土介質中污染物遷移模型的同倫分析解

余 闖 方冬芳 杜廣印 蔡曉慶 溫燦燦 楊 萌

(1 溫州大學建筑工程學院，溫州325035)

(2 溫州大學數學與信息科學學院，溫州325035)

(3 東南大學交通學院，南京210096)

填埋是我國處理城市垃圾的主要方式.垃圾填埋場使用年限一般為幾十年;但實際上，垃圾在填埋場中存在時間可達幾百年甚至上千年，場底襯墊系統是阻止垃圾滲濾液等污染物運移的長期屏障［1］.垃圾滲濾液中的污染物通過對流、機械彌散、分子擴散以及吸附、解析和生物降解［2］等過程穿透襯墊系統向周圍環境中遷移，考慮污染物降解作用的對流-擴散模型可以較好地描述這一過程.近年來，國內外眾多學者開展了污染物遷移規律的相關研究，并取得了一定的進展.陳云敏等［3］利用分離變量法求解成層土中的污染物遷移問題，主要考慮了擴散的作用;余闖等［4］利用分離變量法獲得了均質土中考慮溶質蛻變效應的污染物遷移模型的解析解;張文杰等［5］利用疊加法求解了源濃度恒定不變的遷移模型，但未考慮降解作用的影響;Chakraborty 等［6］基于有限差分法求解了常規邊界條件下一維降解、對流、擴散、線性吸附的遷移模型.然而，實際上源濃度并非恒定不變，其衰減作用對污染物的遷移會產生重大影響.van Genuchten等［7］求解了源濃度隨時間按指數衰減的一維降解、對流、擴散、線性吸附污染物遷移模型，Williams 等［8］則基于Laplace 變換方法求解了該模型.Chen 等［9］和謝海建等［10］分別運用差分變換方法和疊加方法求解源濃度隨時間按指數衰減的污染物遷移模型.在較為簡單的零初始條件下已有模型都有相應的理論解，對于具有更一般的、光滑的初始條件的模型則研究較少.Simpson 等［11］利用一種新方法求解Laplace 逆變換，進而求解了具有更一般的、光滑的初始條件的多組分反應遷移模型，獲得了級數解;該方法打破了以往求解方法的局限性，但其推導過程比較復雜，同時涉及到許多數學理論，從而限制了其推廣應用.

同倫分析法是由廖世俊等［12］提出的求解強非線性問題的近似解析方法，是一種統一的、更具普遍性的一般方法，已成功應用于很多實際問題的求解中［12-13］.其求解過程沒有涉及過多復雜的數學理論，且推導過程較簡單，借助Mathematica 軟件便能獲得其高精度近似解.本文利用同倫分析法求解了文獻［11］中源濃度恒定下單組分考慮污染物降解作用的對流-擴散模型，并與精確解進行了對比.然后，利用同倫分析法求解了源濃度隨時間按指數衰減的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型.

1 同倫分析法

令微分控制方程為

式中，Ni為第i 個非線性算子;x，t 分別為空間和時間變量;ci為待求變量.

選擇輔助線性算子L，推廣傳統的同倫方法，構造如下零階形變方程:

式中，i≠0 為第i 個輔助參數;ci，0(x，t)為第i 個初始猜測解;q 為嵌入變量;φi(x，t;q)為第i 個未知函數.

式(2)中有很多自由選取的輔助參數、輔助線性算子以及初始猜測解，體現了同倫分析法的有效性和靈活性.由式(2)可以看出，當q=0 和q=1時，分別有

即當嵌入變量q 從0 增大到1 時，φi(x，t;q)從初始猜測解ci，0(x，t)變化到精確解ci(x，t).

應用泰勒定理，將φi(x，t;q)展開成q 的冪級數，即

令

則有

當q=1 時式(6)收斂，故有

文獻［12］已證明式(7)是式(1)的一種解.式(7)利用ci，m(x，t)說明了初始猜測解和精確解之間的對應關系.因此，確定精確解前必須先求出ci，m(x，t).下面利用高階形變方程來確定ci，m(x，t).對式(2)中的q 求m 階導數后除以m!，再令q=0，即可得m 階形變方程為

式中

對式(8)兩邊同時進行逆算子L－1運算可得

當輔助線性算子、非線性算子和i均選取恰當值時，根據式(7)和(9)，運用Mathematica 軟件編程計算，可得原方程的高精度近似解.則ci(x，t)的M 階近似解為

式中，Ω 為積分域.

