關于丟番圖方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的研究

陳小燕

(瓊臺師范高等專科學校 數理系, 海口 571100)

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關于丟番圖方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的研究

陳小燕

(瓊臺師范高等專科學校 數理系, 海口 571100)

討論了丟番圖方程1+X+Y=Z的一個特殊情形.借助計算機,用初等方法給出了指數丟番圖方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的全部非負整數解.

指數丟番圖方程;同余解;非負整數解;計算機輔助解法.

0 引言

設x,y,z,u,v,w為非負整數,考慮指數丟番圖方程

1+5x+2y11z=2u·5v·11w.

(1)

顯然,方程(1)是丟番圖方程

(2)

的一種特殊情況,這里p1,p2,…，pt是素數,S是給定的有限集.方程(2)的解可用于有限群的分類[1].例如曹珍富[2]定出了階為2α13α25α37α4pα5的單群.雖然形如(2)的某些具體方程不借助計算機也可以求解[3],但是借助計算機則計算時間將大大減少.如，Alex L.J和Foster L.L[4]借助計算機，并采用初等方法給出方程1+x+y=z,xyz=2r3s7t的所有非負整數解.文[5-6]用計算機輔助解法分別給出了指數丟番圖方程2x+2y+3z11u=3v11w與px-qy=2的的全部非負整數解.在本文中,我們借助計算機,用初等方法給出了(1)的所有非負整數解.

1 引理

引理1 若(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一解，則必有

(i)min{y,u}≤1; (ii)min{z,w}=0．

證明：(i)假如y,u≥2,則對(1)取模4,得1+5a≡0(mod4)的矛盾(因5a≡1(mod4)).

引理2 設(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一解,

(x,y,z,u,v,w)≡(a,b,c,d,e,f)(mod60,60,120,60,60,120),

則滿足0≤a,b,d,e≤59,0≤c,f≤119的所有(a,b,c,d,e,f)(稱為(1)的同余解)由表1給出．

證明:設(x,y,z,u,v,w)是方程的解,由于

260≡1(mod52·7·9·11·13·31·41·61)

560≡1(mod24·7·9·11·13·31·41·61)

11120≡1(mod25·52·7·9·13·31·41·61).

令s=min{b,d,4},t=min{a,e,2},則a,b,c,d,e,f滿足

1+5a+2b11c≡2d·5e·11f(mod2s·5t·7·9·13·31·41·61)

(3)

本文編寫了簡單的UBASIC程序,在0≤a,b,d,e≤59,0≤c,f≤119的范圍內對(3)進行檢驗,考慮到引理1,分

0≤a≤59,0≤b≤1,c=0,0≤d≤59,0≤e≤59,0≤f≤119;

0≤a≤59,0≤b≤1,1≤c≤119,0≤d≤59,0≤e≤59,f=0;

0≤a≤59,0≤b≤59,c=0,0≤d≤1,0≤e≤59,0≤f≤119;

0≤a≤59,0≤b≤59,1≤c≤119,0≤d≤1,0≤e≤59,f=0;

四種情形在計算機上檢驗僅得到(a,b,c,d,e,f)如表1的7組值．

表1 方程(1)的同余解

易知表1的7組數(a,b,c,d,e,f)都是方程(1)的解.

2 定理

定理1 丟番圖方程

1+5x+2y11z=2u·5v·11w

的全部非負整數解(a,b,c,d,e,f)可由引理2中的表1給出.

證明:設(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一非負整數解,令

(x,y,z,u,v,w)≡(a,b,c,d,e,f)(mod60,60,120,60,60,120),

則(a,b,c,d,e,f)是引理2中表1的任一組數.因

x=a+60k,y=b+60i,z=c+120j,u=d+60l,v=e+60m,w=f+120n,

只需證明k=i=j=l=m=n=0.若k=i=j=0或l=m=n=0,則k=i=j=l=m=n=0.因(a,b,c,d,e,f)是方程(1)的解,故有

5a(5060k-1)+2b11c(260i11120j-1)=2d·5e·11f(260l560m11120n-1).

(4)

當(a,b,c,d,e,f)=(1,4,0,1,0,1)時,有

5a(5060k-1)+24(260i11120j-1)=2·11 (260l560m11120n-1).

(5)

依次對(5)取模5,25,4,25,得m=k=l=i=0,再模11,得j=0,從而n=0.故有

(x,y,z,u,v,w)=(1,4,0,1,0,1).

