注重概念構建過程促進學生思維發展
——“有序數對”概念構建過程的三次教學設計與思考

☉浙江省臺州市路橋實驗中學 方丹紅 執教☉浙江省臺州市路橋區教育局教研室 程愛平 評析

注重概念構建過程促進學生思維發展
——“有序數對”概念構建過程的三次教學設計與思考

☉浙江省臺州市路橋實驗中學 方丹紅 執教
☉浙江省臺州市路橋區教育局教研室 程愛平 評析

《義務教育數學課程標準》指出：“對抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式.”數學概念不僅是數學抽象的起點，也是學生進行數學思維的核心，讓學生充分經歷概念的形成過程，有利于學生從本質上理解數學概念，從而能夠真正將知識進行內化與順應.目前，在數學概念教學時缺乏過程的教學，有時只采用直敘的方式給出概念，學生被動地接受概念而缺少對概念的構建過程的感悟，從而缺少對概念的深層理解，因此造成對概念理解不到位，如果學生能經歷概念的形成過程，并能主動地參與到數學概念的構建過程中來，就會對概念理解深刻，促進學生思維的發展.

在2014年3月舉行的區域七年級數學“學為中心”課堂教學研討會上，筆者選擇人教版《數學》七年級（下）“7.1有序數對”作為研究課題，在整個備課、磨課過程中，堅持遵循以“學為中心”的教學理念，從有序數對的概念的構建到應用進行有效的教學實踐，并由教研員評析、指導.

一、初次試教——注重概念描述，缺少構建過程

師：這位同學，你能描述一下你現在就坐的位置嗎？

生1：第3列第1排.

追問1：你是怎么數的？（生指著位置從第一列和第一排開始數了起來）

追問2：那你是不是在心里約定了你這排為第一排，靠近走廊這一列為第一列？（生點了點頭）

師：好，那我們就按照這位同學的約定，他這排為第一排，靠近走廊這一列為第一列，那誰來說說班長就坐的位置如何來描述？

生2：第1列第5排.

師：很好，把我們的教室變成如圖1所示的平面圖（出示教室平面圖），那每個同學都能找到自己的位置.

師（小結）：像第幾列第幾排，都是用含兩個數的表達方式來表示一個確定的位置，其中兩個數各自表示不同含義，為了表達更加簡潔，我們抽取這兩個數，組成一個數對，我們把這種有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對.

評析：初次試教，重點欠突出，有序數對概念的得出只是直接由筆者陳述得出，學生缺少體驗感悟的過程，尤其是有序數對概念的得出沒有體現引入它的必要性和重要性，比如為什么叫做有序？為什么要用數對表示？再比如兩個數字是一樣的，位置為什么不一樣？這些問題在這節課中都沒有體現出來，對于概念教學課來說這節課是欠完美的，需深入研究教材，積極查找有序數對的相關材料和概念教學的相關著作，對概念的構建過程重新進行設計.

圖1

二、第二次試教——注重概念構建，缺少體驗過程

師：首先讓我們再來感受一下北京奧運會開幕式上擊缶倒計時那激動人心的一幕（視頻播放3分鐘），這壯觀的背景圖案，你知道它是怎么組成的嗎？為了研究這個問題，我們先不妨縮影到教室.

問題1：請問班長在哪里？誰能描述一下班長在這個教室里的位置？

生1：第3列第2行.

追問：你是怎么數的？

生1：我是將左邊為第一列，前面第一排為第一行.

師：好，那我們就按照你的約定，左邊為第一列，前面第一排為第一行，把我們的教室變成如圖1所示的示意圖（出示教室平面圖）.

師：由于老師不知道各位同學的名字，如果老師僅僅報列號，能否確定是哪位同學？

生齊：不能.

追問1：如果僅僅報行號呢？

生齊：也不行.

追問2：為什么？

生2：因為這一列和這一排的同學很多，不能確定.

追問3：由此可見，確定一個位置需要幾個數據？

生齊：兩個.

追問4：哪兩個？

生齊：行號和列號.

師：在這個問題中，為了使表述更加簡潔，我們可以用數對表示，兩個數字中間用一逗號隔開，再用小括號括上，表示是一對，那班長的位置就可以用數對表示為（3，2），那你們的位置可以用怎樣的數對表示？（生思考后紛紛回答）

師：那接下來我們就來比一比，老師報出一個數對，請相應的同學起立，看看哪位同學的反應最快？請（4，5）起立（生3站了起來）.

師：請（5，4）起立（生4站了起來）.

追問1：為什么同樣是相同的兩個數，站起來的同學卻不一樣？

生5：因為兩個數對不一樣.

追問2：兩個相同數字的含義是否相同？

生6：不相同.比如前一個5表示第5行，后一個5表示第5列.

師（小結）：回答得很好！所以說數對也是有順序的，調換一下位置就不一樣了，所以我們要先有個規定，比如列號在前，行號在后，有了規定后，那這樣組成的數對，我們稱之為有序數對.（出示有序數對概念）

評析：相比初次，有序數對概念的構建比較注重過程的探討，分別從數對和有序兩方面進行探究，注重對數對和有序概念的構建過程，通過設問僅僅報列號或行號，能否確定是哪位同學？學生回答不能，學生自然而然明白確定一個位置需要兩個數據，從而引入了數對，再通過比較（4，5）和（5，4），同樣相同的兩個數表示的位置卻不同，從而讓學生體會到有序的意義.本次雖然注重了概念的構建過程，但是學生對這一過程的體驗還不夠深刻，要讓學生充分體驗構建的過程，從而很自然地概括出有序數對的概念，帶著這個問題，需再次思考整理，對概念的構建進行研究.

