列車荷載作用下滲漏隧道的長期非線性固結

曹 奕，蔣 軍，謝康和，陳煒昀3

（1.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，310014杭州；2.浙江大學建筑工程學院，310058杭州；3.南京工業大學巖土工程研究所，210000南京）

列車荷載作用下滲漏隧道的長期非線性固結

曹 奕1，2，蔣 軍2，謝康和2，陳煒昀3

（1.中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司，310014杭州；2.浙江大學建筑工程學院，310058杭州；3.南京工業大學巖土工程研究所，210000南京）

為研究列車荷載對地鐵周邊土體長期非線性固結的影響，以及其與隧道滲漏的共同作用，將列車荷載等效為矩形循環荷載，采用經典的土體非線性固結理論，以及襯砌與土體相對滲透性系數，得出列車荷載作用下局部滲漏隧道的非線性固結解析解.通過本文預測值與上海地鐵實測數據的對比，驗證了解析解的合理性.分析結果表明：列車荷載加劇了隧道上方地表長期沉降，襯砌滲漏程度越大，沉降增加量越大.本文解析解能較好模擬隧道周邊土體的長期固結特性，為預測地鐵隧道長期運營導致的地表沉降提供一個較為合理有效的方法.

列車荷載；盾構隧道；非線性固結；解析解；襯砌滲漏

飽和軟土地區的地鐵在運營過程中，列車振動荷載的長期作用將導致隧道軸向的變形、地面沉降的加劇，對地鐵運營的耐久性和周邊環境造成不良影響.許多學者就此問題進行了研究，文獻［1－4］等分別采用動三軸試驗等方法確定土體的動彈性模量，采用有限元計算等數值模擬方法計算了飽和軟土地區列車振動荷載作用下地基變形及地面沉降的經驗模型、數值解或解析解.這些研究均未考慮隧道滲漏條件造成的地表附加沉降.而在飽和軟土地區，由于隧道襯砌內外存在一個較大的水頭差，且襯砌管片接頭的手孔、螺栓孔等處存在不同程度的滲漏，由此隧道在其周邊土體中引入了一個新的透水邊界.文獻［5－9］的研究表明這將對土體內的孔壓發展和變形產生較大影響，盾構隧道襯砌局部滲漏特性對地表長期沉降的影響不容忽視.

為研究隧道周邊土體在列車荷載作用下的長期固結沉降，作者在文獻［10－11］中將隧道襯砌理想化為完全透水和完全不透水兩種極端情況，得到了襯砌滲漏對地鐵隧道周邊土體長期固結影響的上下限.本文采用文獻［12］提出的襯砌與土體相對滲透性系數模擬隧道襯砌的局部滲漏特性，采用文獻［13－15］提出的非線性固結理論建立土體的固結控制方程，通過將列車荷載等效為矩形循環荷載，推導相應的孔壓和土體沉降解析解，然后通過等效矩形循環荷載參數的調整，分析列車荷載對土體固結、地表沉降的影響，并通過與上海地鐵1號線實測數據的對比，驗證解析解的合理性.

1 問題描述

1.1 基本假定

對于飽和軟土中考慮襯砌透水的隧道周邊土體的非線性固結問題，采用圖1計算簡圖.隧道半徑為r，埋深為h，坐標原點位于隧道正上方地表處.綜合文獻［13－15］對土體非線性固結所作的假設和隧道周邊土體的固結問題，基本假定：

1）隧道縱向長度足夠長，滿足平面應變條件；

2）洞周土體視作帶圓孔的半無限空間；

3）隧道周圍土體均為各向同性飽和多孔介質，土體滲透性的變化服從e－lg k關系，壓縮性的變化符合e－lgσ關系［11－13］；

4）土顆粒和孔隙水不可壓縮，孔隙水流動服從達西定律，地表及無窮遠處的超靜孔壓為零；

5）變形為小變形，不計變形對坐標的影響；

6）地基內各點土體自由變形，不受土體自身及隧道成拱作用影響；

7）盾構施工只在土體中引起超孔壓，土體豎向總應力不變.

圖1 半無限空間中隧道計算簡圖

1.2 列車荷載的簡化

本文將列車荷載簡化為矩形循環荷載，加載形式見圖2.假設列車長度L，運行速度v，則列車荷載單次加載時間ta＝L／v，間隔時Δt，等效荷載最大值qu，列車運行時刻表以一天為周期.

列車荷載的函數表達式為

式中：t0為每天列車開始運營的時間，Δt為列車間隔時，n為列車單日運營序數.

圖2 列車荷載示意

2 問題求解

2.1 控制方程

依據文獻［13－15］的假定，以及文獻［11］對控制方程的推導，由自由應變條件下的基本假定得到飽和土體連續方程：

式中：e為土體孔隙比，e0為土體的初始孔隙比，ks為土體的滲透系數，εv為土體中某點的體應變，γw為水的重度，Δu為超孔隙水壓力.

