應用非概率凸集模型的框架結構抗震性能分析

王東超，徐龍軍，張進國，謝禮立

（哈爾濱工業大學（威海）土木工程系，264209山東威海）

應用非概率凸集模型的框架結構抗震性能分析

王東超，徐龍軍，張進國，謝禮立

（哈爾濱工業大學（威海）土木工程系，264209山東威海）

為解決結構抗震性能分析結果會因地震動記錄選擇上的差異產生較大變異性問題，采用非概率凸集模型來考慮地震作用的不確定性，以結構最大層間位移角作為抗震性能指標，通過能力譜方法對一鋼筋混凝土框架結構進行非概率性抗震性能評估，與基于概率隨機模型的抗震性能分析結果進行比較.結果表明，采用非概率凸集模型進行結構抗震性能分析，在減少變異性的同時，還具有一定的合理性和適用性.

不確定性；非概率；凸集模型；抗震性能；框架結構

由于地震發生的時間、空間以及地震動記錄的頻譜特性等均具有強烈的不確定性，因此結構在地震作用下的動力響應是一個不確定性問題.傳統結構抗震性能分析是基于概率隨機模型考慮結構不確定性響應；但是，這種分析方法會由于所選地震動記錄數量和質量的不同，導致結果產生很大變異性.

上世紀90年代以來，國內外學者開始研究基于非概率凸集模型處理不確定性問題［1－3］.凸集模型所需實驗數據較少，魯棒性好，極大避免了概率隨機模型的局限性［1］.其中文獻［2］采用凸集模型描述不確定性參數，并將其應用于一個單自由度無阻尼的振動系統中，得到了該系統的非概率可靠度指標.此后，國內外學者基于凸集模型展開了多方面研究，并將其推廣至地震工程領域［4－7］.文獻［4］采用形狀不確定但是能量有界的凸集模型考慮地震的不確定性作用；文獻［6］基于規范提出了兩個考慮工程參量的地震作用凸集模型.在實際工程抗震性能分析中，鑒于結構的不確定性參量有隨機變量和非隨機變量并存的情況，文獻［8］提出通過逐次建立二級功能方程來求解混合模型下的非概率可靠度問題，這極大促進了非概率凸集理論在實際工程中的應用和發展.

在抗震性能分析方面，基于概率隨機模型的抗震性能分析運算量大，計算復雜，分析結果容易受不同地震動記錄選取問題的影響.鑒于此，本文采用非概率凸集模型來考慮地震作用的不確定性，以結構的最大層間位移角作為抗震性能指標，進而通過能力譜方法對一鋼筋混凝土框架結構進行非概率性抗震性能評估，然后與基于概率隨機模型的抗震性能評估結果進行分析比較.

1 結構體系抗震性能水準

結構抗震性能水準是指結構在某一特定設防地震作用下所預期達到的最大破壞程度［9］.隨著基于性態的抗震設計思想的不斷深化，對結構性能水平的劃分也在不斷細化，國內外總體上差別不大，但具體的量化指標仍有所不同.本文采用最大層間位移角表征結構的抗震性能，參考中國現行建筑抗震設計規范和文獻［10］中結構的性能水平與層間位移角的關系，鋼筋混凝土框架結構不同性能水平所對應的最大層間位移角θmax限值見表1.

本文主要考慮罕遇地震作用對結構的影響，只分析生命安全和接近倒塌兩種性能水平下的抗震性能.不同性能水平下，結構能力參數對應的均值采用表1數值，并采用0.03的變異系數來考慮其不確定性.若將結構能力參數視作凸集模型，則采用加減一倍標準差確定其區間范圍的上下界.

