具分布時滯的偶數(shù)階非線性中立型泛函微分方程的Philos型振動定理

林文賢, 張君敏

(韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣東 潮州 521041)

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具分布時滯的偶數(shù)階非線性中立型泛函微分方程的Philos型振動定理

林文賢, 張君敏

(韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣東 潮州 521041)

利用積分平均技巧和廣義Riccati變換,建立了具有分布滯量的非線性中立型偶數(shù)階時滯微分方程的一些Philos型振動性定理,推廣和改進了最近文獻的結果.

分布時滯; 偶階; 中立型; Philos型振動定理

0 引言

在工程技術領域和自然界中,振動是一種比比皆是的現(xiàn)象,它普遍存在于電磁運動、機械運動、原子運動和熱運動等運動形式之中.中立型時滯微分方程振動性質的研究在學科理論和實際應用兩方面都有著重大價值[1],目前已經取得許多成果[2-16].我們將討論一類具有分布滯量的偶數(shù)階中立型非線性時滯微分方程

(1)

其中n≥2為偶數(shù).在本文中總假設下列條件成立:

(H1)m(t)C(I,R+),I=[t0,∞),R+=(0,∞),m′(t)≥0和?∞t01/m(t)dt=∞;

(H2)p(t,η)C(I×[c,d],R),I=[t0,∞),p(t,η)≥0,P(t)=?dcp(t,η)dτ(η)≤P<1;

(H3)f(t,ξ,x)C([t0+∞]×[a,b]×R,R),存在兩個函數(shù)q(t,ξ)C(I×[a,b],R),F(x)C(R,R),q(t,ξ)≥0,使得f(t,ξ,x)sgnx≥q(t,ξ)F(x)sgnx,-F(-x)≥F(x)≥kx>0(x>0,k為某正常數(shù)；

(H4)u(t,η)C(I×[c,d](t,ξ)C(I×[a,b],R)關于t和ξ均為非減，存在，

(H5)σ(ξ)C[a,b],τ(η)C[c,d]非減,方程(1) 中的積分為 Stieltjes積分.

我們的目的是通過引入參數(shù)函數(shù)H(t,s)和h(t,s),得到方程(1)的若干新的Philos型振動定理.并且,當m(t)=1,f(t,ξ，x)=q(t,ξ)x[g(t,ξ)]時,方程(1)就是文獻[2]所討論的泛函微分方程,所以本文的結果推廣和包含了文獻[2]的結論, 同時也推廣了文獻[3-4]的相應結論.

引理1[15]設z(t)Cn(I,R)為不變號,在I上z(n)(t)≠0且滿足z(n)(t)z(t)≤0,則

(i)存在t1≥t0使得zt在[t1,∞)上不變號,i=1,2,…，n-1.

(ii)存在l{0,1,2,…n-1},n+l為奇數(shù),使得

z(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…，l；

(-1)i+lz(i)(t)>0,t≥t1,i=l+1,…，n.

引理2[16]設z(t)滿足引理1的條件,且z(n-1)(t)z(n)(t)≤0,t≥t1.則對每一θ(0,1),存在常數(shù)N>0使得

|z′(θt)|≥Ntn-2|z(n-1)(t)|,t≥t1.

下面我們給出本文的主要結果.記如下集合

D0={(t,s)|t>s≥t0},D={(t,s)|t≥s≥t0}.

1 主要結果

定理1 設存在函數(shù)H(t,s)C(D,R),h(s,t)C(D0,R),ρ(t)C′(I,R+),使得

(1)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)D0;

(2)H(t,s)在D0上對第二個變量存在連續(xù)非正的偏導數(shù)且滿足等式

若對任一T≥t0,

(2)

其中λ=1-ρ, 且

則方程(1)的所有解振動.

證明 用反證法,設x(t)是方程(1)的一個最終正解,利用(H2)和(H4)知存在t1≥t0使當t≥t1時有x(t)>0,x[g(t,ξ)]>0和x[r(t,η)]>0.令

Z(t)=x(t)+?dcp(t,η)x(r(t,η))dτ(η).

(3)

由于(H1),(H3)和(H5), 于是有Z(t)>0和

[m(t)Z(n-1)(t)]′=-?baf(t,ξ,x[g(t,ξ)])dτ(ξ)≤0,t≥T.

(4)

我們認為Z(n-1)(t)≥0,t≥t1.假設存在某個t2≥t1,使Z(n-1)(t0)<0,則由[m(t)Zn-1(t)]′≤0可得?tt2[m(t)Z(n-1)(t)]′dt≤0,有

進而有

由條件(H1),有

類似可證

進一步,由[m(t)Z(n-1)(t)]′=m′(t)Z(n-1)(t)+m(t)Z(n)(t)≤0和條件(H1),我們可推出Z(n)(t)≤0,t≥t1.因此,由引理1容易得出

Z′(t)>0和Z(n-1)(t)>0,t≥t1.

(5)

注意到條件(H3),(H1)和(3)有

x(t)=Z(t)-?dcp(t,η)x(r(t,η))dτ(η)≥Z(t)-?dcp(t,η)Z(r(t,η))dτ(η)≥

Z(t)-?dcp(t,η)Z(r(t,η))dτ(η)=(1-p(t))Z(t)≥λZ(t),t≥t2≥t1.

(6)

其中λ=1-p.利用(H3),(H4)式及(5)和(6)式有

[m(t)Zn-1(t)]′≤-k?baq(t,ξ)x[g(t,ξ)]dτ(ξ)≤-kλ?baq(t,ξ)Z[g(t,ξ)]dτ(ξ)≤

-kλZ[g(t,a)]?baq(t,ξ)dτ(ξ)-kλQ(t)Z[g(t,a)],t≥t2，

(7)

其中Q(t)=?baq(t,ξ)dσ(ξ).