三、第三次試教——注重構建過程，重視體驗感悟

師：首先讓我們再次來感受一下北京奧運會開幕式上擊缶倒計時那激動人心的一幕（視頻播放3分鐘，最后停留在倒計時7秒），如圖2，這場面確實讓人非常的震撼，這是由兩個方陣組成的背景圖案，你知道這些背景圖案是怎么組成的嗎？（學生思考）

師：想知道其中的秘密嗎？事實上這里面蘊含著數學的知識，運用這些數學知識，我們班同學也可以組成這絢麗多彩的圖案，為了研究這個問題，我們先不妨縮影到教室.請問班長在哪里？誰來描述一下班長在這個教室中的位置？

圖2

生1：第8列第4排.

師：你是怎么數的？（生指著位置數了起來）

師：哦，你是約定這邊為第一列，這是第一排是吧，約定是人為的，不同的約定，位置的表述也就不一樣，那好，為了研究的方便，我們就先按照這位同學的約定，那班長的位置就可以描述為第8列第4排，那再請問副班長的位置怎么描述？

生2：第4列第7排.

師：大家看，這樣描述位置多麻煩啊，有沒有更加簡單的方法來表示呢？

生3：利用數對（8，4）.

追問1：為什么要取兩個數字來表示，單單一個數字8行嗎？（生齊聲說不行）

追問2：那第5列第4排的同學可以記作？

生4：（5，4）.

追問3：那第4排第5列的同學可以怎樣描述？

生5：（5，4）.

追問4：為什么不寫成（4，5）？

生6：因為列在前，排在后.

師：對，我們要先作規定：列在前，排在后，大家看，這是兩個相同的的數字組成的數對，為什么表示的位置不一樣？

生7：因為含義不同，前面一個5表示列，后面一個5表示排.

師：很好，這說明數對是有順序的，如果調換一下位置，那表示的位置就不一樣，我們把這種有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對.

師：那么現在你是否感悟到了那壯觀的場景是怎樣形成的？原來，球場上的2008個同學，每人都按圖案設計的要求，按排號、列號站在一個確定的位置，隨著指揮員的信號，相應的同學開始擊缶，整個方陣就組成了壯觀的背景圖案.

評析：北京奧運會擊缶倒計時視頻引入，停留在倒計時7秒時的位置，一下激發起了學生學習的興趣和探究的欲望，之后重點探索有序數對概念的構建過程，在老師巧妙的設問中和一連串的追問中，造成學生認知的沖突，讓學生經歷了有序數對的構建過程，從而使學生充分感知數對的含義及有序的意義，通過這一探討過程，讓學生充分理解了有序數對這一概念，拓展了學生的思維能力.有序數對的概念得出后，在互動游戲中學生站立起來剛好組成7這個數字，學生馬上悟到了奧運會倒計時是怎樣形成的，感嘆數學就在身邊，通過親身體驗這一形成過程，從而感悟到學習有序數對的必要性，此時無聲勝有聲.

四、對概念課教學的幾點思考

1.概念的構建過程要自然流暢

學習是一個主動建構的過程，要讓學生知其然，而且知其所以然，學生主動地參與到數學概念的構建過程中來，這樣學生才能對概念理解深刻，運用自如.本節課第三次試教中對有序數對概念的得出，從“為什么要引入數對？”“為什么要作規定列在前，排在后？”讓學生在沖突中來感悟數對和有序的必要性.數學概念是數學思維的載體，數學概念的形成過程是學生通過思維活動“再創造”的過程，教師應合理地運用教學方式和手段，通過有效的提問，師生的互動來構建新知，例如通過一連串的追問，通過辨析（4，5）和（5，4）構建了數對的概念，以及對于有序的理解.概念的教學不是簡單的傳授，要讓學生在教師的引導下充分體驗概念的構建過程，以此不斷提升學生的思維能力.

2.概念的引入要貼近學生實際

概念的引入是進行概念教學的第一步，在教學中要從學生原有的知識結構、認知水平、興趣特點等來選擇合適的情境，從而有效地引入新課.概念的引入可以以貼近實際生活情景作為導學，例如以北京奧運會2008個同學組成的方陣擊缶倒計時視頻引入，停留在倒計時7秒時的位置，引發學生去思考如何來確定擊缶的位置，才能形成如此壯觀的圖案，這一情景激發起了學生對枯燥的概念學習的欲望和濃厚的學習興趣，為探究新知創設了良好的開端.

3.概念的運用要注重深層理解

概念的運用是掌握概念過程中不可缺少的環節，通過運用可以加深理解，增強記憶，對概念的運用應注重由淺入深，逐步發展學生的思維，體會“數學來源于生活，服務于生活”的理念，達到學以致用的目的.例如，在概念形成后，教師可指出：“利用有序數對，可以準確地表示出一個位置，請同學們舉出生活中的實例.”此時同學踴躍發言，如人們常用經緯度表示地球上各個事物的位置等.學生理解和運用概念的過程就是培養數學思維的過程.因此，在概念教學中，教師應結合教學內容及學生實際，采用合理的教學策略，關注概念的構建過程，從而促進學生對概念的理解運用，發展學生的思維能力.

1.李樹臣.展現過程是加強“四基”教學的根本途徑［J］.中國數學教育（初中版），2012（11）.

2.施彬.課堂教學中如何有效建立新概念［J］.中國數學教育（初中版），2013（11）.

3.韓建芳，孫學東.概念教學，讓學生的思維再前行一步［J］.中學數學教學參考（中），2013（12）.H