表1 鋼筋混凝土框架結構各種性能水平下最大層間位移角θmax限值 rad

2 結構體系地震響應的不確定性分析

2.1 基于凸集模型的結構地震響應

采用文獻［6］提出的雙參數界限凸集模型描述地震作用的不確定性，這種方法有效考慮了水平地震影響系數最大值α 和特征周期T的影響：

當αmax和Tg在包絡界限G和A中取值時，水平 地震影響系數α的取值區間E為

在地震作用下，框架結構的變形以基本振型為主.研究表明［11］：對于高度不大的框架結構，受高階振型影響較小，進行靜力彈塑性分析可得到比較滿意的結構彈塑性響應.通過能力譜方法將靜力彈塑性分析得到的頂點位移—基底剪力能力曲線轉化為A－D格式的能力譜曲線.通常采用FEMA［12］建議的方法對能力譜曲線進行等效雙線性化處理.對于服從雙線型本構關系的單自由度非彈性體系的抗力曲線，結構在地震動作用下的位移反應為

式中：Ry為屈服強度系數；Tn為等效單自由度體系的彈性周期；A是由彈性反應譜求得的結構最大加速度響應，可由式（2）中水平地震影響系數α的取值范圍E得到；μ為延性系數.

2.2 基于隨機變量的結構地震響應

傳統抗震性能分析都是基于概率隨機模型來考慮結構在地震作用下的不確定性響應，目前應用較多的結構易損性分析方法［13］也是基于這一理論出發的.在易損性分析中，通常假定結構的地震響應參數服從對數正態分布.結構工程的需求參數（D）和地震動參數（M）之間滿足關系：

本文主要研究在地震作用下，結構最大層間位移角均值θ～max與地震動譜加速度Sa（T1，5%）的關系，代入上式兩邊同時取對數有

3 結構體系抗震性能分析

在不同性能水平下，結構的抗震性能可表示為結構的地震響應超過性能水準限值的概率.在概率性抗震性能分析中結構能力參數R和結構地震響應S均被視作隨機變量，則結構的失效概率可表示為

假設R和S均服從對數正態分布，把式（4）、

（5）代入式（6），可得結構地震響應超過某一性能指標的超越概率為

式中：R的均值由不同性能水準下的層間位移角的限值確定；βR、βS根據 HAZUS99［14］取值，當以Sa（T1，5%）作為自變量時，βR2＋βS2取為0.4；Φ（·）表示標準正態分布.

在非概率抗震性能分析［1，5，7，15］中，R和S均被視作非隨機變量，并采用凸集模型進行分析.根據變量間相關性的不同，凸集模型可以分為區間模型和橢球模型兩種.關于非概率可靠度的求法，國內外學者分別提出了多種分析方法［16］，但是目前仍不存在一種普適性強的非概率可靠度分析方法.本文基于線性功能函數下采用最短距離法來分析結構的抗震性能.

線性功能函數方程為

式中ai、bj為常數，ri、sj為不確定變量.

若ri與sj視作區間模型，則ri、sj滿足下式：

式中Ric、Sjc為不確定性變量的均值，Rir、Sjr為不確定性變量的離差.

區間模型的非概率可靠性指標可表示為

若ri與sj視作橢球模型，則ri、sj滿足下式：

橢球模型的非概率可靠性指標可表示為

對于功能方程中既有隨機變量又有非隨機變量的情況，假設式（8）中ri為獨立正態隨機變量，sj為區間變量.當兩變量可以分離時，考慮ri的隨機性，可以構造二級功能方程來求解得到概率－非概率混合模型可靠性指標［5，8］，當R＝r時其公式為

從而建立二級功能方程為

由式（14）得到混合模型的可靠性指標為

4 算例分析

采用上述方法評估一六層三跨鋼筋混凝土框架的抗震性能.結構按照現行抗震規范進行設計，抗震等級為二級，設防烈度為八度（0.20 g），設計地震動分組為第一組.由于結構在空間上的對稱性，并且本文假定地震動沿結構主軸方向輸入，因此本文結構抗震性能分析是基于中間一榀平面框架進行的，計算簡圖見圖1.在該框架結構的設計中，底層高4.2 m，其余各層高3.6 m，結構總高22.2 m.梁柱縱向鋼筋均采用HRB400，梁柱混凝土等級均取C30，板厚為100 mm，梁柱截面尺寸及配筋見表2.

圖1 框架結構計算簡圖（mm）

表2 框架結構構件截面尺寸及配筋

采用有限元軟件OpenSees進行建模，混凝土采用單軸Kent-Scott-Park模型，考慮了約束箍筋對混凝土強度和極限壓應變的提高作用，同時考慮了混凝土的拉伸硬化.鋼筋采用Steel01Material（即雙折線本構模型）.結構的豎向荷載根據抗震設計規范（GB50011—2010）中5.1.3條規定對恒載、活載進行一定組合后作為結構的重力荷載代表值.結構阻尼采用Rayleigh阻尼模型，對于鋼筋混凝土結構，按照規范規定取其阻尼比為0.05.經過模態分析可得結構的基本周期T1＝0.94 s.

