯.由一系列的運算與推理即可得到證明的結果。實現幾何問題與代數問題的相互轉化，而這不正是數形結合的重要體現嗎？

參考文獻：

茹雙林.解析法證明平面幾何問題[J].中等數學，1997（03）.

編輯 鄭 淼