當(a,b,c,d,e,f)=(0,1,0,2,0,0)時,有

(5060k-1)+2(260i11120j-1)=22(260l560m11120n-1).

(6)

對(6)取模4,得i=0,模8，得l=0.若k≠0，模5,得-1≡-4(mod5)或是-1≡0(mod5)的矛盾.故k=m=0.此時(6)變為2·11120n-11120j=1.若n≠0,對上式取模11,則有-1≡1(mod11)或是0≡1(mod11)的矛盾.故n=0,從而j=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(0,1,0,2,0,0).

同理，當(a,b,c,d,e,f)=(1,2,0,1,1,0)和(a,b,c,d,e,f)=(0,3,0,1,1,0)時,必能推出

(x,y,z,u,v,w)=(1,2,0,1,1,0)和(0,3,0,1,1,0).

當(a,b,c,d,e,f)=(1,1,0,3,0,0)時,有

5(560k-1)+2(260i11120j-1)=23(260l560m11120n-1).

(7)

對(7)式取模5,得m=0,取模4,得i=0,取模16,得l=0,模25得k=0,此時(7)變為1(11120j-1)+23(11120n-1),即(2·1160n)2-(1160j)2=3,解得j=n=0.

故有(x,y,z,u,v,w)=(1,1,0,3,0,0).

當(a,b,c,d,e,f)=(1,2,1,1,2,0)時,有

5(560k-1)+22·11(260i11120j-1)=2·52(260l560m11120n-1).

(8)

依次對(8)式取模25,4,得k=l=0,模8,得i=0,模11,得n=0.由于δ23(560m)=δ23(11120j)=11,δ67(5060m)=δ67(11120j)=11,在0≤j,m≤11范圍內取模23,67,可得m≡0(mod11),如圖1所示，取模112,得j=0,從而m=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(1,2,1,1,2,0).

圖1 22·11(11120j-1)≡2·52 (560m-1)(mod23·67).的檢驗結果

當(a,b,c,d,e,f)=(3,1,0,7v0,0)時,有

53(560k-1)+2(260i11120j-1)=27(260l560m11120n-1).

(9)

對(9)取模4,得i=0,模5,得m=0.若j≠0，模11,得-2≡7· (260l·11120n-1)(mod11),若n≠0,則有-1≡-7(mod11)的矛盾.若n=0,則有-2≡0(mod11)的矛盾.故j=n=0.由于δ97(560)=8,δ97(260)=4,δ193(560)=16,δ193(260)=8,在0≤k≤16,0≤l≤8范圍內取模97,193,可得k≡0(mod16),如圖2所示.由于5960≡1(mod28),取模28,可得l=0,從而k=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(3,1,0,7,0,0).

圖2 53(560k-1)≡27 (260l-1)(mod97·193).的檢驗結果

[1]曹珍富.丟番圖方程引論 [M].哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社,2012．

[2]曹珍富.關于階為2α13α25α37α4pα5的單群[J].數學年刊(A輯),1995,16(2):244—250.

[3]Brener J L， Foster L L.Exponential diophantine equations [J].Pacific Math, 1982,101：263—301.

[4]Alex L J.Foster L L. On the Diophantine Equation 1+x+y=z,with xyz=2r3s7t[J].Forum Math,1995,7(6):645-663.

[5]劉靜,鄧謀杰.關于丟番圖方程2x+2y+3z11u=3v11w[J].黑龍江大學自然科學學報,2012,29(6)：723—726．

[6]周小娥,鄧謀杰.關于丟番圖方程px-qy=2[J].海南大學學報(自然科學版),2013,31(2): 100—102,105.

Diophantine Equation 1+5x+2y11z=2u·5v·11w

CHEN Xiao-yan

(Department of mathematics and Physics, Hainan Qiongtai Teacher’s College, Haikou 571100,China)

The research of a special case of the Diophantine equation 1+X+Y=Z is conducted in the current paper. With computer assistance, all the nonnegative integer solutions to the exponential Diophantine equation 1+5x+2y11z=2u·5v·11ware determined by the elementary method.

exponential Diophantine equation; solutions in nonnegative integers; congruence solution; computer-aided solution

2015-05-30

陳小燕(1982-)，女,海南臨高人,瓊臺師范高等專科學校講師,碩士，研究方向為初等數論.

A

1008-6722(2015) 05-0010-03

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．03