硬幣中的不可思議

方弦

硬幣除了可以買東西，也可以用來解決各種爭端。據說，遇到不可調解的分歧的時候，為了作出決定，人們的首選是猜拳，其次是拋硬幣。足球場上開球方的決定，習慣上也是用硬幣決定的。除此之外，硬幣作為垂手可得的小道具，也能玩出各種花樣的小游戲。對于這些小游戲，你又知道多少呢？

硬幣正反不一樣

如果硬幣兩面是完全一樣的，顯然擲出正面或者反面的可能性是均等的。我們常說，正反面出現的概率都是0.5。那么，這里的“概率”是什么意思呢？

如果我們不停地投擲硬幣，并記錄下每次的結果，我們會發現正面出現的數量大約是全部的一半。投擲的次數越多，“出現正面”所占的比例就越接近0.5。這就是概率的含義：如果在許多次獨立的試驗中，某個特定的事件發生的比例會逐漸趨近一個特定的數值，那么這個數值就被稱為這個特定事件的概率。

我們可能覺得擲硬幣時，正反面出現的概率是一樣的，其實不然。由于設計的原因，硬幣正反面的花紋是不一樣的，從而也導致了重心與中心的微小偏差。以人民幣一元硬幣來說，正面是代表面額的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面;歐元就更麻煩了，不同的鑄幣廠會鑄出不同的背面花紋，重心偏向也因這些花紋而異。由于重心有偏向，所以擲硬幣時，正反面出現的概率也會有些偏差。幸好花紋導致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不計。

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【歐元硬幣圖案一覽】

盡管可以忽略不計，但有沒有辦法修正這個偏差呢？換句話說，能不能找到一個方法，讓有偏差的硬幣產生無偏差的結果呢？

假設某枚硬幣擲出正面的概率是p，我們用以下的方法產生拋硬幣的結果：擲兩次硬幣，如果兩次的結果相反的話，取后擲出的為結果;否則重新擲兩次。更具體地說，如果結果是“反正”的話，那就當作擲出了正面，如果是“正反”的話，那就當作反面，如果是“正正”或者“反反”的話，那就重新再來。這樣的話，在一次嘗試中，結果為正面和反面的概率都是p（1-p），結果是完全公平的。

正反抵消不容易

擲100次硬幣，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？10000次呢？現實中的硬幣，擲出正反面的概率略有偏差，但差別之小可以看作相同。你可能會覺得，擲出正面和反面的數目有很大概率是相等的。但事實如何？

雖然根據概率論中的大數定律，正反面出現次數的比應該很接近1，但這不代表正反面數目剛好抵消的概率很大。打個不太恰當的比方，地鐵相對來說是很準時的，但是要它一天提前或者延誤的時間剛好抵消的話，還是相當困難的。盡管得到正面和反面的概率相同，但是要它們恰好相互抵消，這也需要一點運氣。稍稍用點數學知識可以知道，拋2n次硬幣，恰好有n次正面n次反面的概率大概是1/nπ——√。當n越來越大，這個概率越來越趨近0。也就是說，雖然正反面出現的概率相同，但是它們恰好相等的概率會隨著拋硬幣的總次數變低，最后越來越接近0。

所以說，在表達數學問題時，一定要用精確的語言。意思上一點點微小的變動，也會產生截然不同的結果。我們說投擲硬幣時出現正面的概率是0.5，說的是在許許多多次投擲后，結果中正面所占的比例會非常接近0.5，投擲次數越多，比例越接近0.5。但這并不是說比例會非常湊巧地穩穩停在0.5。實際上，在很多情況下，這個比例會不停地在0.5周圍浮動，但浮動的幅度會越來越小，也會越來越靠近0.5。某幾次投擲之后正面恰好占一半，這種情況發生的機會反而很小。

誰先誰后輕松選

如果你跟你的小伙伴一起玩游戲要決定誰先誰后的話，拋個硬幣是個很好的解決方案。但是如果小伙伴不止一位的話，單靠硬幣可能就不太容易解決問題了。如果要從四個人里公平地挑出一個，擲兩次硬幣，將四種不同的結果（正正、正反、反正、反反）分別指派給每個人，擲出哪種結果就選哪個人，這種方法還是挺方便的。但如果只有三個人呢？

三個人的時候，有一種比較顯而易見的解決方法：同樣擲兩次硬幣，將正正、正反、反正三種結果指派給三個人，如果擲出的結果是指定的結果之一，那么就選出對應的人;否則，如果運氣不好擲出“反反”的話就重新開始另一輪硬幣的投擲。顯然這種方法保證了公平性，因為在每輪擲硬幣中，每種結果出現的概率是相同的。但會不會運氣不好，一連好幾輪都擲出“反反”，需要重新開始？