假定土體初始滲透系數為ks0，初始有效應力σ′0，由文獻［13－15］，土體的壓縮性和滲透性服從經驗公式：

式中：ks0為土體的初始滲透系數，Cc為壓縮指數，Ck為滲透指數，σ′0為初始有效應力，σ′為有效應力.

由式（4）、（5）可得

式中mv0＝Cc／(1 ＋e0)σ′0ln10為初始土體壓縮系數，mv為土體壓縮系數.

將mv0代入式（7）可得

由有效應力原理且總應力不變，則有由于非線性方程求解困難，作與文獻［11］類似的假定：土體壓縮性和滲透性同步變化，即Cc／Ck＝1，將式（4）、（6）、（9）代入式（1），可得控制方程為

令

則控制方程（10）簡化為

式中Cv0＝ks0／(γwmv0)為固結系數.

2.2 保角變換

因為在x－y坐標系內求解上述問題十分困難，故將復平面z＝x＋i y中隧道邊界外的半無限空間通過保角變換ω（ζ）映射為ζ平面內的一個環域，其中半徑為1的圓環外邊界為原Z平面中地表，半徑為R的圓環內邊界為隧道襯砌邊界，見圖3.采用文獻［16］提出的保角映射函數：

式中：h為隧道埋深，R為ζ平面內隧道邊界.其中

此時控制方程（12）變為

圖3 保角映射后的區域

2.3 局部滲漏邊界及初始條件

采用文獻［17］的假設，在初始時刻隧道外壁附近土體的超孔壓已知為q的情況下，土體中由于盾構推進等施工因素所引起的超孔隙水壓力Δuc，隧道滲漏引起的漏水，可近似認為隧道外壁處的超靜孔壓是均勻的，而在地表及無窮遠處的超靜孔壓為零.

盾構隧道在土體中引入了新的滲流邊界，當達到新的滲流平衡狀態時，隧道周邊土體中靜水孔壓的減小量，與隧道施工造成的超孔壓的消散量，共同構成了滲流固結穩定后的總有效應力增量，即

式中：Δσf為固結完成時總有效應力增加量，Δu0為固結完成時的孔壓總消散量，u0為隧道開挖前土體中的靜水孔壓，us為隧道周邊土體達到穩定滲流狀態時的孔隙水壓力.

根據文獻［18］提出單位時間內流入單位長度隧道襯砌的滲流量解析解為

式中：Qt為單位長度隧道在單位時間內的滲流量.kc為襯砌的滲透系數，ksf最終固結完成時土體的滲透系數，r1和r2分別為隧道內外半徑，uT為最終固結完成時襯砌與土體邊界面上孔壓.土體中離隧道中心距離為r＝處，單位時間內沿單位隧道長度土體的滲流量解析解為

由單位時間內單位隧道長度的土體中經過不同滲流邊界面的滲流量相等，可得穩定滲流時土中的孔壓分布為

式中uT可從式（18）得到.

據文獻［12］，引入考慮隧道襯砌尺寸效應的土與襯砌相對滲透性系數 κ，其與超孔壓的方向導數有

將式［6］代入式［21］，可得

式中：κ0＝kc／(ks0r2ln（r2／r1）)為初始相對滲透性系數.由于非線性固結過程中，κ發生了很大變化，下文中以κ0表示隧道局部滲漏特性.

從而可得局部滲漏邊界條件和初始條件：

2.4 問題求解

采用分離變量法求解上述控制方程和邊界條件，令ω（ρ，θ，t）＝ω（ρ，θ）·T（t）代入控制方程：

求解上述方程，可得

其通解為

式中：J0（λχ）為 零階 Bessel函數，N0（λχ）為零階Neumann函數，A、B為待定系數，由邊界條件確定.

采用局部滲漏邊界條件直接求解式（26）中的待定參數存在很大困難，故本文采用逐步遞推法：將整個非線性固結過程劃分為若干個等時間長度為ΔT的階段，考慮地鐵列車的運營周期，取ΔT＝1 d.以Δui表示第i階段的超孔壓，相應地Δui0，σ′i0分別為第i階段初始超孔壓和初始有效應力，κi0為第i階段的初始相對滲透性系數.

將邊界條件代入通解可得

式中：λij為固結過程中第i階段的第j個特征值，且

其中Ω＝1＋R2－2R cosθ，ζ＝R( R －cosθ).

由方程組（27）可知，要得到Ai、Bi的非零解，λij須滿足特征方程：

式（29）為關于λij的特征方程，記作f（λij）＝0，其為關于λij的偶函數，可不考慮負根，用逐步搜索的辦法得到f（λij）＝0由小到大的無數多個正根序列為{ λi1，λi2，…，λij，…，λin}.

