考慮齒圈柔性的行星傳動系統固有特性與靈敏度研究

陶慶,孫文磊,周建星,2

(1.新疆大學機械工程學院,830047,烏魯木齊;2.新疆大學機械工程學院機械工程博士后流動站,830047,烏魯木齊)

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考慮齒圈柔性的行星傳動系統固有特性與靈敏度研究

陶慶1,孫文磊1,周建星1,2

(1.新疆大學機械工程學院,830047,烏魯木齊;2.新疆大學機械工程學院機械工程博士后流動站,830047,烏魯木齊)

為有效地模擬行星齒輪傳動系統齒圈結構柔性,采用有限元方法建立了齒圈結構模型,依據嚙合力與內齒圈的變形協調關系建立了傳動系統剛-柔耦合動力學模型,求解了系統固有頻率與振型,闡述了耦合系統固有頻率的分布規律,依據系統振動特征,將系統振型劃分為6種振動模式。計算了系統剛度對各階固有頻率的靈敏度,可作為行星傳動系統振動抑制的依據,分析了系統扭轉振動隨太陽輪扭轉剛度和太陽輪與行星輪嚙合剛度的變化規律,討論了齒圈厚度對系統固有頻率分布、子系統耦合階次與振動模式的影響,發現系統固有頻率均會在齒輪子系統扭轉振動頻率位置出現,但隨著齒圈厚度的增加,與之耦合的齒圈振動模式則逐漸由高階節徑振動逐漸降低,系統一階振型也會由齒圈節徑振動模式轉變為齒圈剛體振動模式。

行星齒輪傳動;動力學模型;剛-柔耦合;固有頻率;靈敏度

行星齒輪傳動系統以結構緊湊、傳動比范圍大、傳動效率高等優點,在各種機器和機械裝備中被廣泛使用,其力學行為和工作性能對整個機器性能有重要影響。

在高速重載傳動裝置中,如直升機傳動、船舶傳動等,行星齒輪傳動已成為主動力系統中不可缺少的關鍵設備。行星齒輪傳動系統的運轉穩定性與動態性能直接關系著裝備的整體性能,故國內外學者針對動態特性開展了大量的研究工作。目前在研究行星齒輪系統動態特性時最常用的建模方法仍為集中參數法,該方法具有一定的準確性,且求解時間較短[1],但為計入齒圈柔性對系統動態特性的影響,有學者逐漸開始探討新的建模方法。Ambarisha等采用有限元法建立了行星齒輪傳動系統模型[2],用二維接觸來模擬齒輪嚙合,為了減少計算量,采用了一種獨特的半分析有限元公式。Singh等進一步建立了三維有限元接觸模型[3],對系統均載特性進行了系統分析。Bajer等建立了行星傳動系統動態接觸動力學模型[4],模型中包括剛性和柔性組件,各組件均通過接觸相互作用。宋軼民等將連續體的柔性齒圈離散成由等效彈簧連接的剛性齒圈段,研究發現齒圈的柔性會影響系統的低階固有頻率,影響程度與齒圈安裝方式有關[5]。Wu等發現齒圈的柔性會為系統引入齒圈節徑振動模式,并與其他零件振動產生耦合作用[6]。Kahraman等研究了齒圈輪緣厚度對齒圈變形、應力及均載系數的影響[7],發現輪緣厚度較小時,齒圈彎曲變形起主導作用,隨著厚度增大,齒圈應力最大位置由齒槽逐漸轉移至齒根,而對均載性能的影響不大。Avinash以完整的行星齒輪系統模型為分析對象,就行星輪及太陽輪剛度對均載性能的影響做出了討論[8]。分布質量模型雖然可以有效地表現出齒圈柔性,但求解周期較長,并且現有研究大多為準動態計算[7-8]。

為避免過大的工程計算量和更清晰地表現行星傳動的振型,本文提出一種采用有限元法計入齒圈柔性的行星傳動系統耦合建模方法。總結了系統固有頻率分布規律與系統振動模式,討論了齒圈柔性、系統剛度對行星齒輪傳動系統固有特性的影響。