若結構的地震響應視作非隨機變量，則基于非概率凸集模型按照上述方法分析結構響應的不確定范圍.采用文獻［17］指出的8度罕遇地震下水平地震影響系數αmax和Ⅱ類場地特征周期Tg的取值范圍.通過對結構采用一階振型的側力加載模式進行靜力彈塑性分析，能力譜曲線見圖2.結構在罕遇地震作用下結構頂點位移響應區間為（178mm，520mm），對應的結構最大層間位移角的響應區間為（0.012 1 rad，0.041 6 rad），相應于兩種性能水準的限值要求，結構的抗震性能分析結果見表3.

若結構的地震響應視作隨機變量，則需要對結構進行一系列時程分析.為了使所選擇的地震動記錄盡可能地反映場地的工程特點，規范要求地震動反應譜與設計反應譜在統計意義上具有一致性.按照文獻［18］中提出的雙頻率段選波的方式選擇了12條強震記錄，地震動信息見表3.經適當調幅后，其加速度反應譜、平均反應譜與設計反應譜比較見圖3.分析可知，所選地震動記錄在［0.1，Tg］平臺段和結構基本周期T1附近加速度反應譜均值與設計反應譜均值能較好擬合，相差均不超過10%，滿足統計意義上一致性的要求.

圖2 框架結構能力譜曲線

表3 地震信息表

圖3 本文所選記錄加速度譜與設計譜對比

按照增量動力分析方法［19］，對所選的12條地震動的譜加速度Sa（T1，5%）以0.1g為增量不斷調幅后，對結構進行非線性動力時程分析.對所得數據進行統計回歸分析，數據處理見圖4.可以看出結構在相同譜加速度的不同地震動記錄作用下，得到的結構響應結果具有較大的離散性和變異性.依據建筑抗震設計規范計算，結構的響應加速度為0.37g.按照上述方法，結構易損性分析結果見圖5，并與非概率抗震性能分析結果對比見表4.

圖4 以Ln（Sa（T1，5%））為自變量的Ln（θmax）回歸分析

基于兩種性能水準的限值要求下，相比于概率隨機模型，非概率模型計算的超越概率偏大，但是相差在5%以內.當Rc－Sc＜0時，相比于區間模型，橢球模型雖然在一定程度上考慮了變量之間的相關性，但計算結果要比區間模型偏大，當Rc－Sc＞0時則情況相反.在混合模型計算中，結構的地震響應和能力參數分別采用隨機變量和區間變量考慮其不確定性，相當于“響應寬”、“限值窄”，因此計算結果較其他模型偏大一些.

圖5 框架結構易損性曲線

表4 框架結構概率與非概率抗震性能分析結果對比 %

5 結 論

1）對于地震這一不確定性強烈的工程問題，采用考慮水平地震影響系數αmax和特征周期Tg的雙參數界限凸集模型分析其不確定性作用，更能符合工程實際，避免了結構進行概率性抗震性能分析時結果會因不同的地震動選擇產生較大變異性的問題.

2）在相關參數取值合理的情況下，相比于概率隨機模型，基于非概率凸集模型的抗震性能分析方法，避免了大量的復雜運算，計算更加簡便，通過對一鋼筋混凝土框架結構算例分析，驗證了方法的合理性與可行性.

3）由于非概率抗震性能分析是基于能力譜方法出發的，因此其適用于高度不大，變形以基本振型為主，且受高階振型影響較小的結構形式，比如高度低于40 m的框架結構.

［1］JIANG Chao，BI Rengui，LU Guoying，et al.Structural reliability analysis using non-probabilistic convex model［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2013，254：83－98.

［2］BEN-HAIM Y，ELISHAKOFF I. Convex models of uncertainty in applied mechanics［M］.Amsterdam：Elsevier Science Publisher，1990.

