優選“數學現實”，注重變式教學
——以“垂徑定理”教學為例

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優選“數學現實”，注重變式教學
——以“垂徑定理”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮初級中學 陶然

“垂徑定理”一直是教學研究的熱點，過往的教學常常是從折紙操作出發，感受軸對稱圖形，并在此基礎上證明垂徑定理和推論，再以例、習題應用定理的流程進行.筆者最近有機會執教該課，基于軸對稱視角引導學生研究圓，并從證明圓是軸對稱圖形出發，順便獲得垂徑定理和相關推論，也取得了較好的教學效果，本文記錄該課的教學設計，并闡釋教學立意，供研討.

一、“垂徑定理”教學設計

（一）教學目標

（1）從軸對稱角度研究圓，探索并證明垂徑定理及其推論；

（2）利用垂徑定理解決相關問題過程中，積累一類重要的模式圖形和解題經驗.

（二）重點和難點

重點是垂徑定理及其推論的證明；難點是從生活問題中抽象、構造出符合垂徑定理的基本模式圖形.

（三）教學流程

1.開課階段

師：上一節數學課學習了圓的有關概念，接下來我們從對稱的角度來研究圓.同學們思考一下，圓具有什么對稱性質？

預設：圓是軸對稱圖形、中心對稱圖形、旋轉對稱圖形等.

師：這節課重點研究圓的軸對稱性質.同學們都說出了圓是軸對稱圖形，然而如何證明圓是軸對稱圖形呢？

預設：如果有學生提及將圓形紙片對折能重合，這算實驗操作驗證，并不能算嚴謹的證明.如果學生有困難，可安排學生從簡單出發，如圖4，從線段是軸對稱圖形出發，到等腰三角形（圖3）、矩形（圖2）是軸對稱圖形，特別是利用圖2、圖3，請學生講解如何證明等腰三角形、矩形是軸對稱圖形，再到圖1，研究“如何證明圓是軸對稱圖形？”.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.新知探究

問題1：如何利用圖1證明圓是軸對稱圖形？

預設：在圓上任取一點A，過點A作直徑的垂線交圓于另一點A′，連接AO、A′O，設法證明A、A′關于直徑CD所在直線對稱即可.

證明之后，板書：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.

成果擴大：在上面的證明過程中，換個角度再看圖1，就是：直徑CD⊥AA′，此時根據軸對稱性可得出AM＝

板書垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.

預設：引導學生寫出符號語言后，在回顧垂徑定理時，注意辨析條件和結論的區別，即一條直線若滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦，則可以推出：（1）平分弦；（2）平分弦所對的優弧；（3）平分弦所對的劣弧.這樣既可以加深學生對定理的理解，又為學習推論作好了準備.

問題2：平分弦的直徑能否垂直于弦，并且平分弦所對的弧呢？

預設：變式思考，得出推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.在這個推論中，要注意讓學生區分它們的條件和結論.特別是要強調“弦不是直徑”的條件，因為一個圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們未必垂直，所以一定不能忽視這個條件.

3.例題講評

例1如圖5，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直徑.

圖6

圖5

教學預設：該題由2014年江蘇省南通市中考卷第24題改編而來.主要訓練垂徑定理帶來的CE=DE，并構造直角三角形、利用勾股定理解決問題.

考題鏈接：（2015年浙江衢州）一條排水管的截面如圖6所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬CD等于______m.

教學預設：利用垂徑定理，構造直角三角形解決問題.

例2（教材例題改編）1300多年前，我國隋代建筑的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形（如圖7）.經測量，橋拱下的水面距拱頂6m時，水面寬34.64m，已知橋拱跨度是37.4m，運用你所學的知識計算出趙州橋的大致拱高.（運算時可取37.4=

圖7

圖8

教學預設：繼續訓練圓中常見的輔助線，即作弦的弦心距構造直角三角形，根據垂徑定理和勾股定理進行計算.如圖8，設圓弧所在圓的圓心為O，AB=37.4=GE=6.在Rt△OCE中，OE=根據勾股定理，OC2=CE2+OE2，即OC2=解得OC=28，OA=28.進一步在解得OF=21.所以拱高GF=28-21=7（m）.

4.課堂小結

（1）本課從軸對稱的角度研究了圓，你對垂徑定理有怎樣的認識？

（2）在利用垂徑定理解決問題時，你會積累哪種模式圖形呢？（預設：如圖9，弦長a、弦心距d、半徑r及弓形高h之間的關系.）

圖9

（四）板書設計

二、教學立意的進一步闡釋

1.基于前后一致、邏輯連貫的數學理解，優選“數學現實”引入新課

人教社章建躍博士近年來倡導“三個理解”，其中第一位就是理解數學，特別是理解數學的“前后一致、邏輯連貫”的內在力量.正是基于上述認識，我們選擇從線段、等腰三角形、矩形出發，讓學生先復習這些軸對稱圖形是如何證明的，從而過渡到證明圓是軸對稱圖形，并且順便成果擴大，概括出垂徑定理及其推論.利用這樣的“數學現實”引入新課也貼近了學生認知的最近發展區，是一種很有數學味道的開課情境.

2.注重例題變式教學，讓學生感受到例、習題的漸次展開、層層深入

例題教學環節，我們注意變式，不僅對例1鏈接了一道變式考題，還另選視角，用一道有生活情境的例2來訓練學生學會抽象、分離出垂徑定理基本圖形.在整個例題及變式解題過程中，感受到例、習題的漸次展開、層層深入，一步一步向上走.特別是在例、習題教學之后，還需要注重解后回顧反思環節，不僅要引導學生思考“一題多解”，還可啟發優秀學生思考“多解歸一”，從而引導學生積累出解題經驗（如圖9）.

三、寫在最后

作為文末，還可提及張奠宙教授近年倡導的“超生活經驗”數學話題，像本課所提及的“數學現實”引入新課應該也屬于張教授所倡導的“超生活經驗”情境引入，這類數學情境與生活現實相比，更有數學味兒，更忠實于數學前后一致、邏輯連貫的教學追求.當然，我們的努力還是初步的，期待更多的同行在教學設計中實踐跟進，不斷豐富這方面的案例研究.

1.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

2.章建躍.課堂教學要注重數學的整體性［J］.中小學數學（高中版），2013（5）.

3.張奠宙.無理數教學三人談［J］.數學教學，2015（8）..Z