一種對稱斜置式四陀螺慣導冗余配置方案*

程建華，董金魯，陳岱岱

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引 言

余度技術是現代容錯技術用于提高慣性導航系統可靠性最常采用的技術之一［1～3］。系統級冗余和器件級冗余是最常用的余度技術［4，5］，在過去的幾十年里，系統級冗余有許多成功的應用案例，例如:前蘇聯的東方號、聯盟號飛船就采用兩套冗余慣導系統，一套為安裝于一級儀器艙的平臺式慣導系統，另一套為安裝于二級儀器艙的捷聯式慣導系統［6］，但其體積、重量隨著冗余數量的增加而成倍增加。對于捷聯式慣導系統，可使用器件級余度技術，即通過增加慣性測量元件(陀螺儀或加速度計)的個數進行冗余配置來實現余度技術，從而達到提高系統可靠性和容錯能力的目的。例如:美國Honeywell 公司基于正十二面體結構，設計了基于6 個激光陀螺構成的冗余式慣導系統，大幅提升了系統的可靠性，并應用于波音777 飛機［7］。美國航天局將4 個呈錐形安裝的陀螺儀應用于EOS—AQUA 衛星［8］。國內，第三代航天器的核心部件也采用了多余度的設計方案。

對于艦船慣導系統，由于慣性器件自身體積較大，單純通過增加慣性器件數目雖然能提高系統可靠性，但同時也大大增加了慣導系統的體積、重量等。因此，研究慣性器件較少情況下的可靠性提升方法，對于艦船捷聯式慣導系統，具有重要的實際意義。

基于此，本文針對四陀螺配置的冗余式捷聯慣導系統方案，在分析和驗證冗余優化準則性能的基礎上，設計了一種基于對稱式配置方案的冗余式捷聯慣導系統方案，并通過可靠性和精度分析，對方案的有效性進行驗證。

1 冗余優化準則等價性

對于采用n 個單自由度陀螺儀的捷聯慣導系統，陀螺儀的量測輸入可由方程(1)表述［9］

式中 m 為n×1 維慣性測量矢量;H 為n×3 維配置矩陣;X 為3×1 維待求矢量;η 為n×1 維測量噪聲矢量。

設測量噪聲η 為零均值、方差為σ2的高斯白噪聲，其統計特性為

其中，In為n×n 單位矩陣。

根據線性最小方差理論，可以求出捷聯慣導導航解算輸入X 的估計值

同時，基于式(2)可得到相應的估計誤差協方差矩陣為

定義導航特性的最優準則為

由式(5)可知，J 是估計協方差矩陣跡的最小值，只與配置矩陣H 和誤差方差σ2有關。

根據文獻［4］可知，J=min{trace(C)}等價于

即當配置矩陣滿足式(6)時，J 取估計協方差矩陣跡的最小值。

式(6)所示的最優準則可采用其他參數進行表征。設噪聲η 為零均值高斯白噪聲，相應的概率密度函數為［10］

式中 G=(HTH)－1，η 的軌跡滿足

K 為放大因子，式(8)表示一個橢球族，給定一個K 值，即可得到一個固定的橢球，相應的橢球體積可表示為

對于式(9)，體積V 越小，則噪聲η 產生的誤差就越小，從而系統的導航特性就越好，定義最優準則為

F 取值越小，噪聲η 產生誤差的橢球體積就越小，當滿足式(6)所示的條件時，F 取最小值，即噪聲產生的誤差的橢球體積最小，則系統的導航特性最優。從式(5)、式(6)和式(10)可知，當配置矩陣H 滿足式(6)時，式(5)和式(10)均取最小值，因此，本文中所提到的兩種優化準則在數值運算上等價。

2 冗余配置方案可靠度

在計算系統可靠度時，通常先做如下假設:

1)冗余配置采用單自由度陀螺儀，且只考慮陀螺儀發生故障，可靠度為e－λt，記為R(t)［11］;

2)各陀螺儀等概率發生故障，且相互獨立。

單個陀螺儀的可靠性表達式為

其中，λ 為故障率，則單個陀螺儀的平均無故障時間(mean time between failures，MTBF)為

對于無冗余系統，其可靠度為

對應MTBF 為

由式(11)～式(14)可知，當系統沒有冗余時，系統的可靠性很低(僅考慮陀螺儀發生故障)，僅為單個陀螺儀的1/3。

3 冗余配置方案性能分析

圖1 給出了三種最常見的四陀螺冗余配置方案分別是:正交配置方案、斜置配置方案、圓錐配置方案。

圖1 四陀螺冗余配置示意圖Fig 1 Diagram of redundancy configuration of four gyros

對于圖1(a)所示的正交配置方案，可推得其陀螺儀量測方程為

其中，ma=［m1m2m3m4］T為測量值，ωa=［ωxωyωz］T為角速率待求值，Ha為配置矩陣。

對于圖1(b)中的斜置方案，其3 個陀螺儀為正交安裝方式，最后一個測量軸與前3 個測量軸等夾角安裝，即α=β=γ=54.73°。由配置方案可推得陀螺儀量測方程為

對于圖1(c)所示的圓錐配置方案，4 個陀螺儀的測量軸均勻分布在圓錐面上，圓錐的半圓錐角為α=54.73°，且測量軸分別分布在xoz 平面、yoz 平面、－xoz 平面、－yoz 平面上。由配置方案可推得陀螺儀的量測方程為

