引例鋪路，啟發設問，引導反思
——2015年遼寧大連第26題思路突破與教學構思

☉江蘇省連云港市歡墩中學 張艷

引例鋪路，啟發設問，引導反思
——2015年遼寧大連第26題思路突破與教學構思

☉江蘇省連云港市歡墩中學 張艷

《中學數學》（2015年8月初中版）刊載了《眾里尋她千百度，最值卻在頂點處——2015年福州卷第26題的思路突破與解后反思》一文，筆者獨立演算了考題的解法，對作者發出的“眾里尋她千百度”的感嘆亦有共鳴，接著在研習2015年各地中考數學卷時，也碰到一道類似的考題，有些心得體會.本文就整理該考題的思路突破與教學構思，供研討.

一、考題與思路突破

考題：（2015年遼寧大連，第26題）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（2m，m），翻折矩形OABC，使點A與點C重合，得到折痕DE，設點B的對應點為F，折痕DE所在直線與y軸相交于點G，經過點C、F、D的拋物線為y＝ax2＋bx＋c.

（1）求點D的坐標（用含m的式子表示）.

（2）若點G的坐標為（0，-3），求該拋物線的解析式.

（3）在（2）的條件下，設線段CD的中點為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點P，使PM＝

EA？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由.

圖1

思路突破：（1）根據折疊的性質得：CF＝AB＝m，DF＝DB，∠DFC＝∠DBA＝90°，CE＝AE，∠CED＝∠AED.設CD＝x，則DF＝DB＝2m-x.根據勾股定理得：CF2＋DF2＝CD2，即m2＋（2m-x）2＝x2，解得x＝m，即點D的坐標為

（2）在（1）求解的基礎上，設法用含m的式子表示出點E的坐標，借助于△OEG∽△CDG帶來的比例式，可以構造關于m的方程，解出m＝2，從而明確點接下來重點處理點F的坐標，我們將圖形稍作分離成圖2.

圖2

作FH⊥CD于H，則∠FHC＝90°＝∠DFC.利用△FCH∽△DCF帶來的比例式，解出FH）.到此，C、D、F三點的坐標均得到明確，可以用待定系數法解出拋物線的解析式為y＝

（3）在（2）的條件下，即m＝2，可以很快確定CD＝AE＝待分析的PM＝而此時PM恰為CD的一半，于是可以想見以點M為圓心，CD為直徑的圓與拋物線的交點應該是符合要求的.于是構造圖3分析：

圖3

根據直徑所對的圓周角為直角，可知圖中點F就是符合題意的一個點P，即點再根據圓、拋物線的軸對稱性質可以求出另一個點P

二、解題教學構思

以下再從解題教學的角度，使用考題開展教學時構思一份“微教學設計”.

（一）開課引入

題1：如圖4，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點E、F在邊BC、AD上，沿EF折疊矩形，過頂點A、C重合，則CE＝______，EF＝______.

圖4

）在同一直線上，求m的值.

題3：二次函數y＝ax2＋bx＋2的圖像經過）兩點，試求a、b的值.

預設意圖：針對考題將要涉及的一些基本圖形、基本解題經驗，預設上述三道小題，以便學生進入后續考題探究時有所準備.

（二）考題初探

出示考題，學生獨思考之后，預設系列啟發性問題.

問題1：寫出圖1中頂點A、C的坐標.

問題2：若設BD＝x，用含x的式子表示CD.

問題3：在直角三角形CDF中，能否構造一個方程求出問題2中的x？（用含m的式子表示）

問題4：用含m的式子表示點E的坐標.

……

預設意圖：通過上述系列啟發性問題，讓學生對題干呈現出來的信息達到深刻的理解，有助于解答考題的前兩問.

（三）攻克難點

主要針對考題第三問預設如下啟發性問題.

問題1：能否求出PM的長？

問題2：你發現PM與CD有怎樣的數量關系？

問題3：計算FM，你有何發現？

問題4：以CD為直徑的圓，能否經過點F？為什么？

……

預設意圖：通過上述問題，啟發學生突破難點的思路，讓學生在上述問題的啟發之下能順利突破考題的第三問.

（四）解后反思

考題的幾個小問思路全部貫通之后，作為必要的反思，給出如下反思角度.

反思1：第三問求出的點P與C、D能否圍成直角三角形？該直角三角形與以CD為直徑的圓有何關系？

反思2：第三問中點P、點P′關于哪條直線對稱？

三、關于較難綜合題解題教學的兩點體會

1.重視預設引例，引導更多學生參與進來

中考二輪復習期間，常常有很多較難綜合題的教學，這時如果直接上來就是一個大的綜合題，往往會把一些基礎不好、數學適應性偏弱的學生拒之門外，使他們開始就讀不懂問題，從而影響課堂教學效率.這時，一般先圍繞待講評的較難綜合題在求解、突破過程中需要用的基本圖形、基本解題方法，預設3～4道小題訓練，讓學生預熱起來，為后續考題的獨立思考提供知識和方法上的準備.

2.多角度難點突破，通過系列啟發性問題促進學生理解

對于較難綜合題的難點突破，一般需要從各角度嘗試突破，通常情況下“數”“形”兩個角度都能解答的，應該帶領學生雙向理解.同時通過系列啟發性問題促進學生理解問題，并且在思路貫通之后，及時引導學生思考該問題的深層結構，這樣就不僅演練、講評了一道考題，而且實現了“做一題·做一類”解題教學的高效.想來，像考題的第三問，如果不能幫助學生揭示以CD為直徑的外接圓與拋物線的兩個交點（P、P′），也許就是羅增儒教授所指出的“入寶山而空返”吧！Z