分圖分類分析
——一道中考操作題的解法探究及分析思考

☉江蘇省宿遷市實驗學校 李軍

分圖分類分析
——一道中考操作題的解法探究及分析思考

☉江蘇省宿遷市實驗學校 李軍

一、原題呈現

題目（2015年南京市第25題）如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數字3）

圖1

二、解法探索

1.“圓規”探究法

（1）以3為等腰三角形的“腰”.

①兩腰都在正方形邊上，如圖2；②一腰在正方形邊上，如圖3、圖4.

圖2

圖3

圖4

以A為圓心，3的長為半徑畫弧，與邊AB、AD相交即可.先畫OA=3，再以O為圓心，3的長為半徑畫弧，與邊CD相交即可.同圖3，大小也相同，兩圖畫出一個即可.

（2）以3為等腰三角形的“底”.

①“底”在正方形邊上，如圖5、圖6；

圖5

?

圖6

②“底”不在正方形邊上（先是兩腰在正方形邊上，然后是兩腰不在正方形邊上），如圖7、圖8.

圖7

圖8

同圖7，也可作出圖7中的已作線段關于對角線BD的對稱線段即可.以A為圓心，1.5的長為半徑畫弧，與對角線AC相交于點E，過E作AC垂線與正方形兩邊相交即可.

2.“網格”探究法

根據題目條件，將邊長為4的正方形放置到對應邊長為1的正方形網格中加以探究，有了網格便可以通過觀察，借助刻度尺或圓規等工具將問題解決（如圖9～15便一目了然，畫法略）.

（1）以點A為兩腰交點思考（先是兩腰在正方形邊上，然后是兩腰不在正方形邊上，如圖9～11）.

圖9

圖10

圖11

（2）以點A為底與腰交點思考（先是底在正方形邊上，再是腰在正方形邊上，如圖12～15）.

圖12

圖13

圖14

圖15

3.“折紙”探究法

因給定的圖形及組合后的部分圖形為軸對稱圖形，故筆者想到用“折紙法”進行探究，并進行了“折紙”試驗，以上圖形均可由“折疊”得出.

將給定的正方形做成正方形紙片，沿橫向與縱向各折疊兩次，便在正方形各邊上得到“數值點（線）”（如圖16），然后再分別以3為等腰三角形的“底”及以3為等腰三角形的“腰”兩類分別折疊便可得出圖形，如圖17～23.

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

先折出對角線AC，再沿∠BAC的平分線折疊，在AC上使AE′= 3，再沿AE′的中垂線折疊即可.

圖22

圖23

三、特色分析

1.設計簡明 立意操作

從選材看，選取學生特別熟悉的正方形和等腰三角形作為背景圖，以生為本，簡單美觀；從語言表述看，簡潔明確，要求具體，操作指向明了；從構思看，在操作中提煉“模型”，重視基礎（基礎圖形、基礎知識、基本操作），呈現層次性（學生會由簡單入手，分層思考）和多樣性（會呈現出不同的豐富多彩的情況）.

2.易于動手 引領探究

此題操作起點低、入口寬，不同層次的學生均可以動手嘗試，會盡自己所能畫出能想到的圖形，當然也能得到相應的分數.由于學生易于動手，所以問題情境能激發學生的探究欲望，不斷激勵學生去向更多、更深的方向思索與邁進，簡單的問題鋪設著“過程性”道路，突出延展了問題思考過程與操作過程.

3.關注經驗 突出分類

“基本活動經驗”是《義務教育教學課程標準（2011年版）》新增的課程目標，將原有的“雙基”教學發展為“四基”教學.本題的考查，就是立足于學生的基本經驗，有的通過觀察比劃即可畫出圖形；有的需借助圓規操作，圖形就會顯現出來；有的需要分析思考，多次嘗試才能得出答案.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“分類是一種重要的數學思想.學習數學的過程中經常會遇到分類問題，如數的分類、圖形的分類、代數式的分類、函數的分類等.……分類的過程就是對事物共性抽象的過程.……學會分類，可以有助于學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題.”