2 同倫分析法的應用

為便于對比和驗證，本文運用同倫分析法求解Simpson 等［11］提出的具有更一般的、光滑的初始條件的單組分考慮污染物降解作用下對流-擴散模型，以及源濃度隨時間按指數衰減的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型，并對所得結果進行模擬分析，檢驗其正確性與可行性.

2.1 源濃度恒定的一維污染物遷移模型

首先利用同倫分析法求解具有一般的、光滑的初始條件的一維污染物遷移模型.

2.1.1 基本模型

該模型描述了單組分考慮污染物降解作用的對流-擴散遷移規律，模型如下:

式中，c(x，t)為溶質的濃度;D 為彌散系數;V 為對流速度;k 為衰變系數.

初始條件為

式中，a，b 為常數.

邊界條件為

2.1.2 模型求解

根據初始條件，可選取如下的初始猜測解:

定義輔助線性算子為

式中，ψ 為構造方程.

式(16)滿足L(j)=0，其中j 為積分常數.

定義非線性算子為

構造如下的零階形變方程:

當q=0 和q=1 時，分別有

ψ(x，t;q)在q=0 處的泰勒展開式為

式(20)在q=1 處收斂，故有

下面求解cm(x，t).對式(18)中q 求m 階導數后除以m!，再令q=0 可得

式中

此時的初始條件為

求解式(22)得

根據cm(x，0)=0，可解得j=0.

由此可知

由式(26)可得

因此，只要級數解(21)收斂，它必然是式(12)的解.本文通過編制程序，對級數解(21)中的時間t求二階導數，并取x=0 cm，t=1 h，D=0.5 cm2/h，V=0.2 cm/h，k=0.05/h，a=2，b=0.002 5，繪制出中間變量ctt(0，1)與 的關系圖(見圖1).由圖可知，在－2 ～2 之間，ctt(0，1)數值基本保持不變，說明只要 取－2 ～2 之間的任意數，均可保證級數收斂.根據式(11)可計算出 的最優值為0.2.

圖1 ctt(0，1)- 曲線圖

2.1.3 結果分析

［11］中的參數數值，模型所用參數為D=0.5 cm2/h，V=0.2 cm/h，k=0.05/h，a=2，b=0.002 5.為了驗證本文所得解的精確性，編制了計算程序.t=20 h 時，在式(26)級數解取一階、二階、三階、四階和五階的條件下同倫解與文獻［11］中精確解的對比見圖2.由圖可知，隨著同倫解答中階數的增加，計算結果逐漸接近精確解，五階時計算結果與精確解吻合良好，即五階同倫近似解已滿足精度要求.

圖2 不同階同倫解與精確解對比

2.2 源濃度變化的一維污染物遷移模型

2.2.1 基本模型

考慮污染物降解作用的對流-擴散模型為

式中，R 為吸附阻滯因子.初始條件為

邊界條件為

即該模型中源濃度隨指數規律衰減.

2.2.2 模型求解

由初始條件和邊界條件可選取初始猜測解為

定義輔助線性算子為

定義非線性算子為

構造如下的零階形變方程:

根據式(11)可計算出 的最優值為－1.由此可得

該模型的污染物濃度表達式為

2.2.3 結果分析

模型參數取值為R=3，D= 0.1 m2/a，V=1 m/a，c0=1 g/L，k=1.5/a.繪制了t=0.1，1，2 a時污染物濃度隨深度的變化曲線(見圖3).由圖可知，污染物濃度隨著距離的增加而減小，且污染物在遷移過程中濃度梯度逐漸變小，直至在空間分布上趨于平衡.

圖3 不同時刻c(x，t)隨距離變化曲線

3 結語

本文采用同倫分析法求解了具有一般、光滑初始條件的考慮污染物降解作用的對流-擴散模型.通過選取輔助線性算子和非線性算子，構造零階形變方程，并借助Mathematica 軟件編程計算，獲得模型的近似解析解.基于此近似解編制相應的計算程序，將本文解與已有精確解答進行對比，發現兩者吻合良好，從而證明了本文方法的正確性和合理性.此外，利用同倫分析法求解了源濃度隨時間按指數衰減的一維降解污染物遷移模型，并進行了計算分析，所得結果符合實際情況.結果表明，同倫分析法是研究污染物遷移模型的一種行之有效的方法，且數學概念清楚，計算過程簡單，可以考慮復雜的初始條件和邊界條件.本文只考慮了單組分問題，實際上同倫分析法還可求解2 種及2 種以上溶質的多組分污染物遷移問題，具有廣闊的應用前景.

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