地震作用下密頻拱橋Rayleigh阻尼的優化解

雷素素，高永濤，潘旦光

（北京科技大學土木與環境工程學院，100083北京）

地震作用下密頻拱橋Rayleigh阻尼的優化解

雷素素，高永濤，潘旦光

（北京科技大學土木與環境工程學院，100083北京）

為建立頻譜密集結構的阻尼矩陣，以地震反應譜理論為基礎，基于完全二次組合（CQC）提出了求解Rayleigh阻尼系數的優化分析方法.在此基礎上，為實現任意階模態阻尼比等于精確阻尼的要求，利用Lagrange乘子法進一步建立了求解Rayleigh阻尼系數約束優化方法.以一座斜交曲梁下承式鋼結構吊索拱橋為例，討論優化分析所得Rayleigh阻尼系數的穩定性，比較了不同的優化目標組合、約束條件對優化參考頻率和地震反應的影響，以及約束優化解中約束模態的選取問題.數值分析結果表明，與平方和開平方組合（SRSS）相比，CQC組合所得的Rayleigh阻尼系數的地震反應計算誤差更小，約束模態應該選取對結構地震反應有顯著貢獻的第一階模態.

密頻結構；地震反應；Rayleigh阻尼；優化分析；完全二次型組合

橋梁作為生命線工程之一，其抗震安全性歷來備受矚目.為滿足交通功能和城市景觀功能，世界各地因地制宜的修建大量造型優美的非規則橋梁.對于非規則橋梁，其動力響應特性復雜，因此，中國規范［1］要求采用時程分析法、多振型反應譜法和功率譜法等分析方法來確保其抗震性能.當采用直接積分法進行時程反應分析時，必然涉及阻尼矩陣的建立問題.在各種阻尼矩陣的構建方法中，Rayleigh阻尼［2－3］由于數學處理的便利性而廣泛應用到各種橋梁的地震反應分析中，通常Rayleigh阻尼系數通過指定兩階參考頻率進行計算.文獻［4－5］以最低兩階橫向模態為參考模態形成連續梁橋的Rayleigh阻尼；文獻［6］以基頻和對結構有重要影響模態為參考模態構造Rayleigh阻尼，對大跨雙曲拱橋進行地震分析；文獻［7］建議選擇兩個振型參與系數大的振型來確定Rayleigh阻尼矩陣，對于大型復雜結構，直接指定兩階合理的參考頻率有一定的難度，此時可采用優化理論的方法計算Rayleigh阻尼系數；文獻［8］提出采用最小二乘法計算α和β，最小二乘法沒有考慮各階模態對動力反應貢獻的差異，不是一種合理計算方法［9］；文獻［10］建立了基于多參考振型的加權最小二乘法計算Rayleigh阻尼；文獻［11－12］基于振型疊加反應譜理論和平方和開平方原理（SRSS），建立了Rayleigh阻尼系數的優化解；文獻［13－14］分別通過顯式方法和拉格朗日乘子法求解了有約束模態的Rayleigh阻尼系數，但是并未考慮約束模態的影響和約束模態的選取方法.

由反應譜的理論可知，SRSS組合沒有考慮模態之間的相互影響，比較適合頻率較為稀疏結構的反應分析.對于頻率密集的結構，頻率比在0.85以內的模態之間相互影響很大［15］.為此，在文獻［11，14］基礎上，本文主要進行兩方面研究：基于完全二次組合（CQC）推導了優化Rayleigh阻尼系數的計算公式，以模態相關系數考慮模態之間的相互影響，并與SRSS組合優化方法進行比較，討論密頻結構目標函數的建立問題；采用Lagrange乘子法建立基于CQC組合的Rayleigh阻尼系數約束優化求解方法，在此基礎上，以張家口一座斜交曲梁下承式鋼結構吊索拱橋為例，討論約束模態的選取方法及約束條件對優化結果的影響.

