加強(qiáng)類比教學(xué)，注重關(guān)聯(lián)拓展
——以“等邊三角形”教學(xué)為例

☉江蘇省如東縣岔河中學(xué) 楊小紅

加強(qiáng)類比教學(xué)，注重關(guān)聯(lián)拓展
——以“等邊三角形”教學(xué)為例

☉江蘇省如東縣岔河中學(xué) 楊小紅

不同版本的教材中，等邊三角形通常被安排在等腰三角形之后，學(xué)生自主探究并證明等邊三角形的性質(zhì)與判定，從而得出一些“升級”之后用“黑體字”定理，再例題講評、習(xí)題訓(xùn)練.這樣的教學(xué)安排固然倡導(dǎo)了學(xué)生研究新知的自主性，然而從貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，基于數(shù)學(xué)前后一致、邏輯連貫的高度來看，等邊三角形教學(xué)應(yīng)該有很多值得研討的空間.本文呈現(xiàn)最近筆者開設(shè)的一節(jié)等邊三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)，并闡釋相關(guān)教學(xué)立意.

一、“等邊三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）從等腰三角形出發(fā)，特殊化后研究并概括等邊三角形的性質(zhì)與判定；

（2）利用等邊三角形的性質(zhì)與判定解決問題，應(yīng)用新知簡化推理證明；

（3）將等邊三角形“取半”研究含30°的直角三角形的性質(zhì)，并“反過來”思考它的逆命題，傳遞數(shù)學(xué)研究的方法.

（二）重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)是學(xué)生自主探究并概括等邊三角形的性質(zhì)和判定；難點(diǎn)是靈活應(yīng)用新知簡化推理證明.

（三）教學(xué)流程

1.開課引入

如圖1，

圖1

從一般三角形出發(fā)，不斷添加強(qiáng)化條件，先增加有兩邊相等的三角形，為前面剛學(xué)的等腰三角形，繼續(xù)特殊化，當(dāng)三邊都相等時(shí)，得到等邊三角形.板書本課的課題：等邊三角形.

再板書等邊三角形的定義：三邊相等的三角形稱為等邊三角形.

2.新知探索

問題1：等邊三角形有哪些性質(zhì)呢？

問題2：如何判定一個(gè)三角形為等邊三角形？

預(yù)設(shè)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧等腰三角形的研究套路：定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用.按此“套路”學(xué)生自主研究等邊三角形.學(xué)生自主探索之后，小組內(nèi)交流，最后大組內(nèi)匯報(bào)展示，教師按“套路”板書（見后面“板書設(shè)計(jì)”）.比如概括等邊三角形的性質(zhì)時(shí)，可以從邊、角、重要線段、對稱性等角度來展開；等邊三角形的判定可以從邊、角、一個(gè)角為60°的等腰三角形等角度展開.需要指出的是，考慮到教學(xué)時(shí)間和學(xué)生已有的全等證明經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于等邊三角形的性質(zhì)或判定的證明過程以教師追問學(xué)生依據(jù)為主，不安排書面書寫證明過程，這不是本課的重點(diǎn).

3.例題教學(xué)

例題如圖2，△ABC是等邊三角形，DE//BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.求證：△ADE是等邊三角形.

圖2

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題證明方法很多，可以從邊、角、等腰三角形等角度出發(fā)，尋找強(qiáng)化出來的條件證明等邊三角形，教師通過追問不同學(xué)生的理解、多解證明的展示鞏固等邊三角形的性質(zhì)與判定.

例題變式：如圖3，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BA的延長線上，作DE//BC，交AC的延長線于點(diǎn)E.求證：△ADE是等邊三角形.

圖3

教學(xué)預(yù)設(shè)：通過變式，讓學(xué)生從點(diǎn)在邊AB上，到在直線AB上，傳遞從特殊到一般的研究意識.

4.拓展研究

繼續(xù)回到等邊三角形，如圖4，作出等邊三角形ABC的一條角平分線AD后，由“三線合一”得出直角三角形ABD，抽離出圖5，引導(dǎo)學(xué)生標(biāo)注出圖5中的銳角∠A的度數(shù)，并設(shè)計(jì)問題.

