類比全等學相似，自主探究辨同異
——以九年級“圖形的相似”教學為例

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類比全等學相似，自主探究辨同異
——以九年級“圖形的相似”教學為例

☉江蘇省如東縣岔河中學 嚴冬梅

教是為了不教.到九年級，很多幾何知識雖然是陌生的，然而研究方法、基本套路卻是熟悉的，比如學習“圖形的相似”，完全可以讓學生類比全等學習相似，在獨立思考、合作交流的基礎上，歸納新知、辨析全等與相似的“同而不同”.本文整理筆者最近執教的一節九年級“圖形的相似”課例，供研討交流.

一、教學流程簡述

（一）創設情境，引入相似

觀察師生、生生的三角板，辨析它們的關系——“形狀相同，大小不一定相等”，類比全等得出這些圖形是相似圖形.（引入課題）

（二）抽象概括，感受相似

（1）引導學生欣賞一組生活中相似的圖片.

（2）小組交流：舉出生活中相似圖形的例子.

分組活動：先獨立思考，然后組內互相交流，最后各組選派代表發言.

預設意圖：全等也是相似，一般情況下我們所說的相似圖形是大小不同的圖形，因此兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小而成的，所以利用相似可以將一個圖形放大或縮小.

預設講解：相似圖形既可以是平面圖形，也可以是立體圖形，但我們重點研究的是平面圖形.

預設提問：全等的符號記作“≌”，相似該怎么表示呢？

（三）猜想驗證，探索相似

（1）猜想：形狀相同的圖形是相似圖形，形狀相同、大小相同的圖形是全等形.

預設追問：全等形有什么性質？由此你能猜想相似多邊形的對應角有什么關系？對應邊有什么關系？

（2）驗證.

①我們先從“特殊的相似多邊形”——“相似正多邊形”入手研究.

預設提問：兩個正三角形相似么？它們的對應角有什么關系？對應邊呢？對于正方形而言，它們的對應角與對應邊的比有沒有上述關系呢？正六邊形呢？正n邊形呢？

②這個結論對于一般的相似多邊形是否也成立呢？

預設提問：圖1是兩個相似的三角形（四邊形），它們的對應角相等嗎？對應邊的比是否相等？你能想到用什么方法來驗證你的猜想？

圖1

預設活動：同學們自行驗證：教材上的探究活動，小組交流，全班匯報，教師適時指導.

預設小結：相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等.反過來，如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.

（3）結論.

①相似多邊形的特征：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.

符號語言：以四邊形為例.

由四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，得∠A=∠A′，

②兩個相似多邊形對應邊的比叫做這兩個多邊形的相似比.注意：相似比是有順序的.

預設提問：四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，相似比為，那么四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD的相似比為多少呢？當相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關系呢？

③相似多邊形的判定.

如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.

（四）應用新知，鞏固相似

例1如圖2所示，這兩個菱形相似嗎？請說明你的理由.

圖2

預設解答：這兩個菱形不相似.因為這兩個菱形的對應角不相等，第一個菱形的內角分別為45°、135°、45°、135°，而第二個菱形的內角分別為60°、120°、60°、120°，它們僅對應邊成比例.

預設講評：不少學生往往有思維定勢，即只注意到菱形的四條邊相等，就知道它們的對應邊都成比例，從而忽略還要分析各組對應角.

例2如圖3，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB=4.

圖3

（1）求AD的長；（2）求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比.

預設解答：（1）由已知得MN=AB，由矩形DMNC與矩形ABCD相似，得則又AB=4，則

預設講評：圖3中矩形的形狀其實就是日常我們使用的A4紙，將A4紙對折一次可得A5紙，再對折后得到A6紙，可見，這些紙的長寬之比值都是

（五）總結歸納

由學生自我反思，組內交流，全班匯報.

（六）布置作業

（1）如圖4，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，求角α、β的大小和EH的長度x.

圖4

（2）在比例尺為1∶10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30 cm，求兩地的實際距離.

（3）兩個等腰直角三角形一定相似嗎？兩個等腰三角形呢？兩個直角三角形呢？

（4）兩個多邊形僅有對應角相等，它們相似嗎？如果僅有對應邊的比相等呢？若不相似，請舉出反例.

二、教學立意的進一步闡釋

第一，踐行“最近發展區”原理，引導學生類比全等學相似

江蘇南通啟秀中學李庾南老師在論述“自學·議論·引導”基本原理時，提及“最近發展區”原理，即貼近學生實際，找到學生將學新知識的生長點.學生在學習圖形的相似時，“最近發展區”是八年級所學的全等知識，所以本課我們重點預設引導學生類比全等學相似.正是基于類比的思想，我們預設了如下教學目標：類比全等的相關知識，理解相似圖形的定義和表示方法；由全等形的特征入手，引導學生自主探究相似多邊形的特征，在比較中建構新知，體會從特殊到一般的學習方法；在探索相似多邊形特征的過程中，進一步發展學生歸納、類比、反思、交流等方面的能力，提高數學思維水平.

第二，重視推理教學，“指示正規，矯正錯誤”

民國時期著名數學教育家傅種孫先生在“中學幾何教本”序文中說明了“幾點著意的想法”，比如：“幾何本來是系統性極強的學科；幾何所追求的不是要知道它如此，而是要知道它為什么如此；不僅要知道它為什么如此，還得要領會從什么思路知道它所以如此；教學的技藝，一方面要指示正規，一方面要矯正錯誤，必須兼施并用，才會有較好的效果.”在本課教學中，我們一方面注意規范幾何推理語言的教學，另一方面對學生的錯誤推理或表達都及時訂正，剖析原因.比如，例題教學時，在做例1的“預設講評”時，就預設學生可能出現一些思維定勢的錯誤，做好矯正錯誤的準備.

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.馬公仕.靠近“最近發展區”，聚焦初中幾何特點——以七年級“直線、射線、線段”教學為例［J］.中學數學（下），2015（3）.

5.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.Z