拋物線準線、焦點考題的教學導向之思
——從2015年江蘇宿遷中考第26題說起

☉江蘇省海門市東洲國際學校 許玉萍

拋物線準線、焦點考題的教學導向之思
——從2015年江蘇宿遷中考第26題說起

☉江蘇省海門市東洲國際學校 許玉萍

自從2010年江蘇某市在中考最后一題引入拋物線的準線、焦點問題結構以來，每年全國各地都有一些地區在最后一道題上設計與之結構相近的把關題.對于這類考題，如果復習備考期間有意識地準備的話，考生在考場上將獲得居高臨下的結構洞察，從而與那些沒有補充過類似性質的考生造成解題效率上的差距，這也是另一種意義上的不公平現象.本文從2015年江蘇宿遷中考把關題說起，列舉另外兩道相關的中考題，最后就這類考題的教學導向做一些反思，供研討.

一、從一道中考題的求解說起

考題1：（2015年江蘇宿遷中考卷，第26題）如圖1，在平面直角坐標系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為2a和2b，點A、D、G在y軸上，坐標原點O為AD的中點，拋物線y=mx2過C、F兩點，連接FD并延長交拋物線于點M.

（1）若a=1，求m和b的值；

（3）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線的位置關系，并說明理由.

圖1

思路簡述：（1）由a=1，根據正方形的性質及已知條件得出C（2，1）.將C點的坐標代入y=mx2，求出m=，則拋物線的解析式為.再將點F（2b，2b+1）代入y=即可求出

（2）由正方形ABCD的邊長為2a，坐標原點O為AD的中點，得出C（2a，a）.將C點的坐標代入y=mx2，求出m=則拋物線的解析式為再將點F的坐標（2b， 2b+a）代入y=整理得b2-2ab-a2=0.把a看作常數，利用求根公式得出b=a（負值舍去），那么

（3）先利用待定系數法求出直線FD的解析式為y=x+ a.將y=x+a代入值舍去），則M點的坐標為（又點F，利用中點坐標公式得到以FM為直徑的圓的圓心O′的坐標為（2a，3a）.再求出O′到直線AB（y=-a）的距離d=3a-（-a）=4a，則以FM為直徑的圓的半徑為：

“結構”反思：現在我們來反思第三問的深層結構.首先把高中數學中提及的拋物線的準線、焦點的相關定義簡述如下：平面內與一個定點F和一條直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.比如拋物線y=ax2+bx+c的焦點為.不妨驗證一下，“考題1”中，點D（0，a）是拋物線y=mx2的焦點吧！它的準線為y=-a，即直線AB.于是，“考題1”的深層結構如圖2所示.

圖2

圖3

在圖2中，以MF為直徑的圓O′與直線AB相切于B點，點O′、C、B在同一直線上；再把無關線段排除、刪減得出圖3，過M、F、O′分別向直線AB作垂線段MN、FH、O′B，由上面提及的準線、焦點的性質，易知MN=MD，FH=FD，而梯形MNHF中，O′B是中位線，所以以MF為直徑的圓O′與直線AB相切也就是在這個“結構”之下的必然.

二、拋物線的準線、焦點相關考題列舉

考題2：（2015年四川資陽，第24題）已知直線y=kx+b（k≠0）過點F（0，1），與拋物線相交于B、C兩點.

（1）、（2）略.（限于篇幅，與本文無多大關聯，略去不引）

（3）如圖4，設B（m，n）（m<0），過點E（0，-1）的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS.試判斷△RFS的形狀，并說明理由.

圖4

圖5

因為點B在拋物線上，所以m2=4n.在Rt△BTF中，BF=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形.

三、關于教學導向的思考

1.簡單下放高中知識點的考查方式值得商榷

由于拋物線的準線、焦點的性質是高中學段的內容，所以在中考試卷中出現以此為結構的考題應視為“超標”考題.然而像上面提及的兩道考題都屬于“擦邊球”類型，它們并沒有直接考查相關知識點，然而如果備考師生補充過類似的知識，則對不同考生來說可能會造成一種不公平現象，他們在惜時如金的中考考場上耗時費力最后獲得他人早就熟知的性質.順便指出，像考題1中的思路突破時，如果熟悉“中點公式”也有助于快速突破思路，而這也是高中階段的一個知識點.

2.解題教學中引入“準線、焦點”是可行的

雖然筆者對中考題中出現“準線、焦點”現象持批判態度，但這并不表示初中解題教學中就需要嚴守課標規定，恰恰相反，如著名特級教師李庾南老師所指出的“課標只是底線，需要人人達到的，面對課標，我們的態度是‘下要保底，上不封頂’”.這樣看來，平時教學過程中，恰時恰點地引入所謂高中知識，讓優秀學生能挑戰更為廣闊、深刻的數學性質，是非常值得嘗試的，經常開展這樣的教學，也可以讓優秀學生避免大量“空轉現象”.順便提及，最新的人教版九年級教材在二次函數“數學活動”中就曾安排與拋物線相關的作圖與探究活動，有效滲透了拋物線的準線、焦點的有關性質，值得關注.

四、結束語

中考命題使命光榮、責任在肩，首先不能出現科學性錯誤，又要確保應有區分度，利于選拔學生，同時還要兼顧考題所帶來的教學導向，畢竟對于廣大基層一線教師來說，本地區的考試是更為現實的教學引領.期待著中考卷在把關題的設置上精心構思，既體現課標精神，導向教學，又能反映數學追求簡約、深刻的特征.

1.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.劉東升.經歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］.中學數學（下），2014（4）.Z