正交各向異性C/SiC 復合材料板的模態密度辨識

陳 飛 李彥斌 費慶國 董萼良

(東南大學土木工程學院，南京210096)

(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京210096)

統計能量分析(statistical energy analysis，SEA)是用于解決中高頻聲振問題的一種有效方法［1］.在結構統計能量分析參數準確估計的前提下，利用統計能量分析法能夠較精確地從統計意義上預示各個子系統的響應級［2-3］.而模態密度是一個表明結構對于外界激勵產生共振響應能力的重要參數［4］，其準確性對確定子系統的響應能量非常重要［5］，一般可通過解析方法或試驗測試獲取.簡單結構(如桿、梁、板等)的模態密度可通過頻率方程來計算求解［6］;對于一些復雜結構系統，當頻率帶寬內振型數較少時，利用解析方法來辨識其模態密度比較困難，可采用試驗測試方法辨識.目前，Clarkson［7］提出的點導納法是主要的模態密度試驗獲取方法，即基于結構激勵點導納實部平均值計算模態密度.

正交各向異性C/SiC 復合材料是一種以碳纖維為增強體來強韌碳化硅基體的材料［8］，具有密度低、抗氧化性能好、耐腐蝕、高溫力學性能好等優異性能［9］.目前，國內外針對C/SiC 復合材料力學性能的研究主要集中于常規性能測試，如彎曲性能、斷裂韌性和拉伸性能等［10-11］;而關于統計能量參數的研究則較少.因此，針對C/SiC 復合材料開展統計能量參數辨識研究對于解決中高頻聲振問題具有重要的指導意義.

本文選取具有正交各向異性的C/SiC 復合材料板作為研究對象，分別開展了模態密度的理論及試驗辨識方法研究.在薄板理論基礎上，推導出具有正交各向異性的復合材料板的模態密度理論計算公式;同時基于點導納法設計模態密度試驗測試系統，對C/SiC 復合材料板的模態密度進行了試驗研究.通過理論計算與試驗測試結果的對比分析，驗證該理論方法的有效性以及模態密度試驗測試在新型復合材料領域的適用性與可行性.

1 正交各向異性復合材料板模態密度

正交各向異性矩形板的彈性主方向沿板件的坐標軸(見圖1)，則其橫向自由振動位移函數的微分方程為［12］

式中，w(x，y，t)為矩形板撓度，其中t 為時間;ρ 為質量密度;h 為板厚度;Dx，Dy分別為x 方向和y方向上的抗彎剛度;Dxy為有效抗扭剛度;Dk為矩形板在彈性主方向上的扭轉剛度;μxy= － εy/εx，μyx= －εx/εy分別為x 方向和y 方向上正應力單獨作用引起的應變之比，其中εx和εy分別為x 方向和y 方向上的應變;Ex和Ey分別為沿x 方向和y 方向上的彈性模量;Gxy為沿彈性主方向的剪切模量.

圖1 坐標系下的矩形板

令w= w0ei(Kxx+Kyy－ωt)，其中，w0為初始撓度;Kx和Ky分別為x 方向和y 方向上的波數，且Kx=c1π/l1，Ky=c2π/l2，c1，c2為正整數;ω 為自由振動的固有角頻率.可得波數與頻率的方程式為

滿足式(1)的共振振型函數φ(x，y)為

由式(2)和(3)可知，每一個模態對應一組波數(Kx，Ky)，而每一組波數(Kx，Ky)又對應一個模態頻率.平板振動的波數曲線在波數空間中是一個1/4 橢圓弧(見圖2).Kx的每一個取值被區間ΔKx=π/l1隔開，Ky的每一個取值被區間ΔKy=π/l2隔開;即一個模態頻率對應于一個網格面積π2/(l1l2).因此，通過計算波數曲線下的面積即可求得平板在頻帶［0，ω］所包含的模態數.

圖2 波數空間

為了便于計算波數曲線下的面積，采用參數變換，令

將式(4)代入式(2)中，則有

求解式(5)可得

對任一頻帶［0，ω］，其包含的模態數N(ω)為

將式(6)代入式(7)中，得到某一頻帶［0，ω］的平均模態密度n(ωc)為

由此可知，對于正交各向異性復合材料板，其模態密度與平板面積A=l1l2相關，而與平板的邊界參數(l1，l2)的具體取值無關.對于給定的正交各向異性復合材料板，其模態密度是一個定值，與頻率無關.

2 基于點導納法的模態密度試驗

2.1 理論依據［7］

根據模態理論，若結構上(x0，y0)為激勵點，則點(x，y)處的速度導納Hv(f)為

式中，φr(x，y)為結構的第r 階模態;fr為結構的第r 階固有頻率;f 為激振頻率;ηr為第r 階模態阻尼;m 為結構質量.