1 Rayleigh阻尼系數約束優化解

在地震輸入作用下，多自由度體系的強迫振動方程可表示為

式中：u、ù和ü分別為相對位移、相對速度和相對加速度向量，I為地面運動影響向量，üg（t）為地面運動加速度，M、C和K分別為質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.假設C為Rayleigh阻尼，即

式中：α和β分別為質量比例阻尼系數和剛度比例阻尼系數.若已知結構前N階的頻率ωn和模態φn（n＝1，2，…，N），則由式（2）所得第n階模態的近似阻尼比為

若第n階模態的精確阻尼比為ζ?n，由模態疊加反應譜法的理論可知，第n階模態對第k自由度的最大位移反應ukn由Rayleigh阻尼所得的近似解和精確解可分別表示為：

式中上標?表示精確解.γn＝－φn T MI／Mn，Mn＝φn T Mφn分別為第n階振型參與系數和振型質量，Sd（ζn，ωn）為第n階模態的位移反應譜，其計算式為

為考慮頻率密集結構模態之間的相互影響，基于反應譜理論中的相關系數和CQC組合，以第k自由度位移反應建立目標函數：

式中λij＝ωi／ωj，ρij為第i階模態和第j階模態的相關系數［3］.顯然，式（7）是α和β的隱函數.為簡化計算，將位移反應譜函數采用一階Taylor級數展開：

式中S′d（ζ?n，ωn）＝?Sd（ζ?n，ωn）／?ζn.將式（9）代入式（8），整理后可得

式中：

為得式（10）的最小值，令

化簡后可得

式中 G＝ΩWΩT，R＝ΩWy.求解式（12）即可得Rayleigh阻尼系數的無約束優化解.如果式（10）的權重矩陣僅保留主對角線元素，而令其余元素為零，即可得到基于SRSS組合的優化Rayleigh阻尼系數，由此可知，基于CQC組合的優化方法計算工作量增加很小.為使第r階模態的阻尼比等于精確值ζ?r，則可增加約束條件：

采用Lagrange乘子法，式（13）約束條件下，式（10）的目標函數可表示為

將式（14）分別對X與λ求導，并令相應的導數為零可得代數方程組：

求解式（15）方程，所得的Rayleigh阻尼系數為第r階模態阻尼比等于精確解的約束優化解.

2 工程概況及輸入地震波

為驗證以上算法合理性和精度以及約束條件必要性，以張家口通泰大橋為例，探討不同方法所得Rayleigh阻尼系數對橋梁地震反應的影響.通泰大橋是一座斜交曲梁下承式鋼結構吊索拱橋（圖1），橋的拱圈斜跨主梁，水平投影與主梁跨中軸線切向夾角19.5°，主梁與拱圈之間由28根吊索相連，主橋為跨徑190 m的鋼箱梁彎橋，彎曲半徑600 m，拱圈最大矢高62.118 m，拱腳間距180 m，主梁和拱圈的截面尺寸見圖1.

圖1 橋梁示意（mm）

橋梁采用單脊梁式建立有限元模型，見圖2.模型中以Timoshenko梁單元（beam189）剖分主梁和拱，以索單元（link180）剖分吊索.鋼的彈性模量為2.06×1011Pa，密度7 850 kg／m3，泊松比0.3.橋面鋪裝及欄桿采用附加質量的方式考慮，每個梁單元節點附加質量為1.23×104kg.根據設計圖紙，拱腳為固定支座，梁端為鉸支座.模型共包括431個單元，676個節點，其中坐標系：x方向為橫橋向，y方向為順橋向，z方向為豎向.并設各階模態的精確阻尼比為0.02.建立有限元模型后，在恒載作用下，索力調整以橋面1／8點豎向位移的平方和最小為優化目標，以跨中位移小于l0／400（l0為主梁跨徑）為約束條件進行優化計算，所得索力和橋梁應力作為后續地震反應分析的初始應力狀態.

在式（9）計算中，權重系數wij涉及第k自由度的模態位移φkn，即優化的參考自由度問題.根據文獻［11］的研究成果，以拱頂這一最大位移反應的自由度為參考自由度.

在輸入地震波方面，選擇3條不同類型的地震波作為橋梁的地震輸入，并將地震波峰值加速度統一調整為0.1 g.地震波的加速度時程和7個阻尼比（ζ＝0.005、0.01、0.02、0.03、0.05、0.10、0.20）下的位移反應譜見圖3.

圖2 橋梁有限元模型

圖3 地震波加速度時程及其位移反應譜

對于實際地震輸入下的反應譜必然是極不規則的曲線，因此，無法建立位移反應譜顯式表達式.此時可由7個阻尼比的反應譜通過曲線擬合并求導計算得到［14］，即

3 計算結果及分析

3.1 橋梁自振特性

對于吊索拱橋，拉索的應力對結構的動力特性有顯著影響.為考慮重力對拉索應力的影響及拉索的幾何剛度，拱橋的模態分析分兩個步驟：計算重力及初始應力下結構的應力；進行有預應力的模態分析.結構主要階數的自振頻率、振型參與質量、累積振型參與質量和振型特征見表1.可見當模態階數達198階時，x和y方向的累積振型參與質量都超過90%.