令

(8)

由于Z(t)是遞增函數(shù),g(t,ξ)分別關于t和ξ非減,故存在t3≥t2,使當t≥t3時有Z(g[t,a])>Z(λg[t,a])>0.

Z′(λg(t,a))≥Ngn-2(t,a)Z(n-1)[g(t,a)]≥Ngn-2(t,a)Z(n-1)(t),t≥t4，

(9)

故利用式(7)和式(9), 有

(10)

用函數(shù)H(t,s)乘以式(10),對T到t(t>T≥t4) 積分得出

kλ?tTH(t,s)ρ(s)Q(s)ds≤H(t,T)W(T)+?tT|h(t,s)W(s)|ds-

(11)

利用重要不等式x2+y2≥2xy,有

(12)

聯(lián)合(11)和(12)產生

(13)

由上式得出

此與式(2) 矛盾.定理1證畢.

推論1 如果定理1 的條件 (2) 代之以

則方程(1) 的所有解振動.

定理2 若定理1的其它假設不變,而將式(2)用以下假設替換：

(14)

(15)

且存在函數(shù)φC(I,R)使對任一t≥t0,T≥t0,有

(16)

和

(17)

其中φ(s)=max(φ(s),0),則方程(1) 的所有解振動.

證明 如同定理1中的證明過程一樣,對任意t>T≥t4,有式 (13) 成立,即

(18)

由式(17)和式(18), 有

φ(T)≤W(T),T≥t4

(19)

與

(20)

由式(20)式可以得到

故由(16)式推出

(21)

為了本結論的證明,只需證式(21)不成立.令

則由(11)式和(20)式,有

(22)

注意到式(14),由式(22)可得到

(23)

A(tk)-B(tk)≤C(k=1,2…).

(24)

由式(23)推出

(25)

由式(24) 和 式(25) 產生

(26)

且有

由上式和式(26), 可推出

(27)

另外,利用 Schwarz 不等式, 可以得到

所以,對一切足夠大的k,有

注意到式(27), 可得到

(28)

[1]J.K.Hale.Theory of Functional Differential Equations[M].New York：Springer, 1977.

[2]林文賢,俞元洪.高階中立型時滯微分方程的振動準則[J].應用數(shù)學學報, 2014, 37(6):1018-1024.

[3]F.W.Meng,R.Xu. Kamenev-type oscillation criteria for even order neutral differential equations with deviating Arguments[J].Applied Mathematics and Computation, 2007,190:1402-1408.

[4]P.G.Wang,X.L.Fu,Y.H.Yu. Oscillation of solutions for a class of higher order neutral differential equations[J].Appl.Math.J.Chinese Univ. (Ser.B), 1998, 13:397-402.

[5]Lin Wenxian. Oscillation theorems for certain higher order neutral equations with continuous distributed deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2012,34(4):849-854.

[6]林文賢.具連續(xù)偏差變元的二階阻尼微分方程的振動性[J].中國科學院研究生院學報,2012,29(5):594-598.

[7]林文賢.一類具阻尼項和連續(xù)分布滯量的偶數(shù)階中立型方程的振動性[J].西南師范大學學報(自然科學版),2012, 37(9):1-3.

[8]林文賢.一類中立型阻尼泛函微分方程的振動性[J].四川師范大學學報(自然科學版),2013, 36(3):20-22.

[9]林文賢.振動性和周期解理論的研究[M].北京:國防工業(yè)出版社,2014.

[10]林文賢.三階中立型分布時滯阻尼微分方程的振動定理[J].瓊州學院學報,2014, 21(5):7-11.

[11]林文賢.陳秋杏.具阻尼項的偶階中立型微分不等式最終正解的不存在性[J].瓊州學院學報,2014, 21(2):6-11.

[12]林文賢.一類帶強迫項的二階阻尼微分方程的區(qū)間振動性[J].鄭州大學學報(理科版),2014, 46(2):1-5

[13]林文賢.一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程的振動性定理[J].河南大學學報(自然科學版),2015, 45(3):258-261.[14]林文賢.三階非線性中立型阻尼泛函微分方程的振動性[J].安徽大學學報(自然科學版),2015, 39(3):5-9.

[15]R.P. Agarwal, S.R.Grace and D.O.Regan. Oscillation Theory for Differential Equations[M].Dordrecht：Kluwer Academic, 2000. [16]Ch.G. Philos.A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull.Acad.Pol.Sci.Ser.Sci.Mat.1981, 39(1):61-64.

Philos-Type Oscillation Theorems for Certain Even Order Nonlinear Neutral Functional Differential Equations with Distributed Delays

LIN Wen-xian,ZHANG Jun-min

(College of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University,Chaozhou Guangdong,521041,China )

In the current research, by using integral averaging technique and the generalized Riccati transformation, several Philos-type oscillatory theorems, which generalize and improve some known results, are established for even order nonlinear neutral functional differential equations with distributed delays.

distributed delays; oscillation; even order; neutral; functional differential equation

2015-06-30

廣東省高等教育教學改革項目(GDJG20142396)；廣東省高等學校特色創(chuàng)新項目(2014GXJK125)

林文賢(1966- ),男,廣東潮州人,韓山師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授,研究方向為泛函微分方程定性理論.

O175.25

A

1008-6722(2015) 05-0001-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．01