1 分析模型

1.1 齒輪傳動子系統模型構建

本文分析了2K-H行星齒輪傳動系統,系統中的3個行星輪均布安裝。系統動力學模型如圖1所示,圖中標識r代表內齒圈,s代表太陽輪,p代表行星輪,c代表行星架,k為剛度,θ為轉角。

圖1 行星齒輪傳動力學模型

各零件的支承剛度、扭轉剛度及齒輪嚙合剛度用彈簧來代替,取行星架中心為坐標原點,系統模型構建時取水平方向為x方向,豎直方向為y方向。模型中ks為太陽輪柔性支承剛度,ksθ為太陽輪柔性支承剛度,行星輪采用軸承支承,kpi為第i(i=1,2,3)個行星輪支承剛度,kr為內齒圈支承剛度,采用4個對稱位置來對齒圈結構進行約束。模型中kspi與krpi分別代表太陽輪與行星輪及行星輪與內齒圈的嚙合剛度。

系統廣義坐標中X,Y為橫向微位移,θ為扭轉微位移。經推導可以得到太陽輪與行星輪嚙合力為

Pspi=kspi[XssinAi+YscosAi+us-

Xpisinα-Ypicosα-upi-espi(t)]

(1)

對于齒輪子系統,與傳統的行星傳動系統建模方法相同,通過分析各個零件在理想位置的受力情況,可建立齒輪傳動子系統的動力學模型為

(2)

式中:[M]為質量陣;[C]為阻尼陣;[k(t,x)]為剛度陣;{X}為位移向量;{P(t)}為激勵力向量。

傳動系統基本參數如表1所示,各零件支承剛度與齒輪嚙合剛度采用有限元方法計算,計算方法參照文獻[9]。

表1 行星齒輪傳動系統參數

1.2 行星傳動系統耦合模型構建

當構建齒圈有限元模型時,采用有限元方法,各節點坐標與齒輪子系統參考坐標系重合。在動態嚙合力作用下,對于任意瞬態,齒圈節點發生虛位移{δu}e,而單元內也產生相應的虛位移{δu}和虛應變{δε}。單元內產生的虛應變能為

(3)

外力所做的虛功為

δW1=

(4)

式中:FV為單元體載荷;FS為單元面載荷;Fe為集中力;V為單元體積;A為單元面積。

(5)

根據虛位移原理,有

δU=δW1+δW2

(6)

代入經整理可得單元運動微分方程

(7)

圖2 行星齒輪傳動力學模型

傳動系統與齒圈結構通過耦合節點產生作用,如圖2所示,耦合節點所承受的集中力和行星輪與內齒圈嚙合力相平衡,即

Fie=Prpi

(8)

將耦合節點位移,投影至行星輪與內齒圈的嚙合線方向,則有嚙合力為

Prpi=krpi[urpn+Xpisinα-Ypicosα+upi-erpi(t)]

(9)

式中:urpn為耦合節點位移在嚙合線方向的投影;Xpi、Ypi為行星輪橫向位移;upi為行星輪扭轉微位移;erpi(t)為行星輪與內齒圈的嚙合誤差。

通過式(9)即可對齒輪子系統模型(2)與齒圈結構模型(7)進行耦合,耦合模型為

(10)

式中:[-R]、[-ka]均為耦合矩陣。

2 耦合系統固有特性分析

2.1 系統固有頻率

系統固有特性可以轉化為特征值問題,即

φi}={0}

(11)

(12)

式中:ωi為系統的第i階固有頻率;φi為系統的第i階振型。

計入圈柔性后,系統中不僅包括太陽輪和行星輪的橫向與扭轉自由度,還有柔性齒圈結構各節點的自由度,故系統總固有頻率大幅增加,該固有頻率可分為兩個頻率段:一個在齒輪子系統與結構子系統耦合振動頻率段,為低頻段;另一個在齒圈結構振動的頻率段,為高頻段。低頻段共包含系統36階固有頻率,如表2所示,固有頻率范圍為274.28～765 3 Hz?？梢钥吹?齒圈結構與傳動系統的耦合作用有效增加了系統柔性,使低階固有頻率較傳統模型計算結果明顯減小。

