小題大作話“折疊”

☉江蘇省東臺市教育局教研室 周玉俊

小題大作話“折疊”

☉江蘇省東臺市教育局教研室 周玉俊

一、課本題解析

原題在線：新蘇科版（七）下第42頁復習題第19題.

如圖1，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內部點A′的位置，∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數量關系？為什么？

本題在設計思路和解題策略上具有一定的導向性，所以分析好本題的解題思路往往能起到舉一反三、觸類旁通的作用.下面讓我們一起對∠A′與∠1+∠2之間的關系進行探究.

圖1

圖2

思路1：如圖1，由四邊形AEA′D可知∠A+∠AEA′+∠A′+∠A′DA=360°.

由平角的定義可知：∠1+∠AEA′+∠2+∠A′DA= 360°.

所以∠1+∠2=∠A+∠A′.

由折疊得：∠A=∠A′，即∠1+∠2=2∠A′.

思路2：如圖2，連接AA′，由三角形外角的性質可知：

∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A.

所以∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠A+∠A′.

即∠1+∠2=2∠A′.

點評：思路1中巧妙地運用了兩個平角的和及四邊形的內角和均為360°來探尋∠A′與∠1+∠2之間的關系；思路2中主要通過構造三角形，運用其外角的性質進行轉化.兩種方法思路雖然不同，但都達到了溝通∠A′與∠1+∠2之間關系的目的.

二、演變與探究

除了對∠A′與∠1+∠2之間關系進行探究，能否對折疊的方式進行適當的變化，讓探究繼續進行下去呢？下面，我們一起來看看這樣幾種變化.

探究一：改變折疊后點的落點位置，使點落在四邊形外部

如圖3，若把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部點A′的位置，則∠A′與∠1、∠2之間又有怎樣的數量關系呢？

圖4

圖3

思路分析：運用原題中的思路2，尋找三角形的外角進行轉化.

由∠1是△AEF的外角，得∠1=∠A+∠3.

同理，∠3=∠2+∠A′，則∠1=∠A+∠2+∠A′.

由于∠A=∠A′，則∠1-∠2=2∠A′.

如圖4，若把△ABC紙片沿DE折疊，使△A′DE覆蓋點C，且點A落在四邊形BCDE外部，則∠A′與∠1、∠2之間的數量關系是否發生變化？

思路分析：延長AC交EA′于F點，與圖3相比，A與C點的相對位置發生了變化，但∠1與∠EFA、∠A的關系，∠EFA與∠2、∠A′的關系始終保持不變，故∠A′與∠1、∠2之間的數量關系沒有發生變化，仍然為：∠1-∠2= 2∠A′.

點評：與原題相比，圖形的位置發生了改變，∠A′與∠1、∠2之間的數量關系也發生了變化，但用外角來轉化的方法并未改變.

探究二：折疊三角形的三個角，使折疊后的三個頂點落在三角形內部同一點處

如圖5，同樣地，把一個三角形紙片ABC折疊3次，使3個頂點重合于紙片的同一點P.試探究此時∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______°.

思路分析：由折疊得：∠A=∠EPD、∠B=∠FPG、∠C=∠HPI.由∠A+∠B+C=180°，得∠EPD+∠FPG+∠HPI=180°.

圖5

則∠α+∠β+∠γ=360°-180°=180°.

由于△EFP、△GHP、△IDP的內角和均為180°.故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°-（∠α+∠β+∠γ）= 360°.

點評：由課本習題中的折疊三角形的一個角，演變為折疊三個角，其變化自然，題目源于課本，卻又高于課本，解題時只需抓住折疊前后的不變量及三角形的內角和定理即能解決問題.

探究三：折疊三角形的三個角，使折疊后的三個頂點落在三角形內部，但不在同一點處

圖6

圖7

如圖6，如果把三角形紙片ABC折疊3次，3個頂點不重合于同一點P，那么在探究二中關于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°”的結論是否仍然成立呢？

思路1：如圖7，延長EA′、GB′、IC′，分別交FB′、HC′、DA′于點I、J、K.六邊形A′IB′JC′K的六個外角之和為360°.由折疊得：∠EA′D+∠FB′G+∠HC′I=∠A+∠B+∠C= 180°.

所以∠EIF+∠GJH+∠IKD=180°.

由△EFI、△GHJ、△IDK三個內角的和為540°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540°-180°=360°.

圖8

圖9

圖10

思路2：如圖8，在△FGB′、△HIC′、△DEA′中：

∠7+∠8+∠B′+∠9+∠10+∠C′+∠11+∠12+∠A′= 3×180°=540°.

∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12=540°-（∠A′+∠B′+∠C′）=540°-180°=360°.

由六邊形DEFGHI的內角和為720°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12）.

即：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-360°=360°.

點評：由折疊后的三個頂點落在三角形內部同一點處到不落在同一點處，體現了從特殊到一般的數學思想方法，在解題思路上離不開六邊形的內角和、折疊前的角等于折疊后的角等基本的解題方法.

探究四：由折疊三角形類比折疊四邊形

若將三角形紙片改成四邊形紙片，如圖9，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間又有何數量關系呢？

思路分析：如圖10，在四邊形ABFE和四邊形A′B′FE中：

∠A+∠B+∠6+∠4=360°，∠A′+∠B′+∠5+∠3= 360°.

所以2∠A+2∠B=720°-（∠3+∠4+∠5+∠6）①.

由∠1+∠3+∠4=180°，∠2+∠5+∠6=180°，所以∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°-（∠1+∠2）②.

把②代入①得：2∠A+2∠B=720°-360°+∠1+∠2.

則∠1+∠2=2∠A+2∠B-360°.

點評：以“折疊產生的不變量”為基礎，運用探究一中的解題思路，抓住兩個平角及四邊形的內角和為360°即可解決問題.

三、思考及感悟

習題教學要注重引導學生進行充分的變式探究.數學家波利亞說過：一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當地選擇某些有意義又不太復雜的題目去幫助學生挖掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智和推理能力.通過以上探究，我們的感悟是：在平時教學過程中，我們不能僅僅滿足于對課本題的簡單掌握，習題教學要學會“小題大作”，把一個簡單的數學問題，通過變式使問題逐步加深，變成問題串，讓學生在解決問題的過程中學到數學方法、深化數學思維，只有真正讓學生領悟解題的思路，掌握解題的方法，才能不斷提高分析問題和解決問題的能力，提升他們的數學核心素養，真正達到學以致用的目的.

解題過程中要讓學生親歷“數學化”思考的過程.數學課堂必須使學生有機會真正經歷“數學化”，這已成為越來越多的教師的共識.因此，教學中應采用多種教與學的方式，讓學生在獨立思考、探究學習、合作交流中學會學數學，用數學的思想、方法，創造性地解決問題，并在親歷“數學化”過程中獲得多種體驗.折疊是一種對稱變換，其本質上屬于軸對稱.折疊前后圖形的位置發生變化而形狀和大小不變.對于折疊較為復雜的問題，可以讓學生先實際操作，在此基礎上畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形折疊前后的數量和位置關系，繼而從中抽象出基本圖形和基本規律，找到解決這類問題的共性的方法.

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知的發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用.教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申.當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”的特點，并能在日常教學中更多地滲透到學生學習中去.同時，引導學生也嘗試“變題”，使他們自己去探索、分析、綜合，以全面提高學生的數學素質.Z