附加約束條件的井下控制網變參數序貫平差

徐凱帆 張書畢 鮑 國

(1.廣東省重工建筑設計院有限公司，廣東 廣州510034;2.江蘇省資源環境信息工程重點實驗室，江蘇徐州221116;3.中國礦業大學環境與測繪學院，江蘇徐州221116;4.中國人民解放軍空軍勤務學院機場工程與保障系，江蘇徐州221008)

井下控制網測量不僅為井下提供準確的空間基準，也為礦山安全生產提供所需的各項數據，在礦業開發過程中發揮著重要作用［1-8］。由于受井下巷道條件的限制，控制網一般以導線的形式沿巷道分期布設［1，9］。隨著巷道的掘進，需要加測一定數量的陀螺定向邊來提高井下控制網的精度。在控制網內業計算時，傳統方法是對各期觀測數據進行獨立的平差計算［1］，但由于受到系統誤差的影響，導致控制網局部誤差累積過大。此外，每期控制網平差計算的起算點位置不同，在一定程度上影響了點位精度的評定。若采用傳統方法對各期的觀測值進行整體平差，可能會由于前幾觀測數據的部分丟失給整體平差帶來困難。為此，利用前期控制網點的平差值和方差、協方差矩陣，結合新的觀測值推導變參數序貫平差模型，并利用無限權理論將陀螺方位角條件轉化為變參數序貫平差模型的觀測方程。

1 理論分析

1.1 變參數序貫平差

變參數序貫平差是指在平差過程中的未知參數的數量有增有減［6-8］，主要包括3 種情況:①第2 次平差增加新的參數;②第2 次平差的參數僅為第1 次平差參數的一部分;③上述2 種情況的綜合。為了便于推導，給出井下控制網2 期觀測值的誤差方程

式中，V1、V2分別為2 期觀測值的改正數矩陣; 為第1 期出現的參數；為2 期共有的參數;為第2期新增加的參數;A、B1、B2和C 為系數矩陣;l1和l2為常數向量。

對式(1)進行第1 次平差，其法方程為［10-12］

式中，P1為第1 期觀測值的權陣;和為第1 次平差參數的改正數。

Ea、Eb為單位矩陣，分別為參數改正數的系數矩陣。令

根據最小二乘原理，令

將式(4)代入式(5)，整理后得到法方程為

式中，P1和P2分別為2 期觀測值的權陣。

由(6)式可得參數平差值為

精度評定時，單位權中誤差估值可表示為［13-17］

式中，t 為獨立參數的個數;n 為觀測值個數;P 為2期觀測值的權陣;VTPV 可進一步地表示為

1.2 附加約束條件

井下布設基本控制導線時，一般每間隔1. 5 ～2.0 km 加測1 條陀螺定向邊。對于已經建立井下控制網的礦井，為了提高井下控制網的平面精度，有時需要加測一定數量的陀螺定向邊(見圖1)。在數據處理時，通常將陀螺定向邊作為堅強邊處理［1］，即將實測的陀螺定向邊方位角作為約束條件參與控制網的平差計算。

圖1 陀螺定向邊Fig.1 Gyro directional edge

圖1 中，gf 為一條陀螺定向邊，當以陀螺定向邊方位角為約束條件時，觀測值為真值應滿足

式中，Lgf為陀螺定向邊方位角觀測值，(°);αgf為坐標平差值反算的坐標方位角，(°)。

將式(10)線性化后可得待求參數的限制條件方程，該方程與式(1)、式(2)為2 種不同類型的方程，不便于利用變參數序貫平差模型進行計算。為此，根據無限權理論［6］，將陀螺定向邊方位角作為一般觀測值處理。此時，該觀測值對應的權值為

式(11)表明陀螺方位角值的權重無窮大，即對應觀測值的改正數為0。

由近似坐標改正數引起的近似坐標方位角的改正數為δαfg，即

式中，Vgyr為陀螺方位角改正數;Lgyr為陀螺方位角觀測值。

將式(13)整理后，得

式(14)為陀螺定向邊的觀測值誤差方程，可與水平角、邊長觀測值的誤差方程統一表示為式(1)、式(2)的形式，可利用變參數序貫平差模型進行求解。

1.3 權陣的確定

2 實例分析

2.1 井下控制網概況

井下控制網往往隨井下巷道的道掘進而逐步布設。圖2 為某礦井7″級局部導線網，共由119 個點組成，導線全長約12 km，其中JB1和JB2為已知點。第1 期形成的網形僅為一條與JB1點相連的閉合導線。虛線框中的導線及WE1－WE2、YS7－YS8和XF22－XF23為第2 期施測的3 條陀螺定向邊，其中陀螺定向邊被視為堅強邊，且3 條陀螺定向邊距起算點JB1分別為1.5，3，6 km?，F需要實現2 期控制網的整體平差。

2.2 平差結果分析

2.2.1 定權系數確定

陀螺定向邊作為堅強邊處理時，雖然其權值Pg→+ ∞，但在實際應用中為了避免法方程病態［18-20］，陀螺定向邊觀測值的權值(Pg)往往選取一個有限值，根據觀測值權的定義

圖3 不同定權系數對應的陀螺定向邊方位角差值Fig.3 Azimuth variation of Gyro directional edges with different weight coefficient

由圖3 可知，當定權系數m = 1 時，最大的差值達到5.1″，但隨著m 值增大，陀螺邊方位角的差值迅速減小，當m = 3 時，各陀螺邊方位角的平差值與已知值之差均小于1″;當m = 10 時，其差值均小于0.1″;當m = 20 時，各陀螺定向邊的平差值與已知值之差均小于0.01″。

為了全面分析定權系數的取值對平差結果的影響，表1 給出了m =1 ～20 時，陀螺定向邊各端點坐標的變化量。

表1 陀螺定向邊各端點坐標變化量Table 1 Coordinate variation of each gyro directional edge endpoint

由表1 可知，陀螺定向邊距起算點越近，其端點坐標的變化量則越大。

2.2.2 平差結果驗證

井下控制網平差計算分別采用2 種方法進行:①利用控制網2 期完整的觀測數據，采用附有限制條件的間接平差方法進行整體平差，該結果視為真值;②根據控制網第1 期平差結果，采用附加約束條件的變參數序貫平差模型進行控制網整體平差，其中，定權系數m 取20。為了全面比較2 種方法平差結果的差異，圖4 給出了控制網各點的坐標差。

圖4 各控制點坐標殘差值Fig.4 Coordinate residuals of each control point

由圖4可知，坐標差值均小于0. 03mm，超出了結果需要保留的有效位數，其差值可以忽略不計。也就是說，如果坐標殘差值以毫米為單位，結果保留至0.1 mm，單位權中誤差以秒為單位，保留至0.1″時，則2 種方法平差結果的精度完全一致。但文中提出的平差模型無需存儲控制網的前期觀測值，即使前期數據丟失，仍可根據前期的平差結果進行計算，以達到整體平差的效果。

3 結 論

(1)變參數序貫平差模型僅需前期計算結果，便可實現井下控制網多期觀測整體平差，可有效克服控制網前期觀測數據丟失給整體平差帶來的困難。

(2)在井下控制網整體平差時，可利用無限權理論將陀螺堅強邊轉化為變參數序貫平差模型的觀測方程。實例分析結果表明，陀螺邊的定權系數m 取20 時，可滿足井下控制網計算的精度要求。

(3)附加限制條件的變參數序貫平差模型思路簡單、易于編程、無需前期觀測數據，適用于井下分期布設的控制網整體平差。

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