“隱身”對比：輔助線教學的常用技巧
——以一道習題的教學為例

☉江蘇省張家港市大新實驗學校 陳新芬

“隱身”對比：輔助線教學的常用技巧
——以一道習題的教學為例

☉江蘇省張家港市大新實驗學校 陳新芬

輔助線是由于解題需要，解題過程中在原圖上添加的有利于問題解決的直線、線段或圓，它是初中階段學生幾何學習的重要內容.因此，輔助線教學一直是初中幾何教學的重要內容.近期，在教學“全等三角形”時，筆者將輔助線教學融入到習題教學之中，取得了較好的成效.現結合一道習題的改編及教學談幾點感悟，希望能引發您的思考.

一、一道習題的教學及分析

1.一道習題的改編

原題：如圖1，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E.F為OC上另一點，連接DF、EF.求證DF=EF.

改編題：如圖2，OA=OB，PA=PB，PD⊥OA于點F，PE⊥OB于點E.求證PD=PE.

圖2

圖1

2.教學簡述

教師首先投影“原題”讓學生自主解答，8分鐘后，學生先在小組中交流了解法及用到的知識.接下來的全班交流，重點交流了“原題”的解法的獲得過程.在原題的解法得到全體同學認可后，教師投影“改編題”，要求同學們認真閱讀題目.具體教學過程如下所示.

師：你發現這兩題有什么相同的地方了嗎？

生1：∠AOB的內部都有一個點P.

生2：都過點P向∠AOB的兩邊作垂線段PD和PE.

生3：圖1中的FD、FE和圖2中的PA、PB都是斜線段（說明：這是班級同學學習角平分線的性質時歸納出的，斜線段是相對于圖1、2中的PD、PE這樣的垂線段而言的）.

師：大家觀察的還是很仔細的.那么，這兩題又有什么不同呢？

生4：兩題要我們證明的結論不同，一個要證明兩條垂線段相等，另一個要證明兩條“斜線段”相等.

師：嗯，不錯！還有嗎？

生5：圖1中有OC這條角平分線，圖2中沒有.

生6：圖1中有三對全等的三角形，圖2中只有一對.

（學生開始竊竊私語，教師稍作停頓）

師：怎么，你們有不同意見？！

生7：我認為，他們兩個人說得都不對！在圖2中將OP連起來，這樣就和圖1一樣了，也有三對全等三角形了！

師：請大家在自己的活動單上作出這條輔助線（投影連接OP的過程），這樣連起來，對解題有幫助嗎？

（2分鐘后，教師組織學生再次展開交流）

師：誰來具體說說？

生8：根據題目給出的條件，我們利用“邊邊邊”可以證得“△AOP≌△BOP”，再利用角平分線的性質就可以得到題目要證的結論了.

師：看來，這條線對解題的作用還是很大的，在今后遇到類似于這樣的圖形時可要多想想這條輔助線！

3.教學分析

這節課上，“原題”是教學的重點，“改編題”僅是“原題”教學的自然延伸，其教學重點是輔助線及其適用性探究，并不需要對解題方法和所涉及的知識作過多的探究.因此，在教學“原題”時，學生不僅探究了解法和用到的知識，還在老師的指引下對“OC是∠AOB的平分線”在解題中的作用進行了細致的分析，這樣做既減輕了接下來探究的負擔，又為輔助線的教學夯實了基礎.在改編題教學中，教師將“比較這道題目（即改編題）與‘原題’有什么區別和聯系”作為了探究與交流的重點，通過對兩題的文本和圖形的分析，學生發現了兩道題目很多的相同點和不同點，輔助線也就在這一過程中順利得出.當然，學生給出的輔助線對解題是不是適用，還是要經過檢驗的，所以教師安排了學生探究“這樣連起來，對解題有幫助嗎”，由于有了前一道題目的探究經驗，短短兩分鐘學生便驗證了OP的可行性，接下來的交流讓這條輔助線的解題價值得到了全班同學的認同.很明顯，改編題證明思路的獲得讓“原題”的解題經驗得到了很好的延續與應用，更將輔助線教學提到了一個較高的層次上.教師的隱藏改編將輔助線教學作為重點，讓這根對問題解決大有益處的線段的價值得以凸顯出來，使之成為今后化解類似幾何問題的重要工具.

