帶電粒子在勻強電磁場中的運動軌跡

王靜

摘 要：用微積分的方法，討論帶電粒子在勻強電磁場中的運動軌跡得出帶電粒子在勻強電磁場中的運動軌跡是螺旋線的結論，目的是加深帶電粒子在電磁場中運動問題的理解。

關鍵詞：電磁場；帶電粒子；螺旋線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）19-008-01

在一般的大學物理教材中，對帶電粒子在電磁場中運動狀態的分析，都是針對一些特殊情況進行的，并沒有就帶電粒子在電磁場中運動的更一般情況進行全面的分析，本文從帶電粒子在恒定勻強電磁場中所受到的力出發，用微積分的方法系統地研究其運動的狀態，并導出其運動軌跡方程———螺旋線。

一、帶電粒子在勻強正交電磁場中運動方程分析

和一般情況相同，設帶電粒子所處電磁場的電場和磁場是相互垂直的。

設粒子在電磁場的作用下，t時刻運動至空間中的 p（x，y，z）點，且粒子在該點所具有的速度為：

在此過程中在x軸方向所受到的合外力為： ，則根據動量定理有：

根據如上的參數方程，很顯然，帶電粒子在互相垂直的勻強電場和勻強磁場中的運動軌跡為螺旋線，軌跡方程為：

二、下面討論幾種特殊情況

根據以上分析得到的結果，在一般情況下，帶電粒子在均勻電磁場中的運動可以看成是3個運動的合運動。 其中在z 軸上是一個勻速直線運動；在xy平面上是一個勻速圓周運動和一個沿x軸的勻速直線運動。圖2中螺旋曲線是一般情況下帶電粒子的運動軌跡。

在一些特殊條件下，帶電粒子可能只參與以上3個運動中的一到兩個運動，下面我們將分幾種不同的情況進行討論。

如果空間電場和磁場的方向互相平行（ = 0），且帶電粒子的x y 平面上的分速度不為零，則粒子的運動可以看成是兩個運動的合成，即在z 軸方向的勻加速直線運動和在x y 平面上的勻速圓周運動。 其運動軌跡如圖3所示。

1、如果空間電場和磁場的方向互相平行（ =0），且帶電粒子在x y 平面上的分速度為零，則粒子只有一個運動， 即沿z 軸方向的勻加速直線運動。

2、如果空間電場和磁場的方向互相垂直（ =0），且帶電粒子在z軸上的分速度為零，則粒子的運動可以看成是兩個運動的合成，即在x軸方向的勻速直線運動和在xy 平面上的勻圓周運動。

3、如果空間電場和磁場的方向互相垂直（ =0），帶電粒子在y軸和z軸上的分速度為零，且在x軸上的分速度為 。則粒子只有一個運動，即沿x 軸方向的勻速直線動。

運動的帶電粒子在勻強電磁場中要同時受到電場力和磁場力的作用。

由牛頓第二定律得到其運動基本方程：

通過解微分方程，可求出x，y，z，分析其運動軌跡，這樣會解出一般方程（螺旋線）和特殊方程（勻速直線或勻速圓周運動等）。

參考文獻：

[1] 賈起民；鄭永令；陳暨耀.電磁學.高等教育出版社.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學.高等教育出版社.

[3] 梁燦彬.電磁學.高等教育出版社.

[4] 鄧明成.新編大學物理學.科學出版社.