3.1 導航性能比對

根據各夾角，可得出圖1(b)，(c)方案具體配置矩陣

表1 不同配置方案F 值Tab 1 Value of F in different configuration schemes

從表1 可以看出:Fa，Fb值最大，Fc值較小。這說明正交的配置方案，其導航特性較斜置配置方案的特性差。

3.2 可靠度比對

按照式(13)，可計算圖1(a)方案的可靠度為

對應MTBF 為

由于圖1(b)，(c)方案任意3 個陀螺儀都不共面，則其構成的冗余系統正常工作的概率相等，可靠度為

對應MTBF 為

將式(18)～式(21)的計算結果列表如表2。

表2 單自由度陀螺儀系統的可靠度與MTBFTab 2 Reliability and MTBF of single degree of freedom gyros system

由表2 可以看出:4 個單自由度陀螺儀構成的冗余系統比無冗余系統可靠度高，說明利用敏感器件進行冗余是提高系統可度性的重要方法，圖1(b)，(c)所示方案的可靠度大于方案(a)，即在陀螺儀數量相同的情況下，斜置方案優于正交方案。

4 對稱斜置式冗余配置方案

基于前述分析可知，斜置式冗余方案在導航性能和可靠性方面均優于正交配置方案。因此，提出新的對稱式斜置配置方案如下:

構建五面體使其側面與底面夾角為54.73°，側面為等邊三角形，底面為正方形。選取底面中心為坐標原點，以底面對角線分別為x 軸、y 軸，z 軸與x 軸y 軸構成右手直角坐標系。將4 個陀螺儀測量軸分別垂直于五面體的4 個側面，測量軸1 與x 負半軸、y 負半軸和z 正半軸夾角均為α，測量軸2 與x 正半軸、y 負半軸和z 正半軸夾角均為α，測量軸3 與x 正半軸、y 正半軸和z 正半軸夾角均為α，測量軸4 與x 負半軸、y 正半軸和z 正半軸夾角均為α，如圖2所示。

圖2 對稱式四陀螺配置方案示意圖Fig 2 Diagram of symmetrical configuration scheme of four gyros

根據配置方案，可列出其量測方程為

其中，md=［m1m2m3m4］T為測量值，ωd=［ωxωyωz］T為角速率待求值，Hd為配置矩陣。

當α=54.73°時，可計算得對稱斜置式方案的配置矩陣

根據α=54.73°和五面體的側面與底面的夾角也為54.73°可以推得:測量軸1 的方向相當于以x 負半軸、y 負半軸和z 正半軸方向的單位向量所構成的正方體的體對角線方向，其余測量軸方向類似推出。

根據式(10)可計算其F 值為

將Fd值與表1 的計算結果進行比較可知，Fd值最小。根據優化準則可知，對稱式斜置方案是這4 個方案中最優的配置方案，易求

同時，由于對稱式配置方案的任意三個陀螺儀均不共面，則其構成的冗余系統正常工作的概率相等，亦可按照式(20)、式(21)計算可靠度和平均無故障時間，計算結果與圓錐型配置相同。

圖3 給出了四類配置方案隨時間變化的可靠度曲線，其中，假設單個陀螺儀的MTBF 為5 000 h。

圖3 冗余配置系統隨時間變化的可靠度曲線Fig 3 Reliability curves of change with time redundancy configuration system

從圖3 可以看出:冗余方案的可靠度始終高于非冗余方案，且在任意時刻方案(b)，(c)，(d)的可靠度始終最高。

通過上述的計算和分析可知，對稱式配置方案是冗余數為4 時的最優配置方案，且優于圓錐型配置方案。

5 冗余配置方案精度分析

5.1 無故障情況

配置方案中的陀螺儀全部正常工作，根據公式(4)可知，系統的精度與配置矩陣H 和噪聲方差σ2有關，噪聲方差不可控制，因此，可以通過選擇不同的配置矩陣來控制系統的估計精度?？梢缘玫剿姆N配置方案的M 值如表3 所示。

表3 不同配置方案M 值Tab 3 Value of M in different configuration schemes

其中，M=det(HTH)，通過表3 可以看出:這4 個方案在陀螺儀全部正常工作時，測量精度相近。

5.2 單故障情況

選取工作模式124，則行列式的值為

同理，可求出配置方案(a)，(b)，(c)，(d)其他工作模式的行列式值，計算結果如表4 所示。

表4 單自由度陀螺儀工作模式精度計算Tab 4 Precision calculation of single degree of freedom gyros working mode

從表4 可以看出:方案(a)和方案(b)的123 工作模式的精度最高，它們均為正交配置，可見正交的配置方案比斜置的配置方案精度高。但方案(d)與方案(a)精度相差并不大，而且，方案(d)的各個工作模式的精度均相等，具有很好的一致性，這一點優于方案(a)和方案(b)，方案(c)精度稍小于方案(d)的精度。因此，在優先考慮系統可靠性指標的前提下，綜合考慮系統精度一致性，方案(d)是冗余數為4 時的最優配置方案之一。

6 結 論

針對四陀螺配置的冗余式捷聯系統技術，以提高系統可靠性和導航性能為關鍵指標，在分析正交配置、斜置配置和圓錐配置的基礎上，提出了對稱斜置式四陀螺的冗余配置方案，并通過精度一致性、可靠性等分析驗證了所提方案的有效性。這對于提高捷聯式慣導系統的可靠性和精度，具有重要的實際意義。

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