二、幾點感悟

1.解讀原題，找出最適合的圖形隱身

在筆者進行的輔助線教學中，“原題”一般取材于教材的例題、練習或習題.這些“原題”指向了課時教學核心，重在梳理本節課的知識與技能，因此，通過改編“原題”實施的輔助線教學也應行進在教學主線之上，也應是課時教學的重要內容.為了讓輔助線教學與課時教學有效融合，我們應充分解讀原題，詳實剖析原題中的文本和圖形，將涉及的知識、技能、思想、方法和注意點梳理清楚，在此基礎上，再對圖形進行細致分析，找出最適合的圖形隱身形成新的圖形和文本.要注意的是，對圖形的隱藏要適度，最起碼要保證問題解決的必備條件不能缺失，當然，所隱藏的應該是較為常見的，是學生今后的學習中用得比較多的圖形.初中階段，常見的可以用來進行輔助線教學的有線段、直線和圓，據此，我們可以根據題目的具體情境進行設置.本文中，“原題”涉及的知識并不復雜，是“角的平分線的性質”的一道鞏固題.根據“原題”所給出的圖形和文本信息，改編題就從“角的平分線”入手，隱去了圖1中的OC，接下來圍繞圖形重新設置了符合課時教學的條件和結論.這樣的改編，確保了輔助線教學與課時教學緊密契合，完全符合教學需求和學生的認知需求.

2.漸進呈現，形成最強烈的教學反差

在數學教學中，例題的出現時機直接影響著教學的成效.一般地，例題應出現在學生認知的拐點處.新舊交替時，例題教學不僅能鞏固新知，還能推動新舊知識的融合；舊知鞏固時，例題教學不僅能提升學生的“四基”綜合應用能力，還能有效推動網絡化建構；試題講評時，例題教學能幫助學生糾錯究錯，形成避錯策略……為了讓輔助線教學恰到好處地出現在教學拐點處，我們一般將與輔助線有關的例題安排在課時教學的“主例題”之后，靠著它為的是讓兩道例題之間在圖形上的差異凸顯出來，形成強烈的圖形反差，讓學生從圖形上一眼就能看出“缺了什么”，從而為輔助線的自然生成埋下伏筆.上文中的圖1與圖2的差異是十分明顯的，只要稍微留意一下就能發現角的平分線在圖2中被隱藏了起來.在教學過程中，圖2呈現略滯后于圖1，但有了圖1“打底”，圖2出現后給學生造成的視覺反差是強烈的，能夠出現本文中所述的眾多生成是十分自然的事情.

3.重在對比，體驗最有效的解題價值

不同的課型，不同的教學任務，例題教學的側重點是不同的.一般地，例題教學離不開審題教學、思路分析教學、過程書寫教學等，但輔助線教學應將輔助線的獲得過程和輔助線的解題作用作為教學的重點.因此，這類例題教學應“不走尋常路”，在輔助線的生成和解題應用上做文章.在我們的輔助線教學中，用的最多的是教學例題改編而成的例題.為了突出輔助線在例題解答過程中的地位及作用，我們在教學中更多地將教學重點落在兩道題目的比對上，通過互動交流辨析兩題在文本和圖形上的聯系與區別，讓輔助線在對比辨析中自然生成，成為問題解決的最重要的步驟.在上面的教學案例中，教者正是抓住了原題與改編題的明顯差異展開教學的，學生在“比較這道題目（即改編題）與‘原題’有什么區別和聯系”后，從圖1和圖2的反差中找出了“將OP連起來”建構三對全等三角形的解題思路.這樣的發現，讓輔助線成為了比對活動的“副產品”，很好地“掩蓋”了教師的教學心思.

三、結束語

輔助線是學生解答幾何問題的重要工具，理應是初中數學課堂教學的重要內容.因此，我們應努力將其融入到常態幾何教學之中.輔助線教學的時機，仁者見仁，智者見智.筆者認為，不管是在新知生成的過程中，還是在鞏固訓練的過程中，只要能夠突出輔助線解題價值的時點就是最好的教學時機，我們就應讓它及時出現.當然，這種適時的滲透離不開用以“附著”輔助線的例題.基于例題的輔助線教學，可以直接應用課時例題，也可以對比應用例題與其改編題.由于課時例題在課堂教學中處于主體地位，其更多承載著知識教學和技能訓練的重任，因此，很多老師選擇了和筆者一樣的改編對比教學.然而，這種改編不僅考驗教師的教學設計能力，還對教師的教學掌控力有著較高的要求.本文闡述的“隱形”對比是筆者對改編例題實施輔助線教學的一次嘗試，所述的感悟也是筆者在實施過程中的思考，權作引玉之磚，期待更多的專家老師能將自己的輔助線教學的經驗與我們分享.文中不足之處，敬請各位同行專家批評指正.

1.印冬建.突出核心主線追求有效教學——談初中數學有效備課的做法和思考［J］.中學數學（下），2014（1）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z