從一題多解到多解歸一：解題教學的一種追求
——2015年湖北武漢卷第24題解析與反思

☉江蘇省海門市東洲中學 曹偉娟

從一題多解到多解歸一：解題教學的一種追求
——2015年湖北武漢卷第24題解析與反思

☉江蘇省海門市東洲中學 曹偉娟

近讀《中學數(shù)學》（初中版），發(fā)現(xiàn)其刊發(fā)了多篇2015年中考試題解析與反思的優(yōu)秀文章，顯示了老師們不僅演練考題，更重要的是對考題深入思考，解讀考題的深層結(jié)構(gòu)和教學導(dǎo)向，筆者受益其中.特別是有幾篇文獻都談及考題中涉及高中階段的拋物線的準線、焦點的性質(zhì)，作為一種積極的實踐跟進，筆者研習2015年湖北武漢中考試題時，也有這樣的心得體會.本文先整理該題的思路解析，再給出解后反思，與同行研討.

一、考題與思路突破

圖1

圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E（m，n）是第二象限內(nèi)一點，過點E作EF⊥x軸交拋物線于點F，過點F作FG⊥y軸于點G，連接CE、CF，若∠CEF=∠CFG，求n的值并直接寫出m的取值范圍（利用圖1完成你的探究）.

（3）如圖2，點P是線段OB上一動點（不包括點O、B），PM⊥x軸交拋物線于點M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直線PM于點Q，設(shè)點P的橫坐標為t，求△PBQ的周長.

思路突破：（1）將點A的坐標代入拋物線的解析式即可求得c的值，可得拋物線的解析式為y=

（2）由草圖分析，結(jié)合“∠CEF=∠CFG”可推出點E應(yīng)該在F的上方.接著構(gòu)造圖3，過點C作CH⊥EF于點H.

圖3

智能制造是臺達發(fā)展的重要方向，臺達力求以豐富的電子制造經(jīng)驗及工業(yè)自動化專業(yè)知識為基礎(chǔ)，整合從設(shè)備端感測、控制驅(qū)動、數(shù)據(jù)傳輸，到信息分析管理等相關(guān)技術(shù)，發(fā)展從智能機設(shè)備、智能產(chǎn)線到智能工廠的全方位整合解決方案。2018工博會，臺達重點展示了以臺達制造執(zhí)行系統(tǒng)（DIAMES）為核心，整合臺達多種工業(yè)自動化軟、硬件設(shè)備的升級版“智能制造示范線”，不僅難度提升，工藝流程更為精細，效率也大幅提升。可實時下單、自動生產(chǎn)，并可監(jiān)看作業(yè)進度及設(shè)備運作數(shù)據(jù)的智能生產(chǎn)線，為現(xiàn)場來賓制造禮品，體驗高效、全自動、數(shù)字化的“未來智造”。

二、解后反思

1.第二問的另解突破

圖4

2.第三問的另解突破

圖5

由PD＝1，可得△OPM的周長為1＋t.

上面筆者通過引入高中階段拋物線的準線、焦點的性質(zhì)簡化了演算求解的過程，如果沒有這樣的知識儲備，初中學生還可以有如下的結(jié)構(gòu)反思：如圖6，延長PQ到N，使QN＝QB，連接AN、BN.

圖6

容易發(fā)現(xiàn)，PN＝PQ＋QB＝AP，△APN是等腰直角三角形，直線AN的解析式為y＝x＋1.

三、教學啟示

1.在解題反思環(huán)節(jié)，重視“一題多解”和“多解歸一”

很多同行都知道解題教學時，不能一題一解，而要在解法思路貫通之后，追問學生還有沒有其他的解法，追求不同的解法，不同的解法往往能溝通多個領(lǐng)域的知識，從而培養(yǎng)發(fā)散思維.特別是，與追求一題多解相比，有經(jīng)驗的教師往往還會引導(dǎo)學生思考“多解歸一”，即這個問題為什么會有不同解法，這些不同思路之間存在著怎樣的共同點，并在此基礎(chǔ)上揭示出問題的“深層結(jié)構(gòu)”，多堅持這樣的訓練，潛移默化中，學生就會形成“解一題、會一類、通一片”的效果.像上面我們對“考題”的解法反思、結(jié)構(gòu)揭示的工作就是一些初步的努力.順便提示，南京大學哲學系鄭毓信教授在《人民教育》關(guān)于“數(shù)學教師特殊的三項基本功”系列文章中就曾倡導(dǎo)“善于比較和優(yōu)化”也應(yīng)該是數(shù)學教師的特殊基本功，在解題教學、回顧反思環(huán)節(jié)，想來“善于比較和優(yōu)化”就是一線教師應(yīng)該努力修煉的吧.

2.綜合題思路突破，需要加強數(shù)式運算變形能力訓練

中科院數(shù)學史家李文林先生曾總結(jié)數(shù)學的特征為兩個字：“算、證”.研習2015年考題，不少地區(qū)在把關(guān)題處不僅需要深刻的幾何直觀洞察能力，還需要應(yīng)對復(fù)雜的數(shù)式演算變形，比如2015年廣東廣州最后一題尤為特殊，感興趣的同行可鏈接關(guān)注.像本文述及的“考題”的第二、三問，在初始思路突破中，容易看出思路，但是運算較為繁雜，如果沒有足夠的耐心和細心，繁雜的分式、二次根式運算很容易中途而廢，造成解題思路受阻.這樣來看，對于中考復(fù)習來說，加強數(shù)式運算變形能力也許是更為現(xiàn)實的需要.值得一說的是，前蘇聯(lián)著名數(shù)學家、數(shù)學教育家柯爾莫歌洛夫斯基關(guān)于數(shù)學適應(yīng)性也曾指出兩點：其一就是數(shù)式的高超運算變形能力；其二則是對幾何直觀有深刻的洞察眼力.據(jù)此，少數(shù)地區(qū)出現(xiàn)較為繁雜的運算能力題也是可以理解的，至少引導(dǎo)廣大備考師生要重視數(shù)式運算和變形能力.

四、兩點困惑

作為本文的結(jié)束，提兩個困惑，就教于同行，期待啟蒙.

困惑之一：考題的第二、三問之間是并聯(lián)式關(guān)系，然而解法之中是否能找到某種內(nèi)在的關(guān)聯(lián)呢？因為作為一道苦心經(jīng)營的把關(guān)題，常常是貌似形異，然則內(nèi)在質(zhì)同.

困惑之二：我們在圖6中構(gòu)造出一種“問題結(jié)構(gòu)”，但這樣的反思于問題求解是否更為方便？筆者苦思多時，仍沒有進展，期待同行跟進思考、啟發(fā)思路.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.李文林.歷史與未來——關(guān)于基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革若干問題淺議［J］.數(shù)學教學，2013（11）.

4.楊叔子.數(shù)學很重要，文化很重要，數(shù)學文化也很重要［J］.數(shù)學教育學報，2014，23（6）.Z