提問：圖5中，BD、AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（AB＝2BD）如何證明？（補(bǔ)成圖4這樣的等邊三角形即可，安排學(xué)生講解思路）

變式：“反過來”思考，如圖6，在Rt△ABD中，∠D＝90°，且AB＝2BD，能否求出∠A的度數(shù)呢？（預(yù)設(shè)：學(xué)生延長BD到C，使BC＝BA，既補(bǔ)全圖形得到圖4，然而此時(shí)證明△ABC是等邊三角形方法是有區(qū)別的，先安排學(xué)生獨(dú)立思考，寫出證明過程，并安排學(xué)生板演證明過程，以備教師點(diǎn)評）

圖5

圖6

圖4

5.小結(jié)

小結(jié)問題1：本課研究等邊三角形時(shí)，主要是從哪些角度來概括的？你有怎樣的研究心得與其他同學(xué)分享呢？（比如，學(xué)生可以從板書中講述等邊三角形研究的套路）

小結(jié)問題2：一幅三角板中沒有用等邊三角形，卻用了兩個(gè)直角三角形，你覺得這是什么原因？（一幅三角板中的兩個(gè)直角三角形分別含有30°、45°，它們分別可以拼成等邊三角形、正方形，讓學(xué)生感受工具的“求簡”追求）

6.布置作業(yè)

原創(chuàng)題：如圖7，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的動點(diǎn)，且BD＝CE，連接BE、AD交于點(diǎn)F.

圖7

（1）求證：△ABD≌△BCE；

（2）求∠BFD的度數(shù)；

（3）作AH⊥BE于點(diǎn)H，求證：AF＝2FH；

（4）小凡練習(xí)以上問題后，提出一種變式拓展的思考，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在CB、AC的延長線上時(shí)，直線BE、AD相交于點(diǎn)F，其余條件不變，請畫出符合要求的圖形，猜想AF與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：求出∠AFE為60°是關(guān)鍵，可得出∠FAH為30°，從而得出含30°的直角三角形.最后一問虛擬學(xué)生變式拓展的思考，意圖啟發(fā)學(xué)生學(xué)會探究，滲透從特殊到一般的探索方法.

（四）板書設(shè)計(jì)

等邊三角形

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.加強(qiáng)類比教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)研究的“套路意識”

數(shù)學(xué)訓(xùn)練很多數(shù)學(xué)思想方法，其中類比就是一種重要的思想方法.日本數(shù)學(xué)家米山國藏所指出的：數(shù)學(xué)是一步一步向上走.很多數(shù)學(xué)新知識、新概念的研究，常常要借助于之前所學(xué)知識的基礎(chǔ)、方法、研究思路來繼續(xù)新的發(fā)現(xiàn)探索，這時(shí)注意向?qū)W生滲透研究問題的套路意識就顯得十分重要.如本課中，注意引導(dǎo)學(xué)生借助在等腰三角形學(xué)習(xí)過程中積累的研究套路：“定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用”，學(xué)生可以按此進(jìn)行自主探索、歸納概括，再小組交流、全班展示，追求對話教學(xué)的真實(shí)互動.

2.注重關(guān)聯(lián)拓展，將數(shù)學(xué)課堂“向四面八方打開”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于“課程目標(biāo)”下“總目標(biāo)”第2點(diǎn)即指出：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系……”.美國國家數(shù)學(xué)委員會（National Mathematics Advisory Panel）的成員伍鴻熙教授指出，“數(shù)學(xué)是連貫的；它是一張編織緊密的掛毯，其中所有概念和技巧邏輯嚴(yán)密地編織在一起，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體.”然而就我們在日常教學(xué)觀摩中所見，很多例題、習(xí)題的設(shè)計(jì)常常是較低層次的關(guān)聯(lián)、鏈接，且多屬于拼湊式的習(xí)題單式的學(xué)案類型.正是認(rèn)識到上述不足，我們預(yù)設(shè)一道例題并變式，本課的作業(yè)也是一道與例題類似的原創(chuàng)題，而在拓展研究中從等邊三角形抽離出一個(gè)含30度的直角三角形，并引導(dǎo)學(xué)生“反過來”研究其逆命題，這些努力都是向?qū)W生傳遞“特殊與一般”之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)習(xí)題的變式拓展的一些可能.想來，如果能長此以往，我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該就是學(xué)者所指出的“向四面八方打開”的開放教學(xué)吧.

1.【日】米山國藏，著.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

2.曹一鳴.為改進(jìn)數(shù)學(xué)教育而共同努力——第12屆國際數(shù)學(xué)教育大會綜述［J］.人民教育，2012（17）.

3.楊九俊.學(xué)科育德不只在說教中［J］.中國德育，2011（11）.

4.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.張恭慶.數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一是數(shù)學(xué)科學(xué)固有的特點(diǎn)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2011（9）.

6.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.Z