可得

式中Gij是由邊界條件決定的待定系數，Ωρ＝1＋ρ2－2ρcosθ.

將特征值λij代入式（24），可得

由關于t的Laplace變換可得

式中T（0）＝1，且

對式（31）作Laplace逆變換，可得到Tij，由此可得

由式（11），可得孔壓表達式為

由有效應力原理且總應力不變，可得第i時間段任意時間點的有效應力σ′i，由式（3）～（5）可得第i＋1時間段的襯砌與土體的初始相對滲透性系數為

式中：kc為初砌滲透系數，ks，i第i時間段土體的滲透系數，ks0，i為第i時間段土體的初始滲透系數.之后便可以進行第i＋1時間段土體超孔壓的迭代求解.

2.5 待定系數Gij的確定

根據Bessel函數的性質，特征值不同的特征函數在區間［R，1］上為加權正交：

由初始條件式和Wn（χ）的加權正交性得到

2.6 按超靜孔壓定義的固結度

第i時間段按超靜孔壓定義的土體平均固結度為

2.7 固結沉降的求解

同時根據廣義胡克定律和平面應變假設，可得第i時間段土中任意一點某一時刻的豎向應變為

式中K0為靜止土壓力系數，ν為土體泊松比.

由此可得第i時間段某一時刻地表某處的沉降為

3 隧道周邊土體長期固結沉降的預測

為分析列車荷載以及隧道局部滲漏狀態對周邊土體長期固結性狀的影響并驗證本文解析解的合理性，取文獻［19］提供的上海地鐵1號線測點的土性參數和實測沉降數據，進行沉降預測和對比分析.

3.1 計算參數

上海地鐵1號線全長14.6 km，隧道直徑6.2 m，上覆土層厚度6～8m，位于軟弱的飽和淤泥質粘土層中.計算斷面處埋深11 m，盾構隧道外徑6.2 m，內徑5.5 m.等效均質土體的初始滲透系數為 5.14× 10－9m／s，初始壓縮指數為0.25，初始孔隙比為1，泊松比ν為0.36，靜止土壓力系數K0為0.43.根據文獻［20］，由盾構施工在隧道周邊土體中引起的超孔壓q取為30.3 kPa.取3種隧道局部滲漏狀態，以襯砌與土體相對滲透性系數表示，分別為κ0＝∞即襯砌完全滲漏，κ0＝0.018即當襯砌滲透性接近于隧道實際滲漏情況（襯砌滲透系數 kc約為 3.89×10－11m／s［21］），κ0＝0即隧道襯砌完全不滲漏.列車荷載情況采用文獻［22］提供的上海地鐵列車荷載數據，列車荷載qu約為70 kPa，地鐵運行時速80 km／h，地鐵列車車廂長度約為22m，按照每列車5節車廂，則式（1）中單次列車荷載作用時間ta為4.95 s，列車間隔時Δt取為3min，每日運行次數n取320次.

3.2 土體固結情況

等效矩形循環荷載峰值 qu分別為 0 kPa和70 kPa時，不同襯砌滲漏條件下土體平均固結度的發展情況見圖4.

圖4 土體平均固結度與時間的關系

圖4表明，隧道局部滲漏程度的不同，將使隧道周邊軟土固結度的發展表現出很大的差異性.在不考慮列車荷載即取qu＝0 kPa的情況下，且κ0＝∞時，土體的非線性固結在700 d接近完成；當襯砌為實際的局部滲漏狀態即κ0＝0.018時，在1 600 d接近完成；而隧道處于完全不滲漏狀態即κ0＝0時，2 200 d接近完成.這也證實了隧道襯砌相對與土體的滲漏特性，很大程度上決定了隧道周邊土體的固結速度.

而列車荷載取qu＝70 kPa時，由于列車荷載作用下累積孔壓的增長和消散，不論隧道處于何種滲漏狀態，周邊土體固結度的發展均比相應滲漏條件下qu＝0 kPa（即不考慮列車荷載）時緩慢.因此，在分析隧道周邊土體的長期非線性固結時，考慮列車荷載以及隧道襯砌與土體的相對滲透性對于土體固結的影響是合理而且必要的.

3.3 隧道中心線處地表沉降發展情況

等效矩形循環荷載峰值 qu分別為 0 kPa和70 kPa時，不同襯砌滲漏條件下的隧道中心線處地表總沉降量隨時間的發展情況及上海地鐵1號線的實測沉降值，見圖5.由列車荷載導致的地表沉降增加量見圖6.