2.2 耦合系統振動模式

考慮齒圈柔性后系統振動模式更為復雜,系統前36階固有頻率出現了齒輪子系統與結構子系統耦合振動模式。

依據系統振動特征, 可將耦合振型分為純齒圈結構節徑振動模式、齒圈結構節徑振動與中心構件橫向振動耦合模式、齒圈節徑振動與中心構件扭轉振動耦合模式、齒圈局部振動與中心構件橫向振動耦合模式、齒輪子系統振動模式、內齒圈局部振動模式6種模式。

表2 系統36階固有頻率

各振動模式的特征如下。

(1)純內齒圈節徑振動模式:該振動模式下系統中僅內齒圈產生節徑振動,其他齒輪均未發生明顯振動,如圖3a所示,圖中給出了齒圈3節徑振動模式;該振動模式在前36階系統固有頻率中共出現6種純節徑振型,與之對應的是5個單重固有頻率,分別對應于3、5、6、7、9節徑振型,8節徑振型對應有5個固有頻率,共10個固有頻率。

(2)齒圈節徑振動與中心構件橫向振動耦合模式:該振動模式下傳動系統中心構件出現橫向振動與內齒圈節徑振動耦合振動模式,而太陽輪和行星架扭轉方向上的振幅基本為0,內齒圈未發生整體橫向與扭轉振動,如圖3b所示,圖中給出了齒圈3節徑振動與中心構件橫向振動耦合模式;該振動模式共出現了6種耦合振型,其中內齒圈3節徑與中心構件橫向振動耦合振型對應3個單重固有頻率,內齒圈9節徑與中心構件橫向振動耦合振型對應2個單重固有頻率,內齒圈4、5、6、8節徑耦合振動振型各1個,共計9個固有頻率。

(3)齒圈節徑振動與中心構件扭轉振動耦合模式:該振動模式下系統中心構件出現了扭轉振動與內齒圈節徑振動耦合振動模式,太陽輪和行星架橫向振幅基本為0,內齒圈未發生整體橫向與扭轉振動,如圖3c所示,圖中給出了齒圈9節徑振動與中心構件橫向振動耦合模式;該振動模式共出現了2種耦合振型,齒圈9節徑與中心構件扭轉振動振型對應2個單重固有頻率,內齒圈7節徑與中心構件扭轉振型對應1個單重固有頻率,共計3個固有頻率。

(4)齒圈局部振動與中心構件橫向振動耦合模式:該振動模式下內齒圈出現局部振動耦合振動模式(即齒圈局部結構發生變形的振動模式),并與中心構件橫向振動模式發生耦合,而太陽輪和行星架扭轉振幅基本為0,如圖3d所示,圖中給出了齒圈局部振動與中心構件橫向振動耦合模式;該振動模式共出現了2種耦合振型,可由齒圈結構振動不同的形式加以區分,各振型分別對應1個固有頻率,共計2個固有頻率。

(a)齒圈3節徑 (b) 齒圈3節徑+ 中心構件橫向振型

(c) 齒圈9節徑+ (d) 齒圈局部振型+ 中心構件扭轉振型 中心構件橫向振型

(e) 中心構件扭轉振型+ (f)齒圈局部振型 橫向振型圖3 計入齒圈柔性的行星傳動系統振型

(5)齒輪振動模式:該振動模式下內齒圈僅存在整體振動,未發生結構振動模式,如圖3e所示,該振動模式與剛性齒圈的振動模式一致;該振動模式出現了1種振型,即中心構件扭轉橫向振型,對應1個單重固有頻率。