我們可以算一算。每一輪擲出“反反”重新開始的概率恰好是1/4，而n輪都出現如此情況的概率是1/4的n次方，當n越來越大的時候，這個概率很快地會變得越來越小。直觀看來，一輪不能決出結果的概率也不高，所以大概不需要拖上很長時間。更嚴格的計算表明，用這種方案從三個人中選出一個，平均只需要投擲8/3次硬幣就能完成，算上來大約比兩次多一點點，說明這種方法還是很有效的。

實際上，這種方法可以推廣到任意人數，而且也能證明，平均需要投擲硬幣的次數一定不會太多，隨著人數增長，平均投擲次數也會增長，但是要緩慢得多。

尼姆游戲有乾坤

硬幣除了能解決分歧，還能用來玩玩游戲。其中一種游戲非常有名，叫“尼姆游戲”。這個游戲的玩法很簡單，先將硬幣分成幾堆，然后兩個人輪流取硬幣，每次取硬幣只能從同一堆中取出，枚數不限，但至少要取一枚，取走最后一枚硬幣的就是贏家。

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【尼姆游戲很流行的一個版本】

比如說，甲乙二人玩這個游戲，開局有三堆硬幣，分別有3、5、7枚。甲先取走第二堆中的4枚，每堆剩下3、1、7枚，接下來乙取走第三堆的所有硬幣，剩下的就分別是3、1、0枚。接下來甲只要取走第一堆中的2枚，留給乙的就是各自有一枚硬幣的兩堆。這時，乙只能取走其中一堆，而甲只需要拿走剩下的一堆就能獲勝。

從這個例子能看出來，尼姆游戲中沒有運氣的成分，每位玩家都能看清整個局勢，而玩家能采取的行動也是一樣的，區別只是在于一位先攻而另一位后守。在博弈論這一研究游戲取勝策略的數學分支中，這樣的游戲被稱為無偏博弈。也正是博弈論中的一個定理，賦予了尼姆游戲一個非常特殊的地位：任意給定一個無偏博弈，它都對應一個推廣了的尼姆游戲的特例。可以說，尼姆游戲中包含了所有的無偏博弈，比如象棋、圍棋等，盡管這些更為復雜的游戲，它們對應的尼姆游戲特例中可能有很多堆硬幣，每堆硬幣可能會很多，甚至有無窮枚，需要用更為抽象的“序數”來描述。

讓我們回到普通的尼姆游戲中。在之前的例子中，如果甲乙雙方都依照最好的策略來玩尼姆游戲，哪一方將會勝出，而勝者需要采取怎么樣的策略？這個問題就留給小讀者們思考了。給個提示：最優策略與二進制有關，如果只有兩堆硬幣的話，獲勝者與策略都比較明顯，如果有三堆甚至更多的硬幣的話，從簡單的情況開始，試驗一下，再觀察一下，將每堆的數量用二進制寫出來，到底滿足什么樣的條件，先走者會勝利呢？

硬幣陣列需策略

另一種與尼姆游戲很相似的硬幣游戲叫“大嘴巴”，英語里叫“Chomp”。尼姆游戲的戰場是一堆硬幣，而“大嘴巴”的戰場則是排成長方形陣列的硬幣。規則與尼姆游戲非常類似：一開始桌面上擺放著m×n的長方形硬幣陣列（比如說5×7），兩人輪流取硬幣，每次指定桌面上剩下的硬幣之一，然后將這枚硬幣以及它右下方的所有硬幣都取走（包括正右方與正下方），陣列左上方的硬幣是特殊硬幣，誰拿到手誰就輸掉整場游戲。

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【3×5的大嘴巴游戲過程舉例】

雖然“大嘴巴”與尼姆游戲非常相似，但它們的性質相當不同。對于尼姆游戲而言，在不同的開局中，能取勝的玩家也不同，有的是先手必勝，有的是后手必勝，而且策略很容易算出來。但對于“大嘴巴”而言，除了一開始只放一枚硬幣的開局，對于所有開局來說，都是先手必勝。雖然證明并不復雜，但并沒有給出具體的獲勝策略。要知道具體的獲勝策略，目前還只能借助計算機的力量。所以，比起尼姆游戲，“大嘴巴”更有趣更復雜，更適合跟朋友一起玩。

叫上你的小伙伴，拿上一把硬幣，立刻探索一下簡單游戲的樸素樂趣吧！

（依據果殼網整合）