由圖5可知，當qu為70 kPa且局部滲漏時，在地鐵運營前期（0～80 d），本文解析解的預測沉降值略小于實測沉降值，其差異約4%～6%，而在100 d以后，本文預測沉降值同實測沉降值十分接近，其差異在3%以內.當考慮列車荷載時，考慮襯砌局部滲漏的非線性固結解析解較為符合土體的長期固結特性.而在相同的列車荷載條件下，隧道處于實際襯砌滲漏條件即κ0＝0.018時，非線性固結解析解得到的沉降預測值均位于完全滲漏狀態和完全不滲漏狀態獲得的預測值范圍內.實測沉降值，要遠大于列車荷載為零時本文提出的解析解預測值.

圖5 地表沉降與時間的關系

圖6 列車荷載導致的地表沉降與時間的關系

從圖5可得出與上小節類似的結論：襯砌局部滲漏為隧道周邊土體提供了一個新的邊界，加速了土體的固結；當最終滲漏穩定時，襯砌的局部滲漏增大了靜水孔壓消散量，從而加劇地表的長期沉降.

由圖6可知各個隧道滲漏條件下，與列車荷載為零時相比，qu為70 kPa時，隧道中心處地表沉降均有不同程度的增加.沉降增加量與襯砌滲漏條件有關，滲漏程度越大，沉降增加量越大.這表明，列車荷載與隧道局部滲漏條件相耦合，共同影響了長期固結沉降.與文獻［2］采用不排水條件下累積孔壓消散模型相比，本文采用局部滲漏邊界條件能夠更好預測地表固結沉降.

3.4 地表沉降速率發展情況

等效矩形循環荷載峰值 qu分別為 0 kPa和70 kPa時，不同襯砌滲漏條件下的隧道中心線處地表總沉降速率隨時間的發展情況見圖7，由列車荷載作用而增加的地表沉降速率見圖8.

圖7中，在經歷了固結初期沉降速率的快速下降后，在200 d左右，不同滲漏條件下的沉降速率趨于一致，其后κ0襯砌與土體的相對滲透性越小時，其沉降速率的減少越為緩慢.隧道滲透性越差，固結后期的沉降增加量越大.實測沉降速率的下降趨勢同實際局部滲漏條件下本文解析解預測值趨勢較為一致.隧道襯砌相對土體的滲透性越大，隧道周邊軟土在固結初期（0～200 d）的沉降速率越大，這一現象證實了：隧道本身作為一個新的排水邊界加速了土體的固結沉降，而列車荷載的加載，加快了地表沉降的發展.

圖7 地表沉降速率與時間的關系

圖8 列車荷載導致的地表沉降速率與時間的關系

圖8表明：當κ0＝∞時，列車荷載導致的沉降速率在固結初期可達0.12 mm／d；當κ0為0.018時，沉降速率最大值可達0.07mm／d；相應地，當κ0＝0時，其值為0.02 mm／d.這表明隧道局部滲漏程度越大，列車荷載導致的地表沉降速率越大.

4 結 論

1）施加70 kPa的列車荷載比未施加列車荷載時，地表沉降均有不同程度增加.沉降增加量與隧道襯砌滲漏條件有關，滲漏程度越大，沉降增加量越大.

2）采用襯砌與土體相對滲透性系數能夠有效模擬隧道局部滲漏特性，并通過與實測沉降數據的對比驗證了本文解析解的合理性.

3）隧道襯砌的局部滲漏通道，為周邊土體的固結提供一個新的排水邊界，與列車荷載相耦合，共同影響了地表沉降的長期發展.

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（編輯趙麗瑩）

Long-term nonlinear consolidation of soil around a shield tunnel w ith partially sealing linings under train loading

CAO Yi1，2，JIANG Jun2，XIE Kanghe2，CHENWeiyun3

（1.Hydrochina Huadong Engineering Corporation，Hydrochina Corporation，310014 Hangzhou，China；2.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang University，310058 Hangzhou，China；3.Institute of Geotechnical Engineering，Nanjing Tech University，210000 Nanjing，China）

The train loading is simplified as equivalent rectangular cyclic loading in this paper to investigate the influence of train loading on long-term deformation of soft soil around a shield tunnel.Based on the empirical relation between permeability and compressibility，the governing equation of nonlinear consolidation is established.Then the analytical solutions are derived after the partially sealing lining as boundary condition is considered by introducing a dimensionless relative parameter of soil-lining permeability.The rationality of corresponding analytical solutions is confirmed by the comparison among predictions of ground settlementby presented solution and field data from Shanghai Metro Line No.1.The results show that the increment of ground settlement by train loading is positively correlated with partially sealing condition.The presented solutions provide a reasonable and effective tool for the prediction of long-term ground settlement by the operation ofmetro way.

Train loading；shield tunnel；nonlinear consolidation；analytical solution；sealing linings

TU441＋.8

A

0367－6234（2015）12－0050－07

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.12.009

2014－05－21.

國家自然科學基金（51078329）.

曹 奕（1986—），男，博士.

蔣 軍，jiangjunzju＠163.com.