［3］JIANG Chao，LI Wenxue，HAN Xu，et al.Structural reliability analysis based on random distributions with interval parameters［J］.Computers＆Structures，2011，89（23）：2292－2302.

［4］TZAN S R，PANTELIDES C P.Convex models for impulsive response ofstructures［J］.Journal of Engineering Mechanics，1996，122（6）：521－528.

［5］JIANG Chao，HAN Xu，LI Wenxue，et al.A hybrid reliability approach based on probability and interval for uncertain structures［J］.ASME，Journal of Mechanical Design，2012，134（3）：1－11.

［6］張之穎，張景繪.反應譜參量雙界限凸集模型及其地震作用效應［J］.西安交通大學學報，1999，33（2）：46－50.

［7］JIANG Chao，NIBingyu，HAN Xu，et al.Non-probabilistic convex model process：A new method of time-variant uncertainty analysis and its application to structural dynamic reliability problems［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2014，268：656－676.

［8］郭書祥，呂震宙.結構可靠性分析的概率和非概率混合模型［J］.機械強度，2002，24（4）：524－526.

［9］JANG Huanjun，CHEN Linzhi， CHEN Qian.Seismic damage assessment and performance levels of reinforced concretemembers［J］.Procedia Engineering，2011，14：939－945.

［10］李剛，程耿東.基于性能的結構抗震設計——理論、方法與應用［M］.北京：科學出版社，2004.

［11］KRAWINKLER H，SENEVIRATION G D P K.Pros and cons of a push-over analysis of seismic performance evaluation［J］.Engineering Structure，1998，20（5）：452－464.

［12］FEMA273.NEHRP guidelines for the seismic rehabilitation of building［S］.Washington D C：Federal Emergency Management Agency，1997.

［13］BAI JW.Seismic fragility analysis and loss estimation for concrete structures［D］.College Station：Texas A＆M University，2011.

［14］FEMA366.HAZUS 99 estimated annualized earthquake looses for the United States［S］.Washington D C：Federal Emergency Management Agency，2001.

［15］BAIYingchun，HAN Xu，JIANG Chao，et al.A responsesurface-based structural reliability analysismethod by using non-probability convex model［J］.Applied Mathematical Modeling，2014，38：3834－3847.

［16］王睿星，王曉軍，王磊，等.幾種結構非概率可靠性模型的比較研究［J］.應用數學與力學，2013，34（8）：871－880.

［17］賈立哲，段忠東，陸欽年.基于凸集模型的界限Pushover分析［J］.地震工程與工程振動，2006，26（5）：81－87.

［18］楊溥，李英民，賴明.結構時程分析法輸入地震波的選擇控制指標［J］.土木工程學報，2000，33（6）：33－37.

［19］VAMVATSIKOSD，CORNELL A C.Incremental dynamicanalysis［J］.Earthquake Engineering＆Structure Dynamics.2002，31（3）：491－514.

（編輯趙麗瑩）

Analysis on seismic performance of frame structure using non-probabilistic convexmodel

WANG Dongchao，XU Longjun，ZHANG Jinguo，XIE Lili

（Department of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology atWeihai，264209Weihai，Shandong，China）

Convexmodelwas used to consider the uncertainty of earthquake in this paper to solve the problem that the selection of different ground motion records will result in great variability in structural seismic performance analysis.Taking the inter-story displacement angle as seismic performance index，non-probabilistic seismic performance of a reinforced concrete frame was assessed under the motivation of rare earthquake by the capability spectrum analysis method.Then the results were compared with probabilistic seismic performance based on the probabilistic random model.By comparison and analysis，it shows that the evaluation of structural seismic performance based on convexmodel not only reduces the variability，but also is reasonable and applicable to some extent.

uncertainty；non-probabilistic；convexmodel；seismic performance；frame structure

TU312；TU375

A

0367－6234（2015）12－0045－05

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.12.008

2014－06－06.

國家自然科學基金重大研究計劃項目（91215301）；山東省藍區工程建設與安全協同創新中心資助；山東省科技發展計劃（2014GSF122001）.

王東超（1992—），男，碩士研究生；徐龍軍（1976—），男，教授，博士生導師；謝禮立（1939—），男，博士生導師，中國工程院院士.

徐龍軍，xulongjun80＠163.com.