(6)齒圈局部振動模式:該振動模式下內齒圈僅存在結構局部振動模式,中心構件橫向、扭轉方向上的振幅全為0,如圖3f所示;該振動模式共出現了11個單重固有頻率。

3 齒圈柔性對系統固有特性的影響

3.1 齒圈柔性對中心構件扭轉振動模式的影響

將齒輪子系統中行星輪與內齒圈的嚙合彈簧外端固定,通過計算即可得到齒輪子系統固有頻率,如表3所示,其中第6階與第12階為純中心構件扭轉振動模式。

表3 齒輪子系統的固有頻率 Hz

通過反復試算發現,隨著齒圈厚度的增加,齒圈結構剛度增大,系統各固有頻率均隨之逐漸增大,僅有系統扭轉振動固有頻率保持不變,但在齒輪子系統扭轉振動固有頻率(即子系統的第6階2 858 Hz和第12階7 668.4 Hz)附近波動。中心構件扭轉固有頻率隨著齒圈厚度的變化如表4所示,各齒圈厚度均在2 858 Hz和7 668.4 Hz附近出現了固有頻率,中心構件均為純扭轉振動模式,但隨著齒圈厚度的增加,與之耦合的齒圈振動模式則逐漸由高階齒圈節徑振動向低階轉變。在2 858 Hz附近,齒圈結構厚度為13 mm時,其振動模式為7節徑,第18階。當齒圈增加至22 mm時,齒圈振動模式為4節徑,第15階。相對而言,子系統7 668.4 Hz是其最高階固有頻率,也具有相同的特征,同時該階固有頻率還決定了耦合系統的頻率上限,各齒圈厚度系統最高階固有頻率均在7 668.4 Hz附近時,階數將隨著齒圈厚度的增加而逐漸減小,當齒圈厚度為13 mm時系統固有頻率對應46階,而齒圈厚度增至22 mm時系統固有頻率對應38階。

表4 齒圈厚度對中心構件扭轉固有頻率的影響

3.2 齒圈柔性對固有特性的影響

為量化描述齒圈柔性對系統固有特性的影響,本文定義剛度比

(13)

圖4 不同齒圈厚度下系統1階固有頻率

4 系統剛度對固有特性的影響

4.1 系統剛度對固有頻率的靈敏度

行星齒輪傳動系統中各零件的支承剛度、質量及轉動慣量均會對系統動態特性產生影響。工程中也常采用匹配參數來實現系統振動的被動控制。靈敏度分析是研究模型輸出受各種輸入變化影響的有效方法。本文采用有限差分法研究了各剛度對系統固有特性的影響,計算時假設系統剛度變量有一個微小的攝動Δk,其靈敏度可表示為

(14)

式中:ω(kj)為剛度為kj時系統的固有頻率。

由于系統固有頻率與剛度在數量級上差別較大,則對上式進行改進后有

(15)

式中:Δn為剛度增幅比例系數。

本文計算了ks、kr、krp和kp對系統各階固有頻率的靈敏度,其中系統各階固有頻率隨太陽輪與內齒圈支承剛度的靈敏度如圖5所示。可以看到,系統低階時中心構件橫向振動模式對太陽輪支承剛度ks的變化較為敏感,高階時靈敏度均較小。系統2、3、4階固有頻率(313.46、411.86、556.64 Hz)靈敏度最大,對應的振型均為內齒圈3節徑振動與中心輪橫向振動耦合振型,其中3階固有頻率靈敏度達到80,遠大于其他固有頻率。ks對系統9階(1 325 Hz)與13階(1 809.8 Hz)影響較大,其中9階為內齒圈局部5節徑與中心構件橫向振動耦合振型,13階為內齒圈6節徑振動與中心構件橫向振動耦合振型。對于高階振動(大于14階),太陽輪支承剛度的影響不大,靈敏度均小于3。

圖5 ks、kr對固有頻率的靈敏度

與太陽輪支承剛度相反,內齒圈支承剛度的變化對低階固有頻率影響不大,而對部分高階固有頻率的靈敏度較大,如24、28、34階中28階固有頻率靈敏度最大,為206。就振型而言,內齒圈支承剛度對齒圈結構局部振動模式影響更為明顯,如28、34階。

krpi與kp對系統各階固有頻率的靈敏度如圖6所示。可以看到,由于krpi與kr分別分布于齒圈結構內外兩側,故krpi對固有頻率的靈敏度與kr也有一定的相似性,均對系統低階固有頻率影響不大,而對部分高階固有頻率影響較為明顯,其中29、33階固有頻率的靈敏度最大,分別為338、339。

對于行星輪,其支承剛度kp與krp、ksp之間存在交角并呈并聯關系,使kp對系統固有頻率的影響較為復雜,靈敏度也未呈現出規律性變化趨勢。同時,在數值上kp遠大于ks和內齒圈彎曲剛度,故中頻段(6～28階)的靈敏度較大,13,18階靈敏度最大,為453、443。kp對系統低階與高階靈敏度均影響不大。