表1 部分顯著貢獻模態

從模態分析結果看，第1階模態是拱橫橋向（x方向）振動的第1個顯著貢獻模態，第3階模態是拱順橋向（y方向）振動的第1個顯著貢獻模態，且是橫橋向振型參與質量最大的一階模態；因此，建立式（12）的約束條件時，橫橋向的約束模態取為第1階，同時，也計算第3階模態為約束模態作為對比.在順橋向約束模態的選取方面，分別選擇結構的基頻（第1階）和對y方向振動有顯著貢獻的第1個模態（第3階）作為約束模態，進行對比分析，以理解基頻的含義.兩種做法雖然最終選取的約束模態都是第1階和第3階，但對比分析的目的并不相同.

3.2 參與優化計算模態個數影響

由式（6）可知，Rayleigh阻尼系數優化計算與參與優化計算的模態個數N有關.圖4、5為x方向激勵下不同方法所得Rayleigh阻尼系數隨模態數N的變化情況，y方向激勵下的計算結果具有相同的變化規律.圖中SRSS和CQC為無約束優化分析的結果，SRSS1、SRSS3、CQC1和CQC3表示約束優化解.字母后面的數字表示約束模態的階數，譬如，CQC3表示第3階模態的阻尼比等于精確值作為約束條件，用CQC組合作為模態函數所得的約束優化解.從Rayleigh阻尼系數曲線看，當累積振型參與質量超過90%的模態參與優化計算，無論是SRSS組合還是 CQC組合，無論是無約束還是有約束，Rayleigh阻尼系數的計算結果趨向于一個穩定值.因此，下面計算分析時，都以 N＝198所得的優化Rayleigh阻尼系數進行時程分析.

圖4 x方向激勵無約束優化解

圖5 x方向激勵約束優化解

不同優化算法計算所得的α和β列于表2、3.將α和β代入式（3）計算各階模態阻尼比，并稱優化計算所得阻尼比等于精確阻尼比的頻率為優化參考頻率，不同方法所得優化參考頻率也列于表2、3.

由計算結果可知：1）對比CQC和SRSS所得Rayleigh阻尼系數可知，CQC組合所得α更大而β更小，由此導致CQC組合所得的第二個優化參考頻率大于SRSS，但第一個參考頻率基本相同，這表明CQC組合更多地考慮了高階模態的影響；2）對比無約束和有約束優化解的計算結果可知，當約束模態是相應激勵方向第一個顯著貢獻模態（x方向激勵時選第1階，y方向激勵時選第3階），約束優化解的第2個參考頻率與無約束優化解的基本相同，且無約束優化解的第一個參考頻率也接近約束模態，對于這種情況，增加約束條件對優化計算影響很小；3）不同地震波輸入下，優化參考頻率并不相同，這是由于不同地震波的頻譜特性并不相同，而本文優化分析方法可綜合考慮結構動力特性和輸入地震波的頻譜特性的影響.

表2 x方向激勵下優化Rayleigh阻尼系數及參考頻率

表3 y方向激勵下優化Rayleigh阻尼系數及參考頻率

3.3 反應峰值的計算誤差

由模態分析可知，當模態個數達1 000階時，體系x方向和y方向的累積振型參與質量都超過99%.為此，采用各階模態的精確阻尼比，以1 000階模態的振型分解法計算所得的結構動力反應量作為精確解，并記為r?.采用Rayleigh阻尼模型所得的近似解記為r，則Rayleigh阻尼模型計算結果的相對誤差e為

作為對比的傳統Rayleigh阻尼計算方法，在x方向激勵時，選用i＝1，j＝115和i＝1，j＝198兩模態組合方式，在y方向激勵時，選用i＝1，j＝138和i＝3，j＝138兩種模態組合方式計算相應的Rayleigh阻尼矩陣.下面分別從拱頂位移峰值，拱腳的軸力、剪力的峰值比較不同方法所得Rayleigh阻尼對計算精度的影響.

