輕質細桿和小球組成系統的角動量與能量守恒問題研究

陳建 潘娜娜 陳希明

摘 要：該文從物理學教學過程中的一道常見習題出發，詳細分析了守恒思想在輕質細桿和小球組成的系統中的應用，一方面從動量守恒與角動量守恒成立的條件出發，分析了動量守恒在處理該問題時存在的爭議；另一方面，考慮能量條件判據，指出該道習題設計中存在的科學性錯誤，并結合角動量守恒與能量條件判據，對該問題從兩個方面進行了修正，通過改變小球對心碰撞后的返回速度和考慮細桿的質量，得到了滿足角動量守恒和能量守恒的自洽條件。

關鍵詞：系統 角動量 能量 守恒條件

中圖分類號：0313 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（a）-0136-01

守恒是物理學中一種常用且重要的思想，即在物理變化的過程中通過尋找整個過程或者過程前后不變的關系對各個變化量進行分析[1]。但是該研究者在教學過程中發現，一些常見習題的設計在科學性上存在問題，這勢必給學生的學習造成困惑。

如圖1所示，靜止在水平光滑桌面上長為的輕質細桿（質量忽略不計）兩端分別固定質量為和的小球。系統可繞距離質量為的小球處的點在水平桌面上轉動。今有一質量為的小球以水平速度沿細桿垂直方向，與質量為的小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，求碰后細桿獲得的角速度。

此題的一般解法是：將三個小球抽象為質點，并取三個小球和輕質細桿作為研究對象，點為參考點。由于各質點所受的重力和桌面對它們的支持力大小相等、方向相反且作用在同一條直線上，所以這些力對點的力矩的矢量和為零。同時，點對輕質細桿的作用力對點的力矩為零。因此，系統對點所受的合外力矩為零，相應的，系統對點的角動量守恒，取垂直于紙面向外為正方向，即

，

（1）

解之得。但是，該研究者在教學的過程中發現，有不少同學籠統地認為輕質細桿與三個小球組成的系統碰撞前后在水平方向動量守恒，于是得到了的矛盾結果，究其原因可知此種方法忽略了碰撞瞬間支點處對棒的水平沖擊力[2-3]。

基于對該問題的求解，我們進一步考慮碰撞前后系統的能量。取水平桌面為重力勢能零點，碰撞前系統總的能量為小球1的動能，碰撞后系統總的能量為三個小球的動能。整理發現，即碰撞后系統的能量大于碰撞前。但在碰撞前后，每個小球所受的重力、支持力以及支點處對棒的水平沖擊力對系統不做功，且對心碰撞的過程系統的機械能應當保持不變或者損失，因此的能量不等式明顯違背了能量守恒定律。

為了解決這一問題，我們可以考慮從兩個方面加以修正：

修正1：改變小球1對心碰撞后的返回速度并假設其為。結合系統對點的角動量守恒和能量條件，有

，

（2）

，

（3）

解得只有時才能與能量守恒定律不矛盾。

修正2：考慮細桿為剛體，其質量為，且為了簡便起見我們認為細桿質量均勻分布。

考慮三個小球與細桿組成系統對點的角動量守恒條件和能量條件：

，（4）

，（5）

發現只有滿足時，此題才能與能量守恒定律自洽。

物理習題的科學性在很大程度上影響著學生對客觀規律的理解，因此我們在習題設計的時候務必仔細斟酌，保證習題的科學性與嚴謹性。

參考文獻

[1] 王貴忠，藥樹棟，霍建新.大學物理學課程中蘊含的物理學思想[J].晉中學院學報，2010，27（3）：16-18.

[2] 王宗昌.木棒和子彈組成系統的動量守恒問題[J].南陽師范學院學報，2005，4（9）：36-37.

[3] 邱曉燕，唐志海.一道力學碰撞問題中動量守恒與角動量守恒辨析[J].物理教學探討，2011，29（11）：40-41.