圖6 krpi、kp對固有頻率的靈敏度

4.2ksθ、kspi對系統扭轉振動的影響

分別計算了不同ksθ、kspi下系統的固有頻率,發現ksθ、kspi的變化僅影響系統的扭轉振動模式(即系統18階與36階固有振型),對其他振動模式沒有影響。隨著ksθ、kspi的增大,系統扭轉振動固有頻率逐漸增大,二者的變化趨勢基本一致,如圖7所示,其中a、b分別為不同ksθ下系統扭轉固有頻率的變化,c、d為分別為不同kspi下系統扭轉固有頻率的變化。

圖7 ksθ、kspi對系統扭轉固有頻率的影響

可以看到,系統18階固有頻率隨ksθ、kspi的變化趨勢較為平緩,該振動模式所在階數也未發生變化,始終為18階;相對而言,系統36階固有頻率的變化幅度較大,其所在的結束也隨之改變,但該振動模式始終為系統耦合振動模式的最高階振型。在ksθ較小時,該振型為系統34階,在kspi較小時,該振型為系統33階,與之耦合的為齒圈8節徑振型;當剛度為2ksθ時,該振型在系統40階,齒圈振型為10節徑;當剛度為2kspi時,該振型在系統56階,齒圈振型為12節徑,表明kspi對系統該振型的影響更為明顯。

5 結 論

(1)在考慮了齒圈柔性后,系統低階固有頻率會明顯減小,并出現齒輪子系統與齒圈結構節徑或局部耦合振動模式,動態模式下會加速齒圈結構的彎曲疲勞失效。

(2)隨著齒圈厚度的增加,耦合系統會在齒輪子系統的扭轉振動頻率位置出現固有頻率,但與之耦合的齒圈振動模式則逐漸由高階節徑振動逐漸降低為低階振動。

(3)當齒圈結構剛度遠小于支承剛度時,系統1階振型為齒圈節徑振動模式;當齒圈結構剛度逐漸接近支承剛度時,系統1階振型轉變為齒圈剛體振動模式。

(4)分析各系統剛度對固有頻率的靈敏度得出,在振動控制中可以依據振動主要成分的頻率位置及通過系統剛度的主動設計,來有效抑制系統振動。

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(編輯 趙煒 葛趙青)

Research on Inherent Characteristics and Sensitivities of Planetary Gear Transmission

TAO Qing1,SUN Wenlei1,ZHOU Jianxing1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047, China; 2. Center for Post-Doctoral Studies of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047, China)

A novel modelling method is proposed for rigid-flexible coupled planetary gear transmission systems that consist of rigid gear subsystems and elastic ring gear subsystems. The model for rigid gear subsystems is established by using the lumped parameter method and the model for elastic ring gear subsystems is established by using the FEA method. The natural frequency and vibration modes are deter-mined according to the compatible state of deformation between mesh force and ring gear deformation, and the distribution of the natural frequency for the coupled system is described. It is based on the vibration characteristics of the system that the vibration modes are classified into six kinds of modes. The effects of system rigidity to the sensitivities of natural frequency with different orders are calculated, and can be used as the bases for planetary transmission system vibration suppression. The influences of torsional stiffness of sun gear and the mesh stiffness between sun gear and planetary gears to the torsional vibration of the system are analyzed. The influences of the gear rim thickness to the system natural frequency distribution, to the subsystem coupling order time and to the vibration mode are discussed. It is found that the natural frequency appears in the position of the gear subsystem torsional vibration frequency, but the ring gear vibration mode is gradually reduced from the high-order section diameter and the first order vibration mode of the system is changed from a circle section diameter vibration mode into a gear ring rigid vibration mode as the thickness of the ring gear increase.

planetary gear transmission; dynamic model; rigid-flexible coupling; natural frequency; sensitivity

2014-08-10。 作者簡介:陶慶(1978—),男,博士生;孫文磊(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51065026,51465056);新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目(2011211A002)。

10.7652/xjtuxb201503018

TH113

A

0253-987X(2015)03-0113-08