在不同地震波沿x方向激勵作用下，不同方法所得Rayleigh阻尼的計算誤差見表4.可看出：1）從總體統計角度看，使用優化方法得到的計算誤差都小于傳統方法，而不考慮輸入地震波影響的傳統計算方法，不同地震波的計算誤差差別很大；2）除CQC3外，無約束優化解和約束優化解的計算誤差基本相同，這表明無約束優化方法具有自動識別顯著貢獻模態的能力，而無需人為指定約束條件進行約束優化分析；3）采用SRSS組合進行優化分析結果具有很好精度，而CQC組合的計算精度更高，這是由于SRSS組合的優化方法所得的Rayleigh阻尼系數使反應譜組合中自相關項的計算誤差最小，這同時也降低了互相關部分的計算誤差，而CQC組合考慮自相關和互相關項誤差的影響，因此，可在一定程度上提高計算精度.其最明顯的影響是對拱腳剪力計算精度的提高，這是由于拱腳剪力中包含高頻成分，CQC組合的第2個優化參考頻率高于SRSS組合，因此，相應地提高剪力的計算精度；4）CQC3方法的計算結果是優化分析中最差的，這表明任意選擇一階顯著貢獻模態作為約束模態是不合理的.

表5為y方向激勵作用下的計算誤差.由計算結果可以看出：1）從總體統計角度看，使用優化方法得到的計算誤差也小于傳統方法，而且變化規律和x方向激勵下的基本一致，這再次表明優化分析的有效性；2）由于y方向激勵下，第一個顯著貢獻模態是第3階，因此，以第3階作為約束模態的計算精度顯著高于以第1階作為約束模態，這表明，所謂的動力反應基頻應該是指對結構有顯著貢獻的第1階模態.

表4 x方向激勵下的計算誤差

表5 y方向激勵下的計算誤差

4 結 論

1）優化Rayleigh阻尼系數與參與計算的模態數目有關，計算中應使優化方程包含所有的顯著貢獻模態.實際計算時，可選取累計振型參與質量超過90%的模態數進行計算.

2）優化分析方法所得Rayleigh阻尼系數是綜合考慮結構動力特性和地震波頻譜特性影響的結果，無需人為確定兩階參考頻率，便于工程應用，且從統計角度看，計算誤差小于傳統誤差.

3）與SRSS組合相比，CQC組合的優化方法在計算工作量增加不多的情況下，所得的優化Rayleigh阻尼系數可提高結構地震反應精度.

4）采用約束優化分析時，應該選用與激勵方向相對應的第1個顯著貢獻模態作為約束模態，此時所得的Rayleigh阻尼系數具有很高的計算精度.簡單選擇第1模態或任意選擇1階模態作為約束模態的做法應該避免.

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（編輯趙麗瑩）

An optim ization solution of Rayleigh dam ping coefficients on arch bridges w ith closely-spaced natural frequencies subjected to seism ic excitations

LEISusu，GAO Yongtao，PAN Danguang

（School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，100083 Beijing，China）

An optimization solution of Rayleigh damping coefficients is proposed to construct the dampingmatrix of structureswith closely-spaced natural frequencies based on the seismic response spectrum theory and the complete quadratic combination（CQC）rule.A constrained optimization method is further developed to enforce the arbitrary ordermode damping ratio equal to the precise value by Lagrangemultipliermethod.A curved girder skew through steel suspension arch bridge is analyzed to investigate the characteristics of the proposed method.Firstly，the solution stability of optimal Rayleigh damping coefficients is discussed，Secondly.the effects of the different combinations of optimal objective functions and constraint conditions on optimal reference frequencies and seismic response are compared，and the selection of constraintsmode in constrained condition is also discussed.Numerical results show that the seismic response calculation error is smaller while the Rayleigh damping coefficients is obtained from CQC rather than the square rootof sum square（SRSS）combination.The constrained mode should be specified as the first order significantmode corresponding to structural seismic responses.

closely spaced natural frequencies structure；seismic response；Rayleigh damping；optimization analysis；complete quadratic combination

TU311.3；U442.5＋5

A

0367－6234（2015）12－0123－06

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.12.022

2015－04－09.

國家自然科學基金（51078032）；北京市自然科學基金（8143037）.

雷素素（1988—），女，博士研究生；高永濤（1962—），男，教授，博士生導師；潘旦光（1974—），男，研究員，博士生導師.

潘旦光，pdg＠ustb.edu.cn.