本例屬于典型的圖形分類問題，突出考查學生在操作的同時要學會分類，同時指引學生可以從“形”和“數”兩個角度加以分類（上述方法從不同側面進行了探討），即以固定不動的點A為分類點，分點A為兩腰的交點及腰與底邊的交點兩大類，或以數量“3”為出發點，分以3為等腰三角形的“腰”與以3為等腰三角形的“底”兩大類.這樣就會做到“不重不漏”，完整解答.

四、命題建議

若能在原有問題基礎上增加“求出相應的等腰三角形面積”，則問題將變得更豐富、更有內涵，更能引發學生去思考、去計算，進而去聯系更多的知識，構建“點線式”知識網絡，或許對學生綜合能力的培養及思維的發展會大有裨益.

五、教學思考

1.多維探究，解題策略優化互補

日常教學中，應在學生已有的知識儲備上，適時引導學生從不同角度思考問題，發散學生的思維，以提升學生解決問題的實際能力和思維水平，如果學生平時解題僅僅停留在為解題而解題、就題論題的層面上，靠題海戰術和老師的灌輸獲得解題技巧，而很少經歷探索、思考的過程，就不能養成思考的習慣，只能模仿和套用已有的知識儲備，學生則不能形成真正的數學能力.

對于本題提供的三種操作思路，學生并不陌生，它是操作類題中經常涉及的（使用作圖工具、正方形網格、折紙操作），不同的操作策略有不同的特點，教學時引導學生多方位思考，既培養學生解題的靈活性，也訓練了學生的發散思維，還可以啟發學生比較優劣，從而優選方案，更優更快地分析問題和解決問題.

2.重視操作，培養動手畫圖能力

操作類試題一般在中考中較難考查，此題為此搭建了很好的平臺，對教學起到了較好的引領作用.平時教學中，教師不能一味地讓學生埋頭做計算題和推理題，更要在操作中培養學生的動手能力和創新精神，讓學生在“做數學”中激發興趣，發現結論，總結規律，掌握其操作方法，學會思考.本題可借助圓規，找到關鍵點就可把所有情況一一畫出來，讓學生知其然，更要知其所以然.如若本題僅僅是結果的展示，則失去了“數學本真”，也不符合學段特征（初中學段——尺規作圖、合情推理、邏輯推理等）.

3.規范指導，反思過程

畫圖的過程是學生動手操作的過程，也是幾何直觀的具體體現，通過捕獲作圖過程中的信息尋找解決問題的切入口，在教學中重視培養學生的畫圖習慣，教師首先要做出示范.畫圖類問題在操作時，若教師平時重視不夠或操作示范性不夠嚴謹，自然就會導致學生畫圖不認真、不仔細，任意涂改，造成所畫圖形雜亂，以致引發思考淺浮，思維混亂.本題學生或許能畫出部分圖形，但如不規范操作，耐心思考，想完整全面答出此題也是望塵莫及的.這就要求在日常的教學中，一方面教師要做好表率作用，另一方面也要求學生認真對待，規范操作，條理思考，將圖形畫得準確、美觀、完全.

美國教育心理家布魯納指出：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易于理解和更利于記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.在人的一生中，最有用的不僅是數學知識，更重要的是數學的思想方法和數學的意識，因此數學思想方法是數學的靈魂和精髓.操作類問題其實也蘊含著一定的知識和思想方法，需要師生共同總結思考，雖然本題考查的知識點不是很豐富，其關鍵是要能學以致用，其中有分類討論、類比轉化、特殊與一般、圖形變換等重要數學思想，值得我們深思.

1.湯妙娟.對一道中考題的賞析、探究及反思［J］.中學數學（下），2015（6）.

2.由學芹.再說“數學好玩”［J］.中學數學（下），2012（9）.

3.張俊.一道試題的多解思考及其教學展望［J］.中學數學教學參考（中），2013（8）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.H