若在激勵點(x0，y0)處拾振，則其速度導納為

由式(10)可得，速度導納的實部Re{Hv(f)}為

對速度導納實部Re{Hv(f)}進行空間平均可得

式中，〈〉為空間平均符號.

由于頻率分析帶寬Δf 遠大于噪聲有效帶寬，則式(12)可表示為

式中，NΔf為分析帶寬Δf 內的模態數.

模態定義式為

將式(13)代入式(14)中，可得分析帶寬內的平均模態密度為

由式(15)可知，通過試驗測試得到速度導納后，即可求得分析帶寬內的平均模態密度.

2.2 測試系統

基于點導納法測試原理，本試驗采用正弦掃頻激勵布置測試系統，分析頻率為20 ～2 000 Hz.試驗件采用剛度小的橡皮繩垂直懸吊，以滿足其自由狀態的要求.由于正弦掃頻試驗時激振力的附加剛度往往會帶來一定的誤差，因此當懸掛被測對象時，應固定激振器，使激振器的頻率比被測對象高出一個數量級，從而忽略附加剛度的影響.

為提高測試結果的準確度和可靠性，在C/SiC復合材料板上隨機選取3 個測點，測點的選擇要同時滿足避免對稱和空間均勻分布2 個原則.由于只針對結構的橫向響應展開討論，因此在每個測點上都只測試一個方向的響應信號，其余2 個方向的響應忽略不計.

點導納法測試系統簡圖見圖3.

圖3 點導納法測試系統

2.3 附加質量修正

利用由力傳感器和加速度傳感器組合而成的阻抗頭，可測試出激勵點處的阻抗或導納，但在試件的測量點與測量傳感器之間(包括力傳感器、加速度傳感器及阻抗頭本身結構等)產生了附加質量Δm.圖4給出了考慮附加質量時的結構受力示意圖.由圖可知，測得的激勵力FM(t)并不準確等于施加在試件上的激勵F(t)，而是受慣性力Δm¨u(t)等的影響.因此，需要進行附加質量修正才能提高模態密度測試的準確度.

圖4 考慮附加質量時的結構受力

由圖4可知，實際激勵力F(t)為

式中，u 為位移.

式(16)在頻域內的表達式為

式中，a 為加速度.

由式(17)可得修正的阻抗Z(f)為

則校正后的加速度導納Ya(f)虛部為

校正后的速度導納Yv(f)實部為

基于式(19)和(20)，即可對模態密度的試驗測試結果進行附加質量修正.

3 算例分析

3.1 模態密度的理論計算

本文中選定的正交各向異性C/SiC 復合材料板的幾何尺寸如下:l1=370 mm，l2=280 mm，厚h=6.5 mm.其材料參數如下:ρ=2 000 kg/m3，Ex=120 GPa，Ey=120 GPa，μxy=0.25，μyx=0.35，Gxy=44.4 GPa.

基于C/SiC 復合材料板幾何尺寸、材料參數以及正交各向異性復合材料板的模態密度理論計算式(9)，進行編程化處理計算分析，得到C/SiC復合材料板模態密度的理論計算值為5.47 ×10－4mode/Hz.

3.2 模態密度的試驗測試

針對C/SiC 復合材料板設計點導納法測試系統，進行試驗研究.并基于附加質量修正理論對試驗測試初始結果進行附加質量修正，得到模態密度試驗測試初始值以及修正值(見表1).由表可知，經過附加質量修正后，平均值明顯降低，均方差減小，說明附加質量在總體上可以使測試值增大，對測試結果精度影響顯著.

表1 模態密度測試初始結果及修正結果特征值

模態密度試驗測試初始結果、附加質量修正結果與理論計算值的對比見圖5.由圖可知，在低頻段(0 ～1.0 kHz)，由力傳感器、加速度傳感器及阻抗頭本身結構等形成的附加質量對于測試結果的修正效果不明顯，經過修正后的測試結果變化幅度仍較大;這是因為其模態重疊數小于1［6］，導致分布不一致的現象出現.在中高頻段(1.0 ～2.0 kHz)，附加質量修正效果顯著，試驗修正值明顯低于試驗初始值，且趨于穩定，說明附加質量是引起中高頻段測試誤差的主要原因之一.

圖5 模態密度理論值與試驗測試值對比

3.3 結果分析

通過將模態密度的理論計算值和試驗測試結果進行對比分析可知:

1)由力傳感器、加速度傳感器及阻抗頭本身結構等形成的附加質量對于試驗測試結果的影響集中于中高頻段，通過附加質量修正后，其測試結果明顯降低;而對于低頻段，附加質量修正效果不明顯.

2)在中高頻段，理論值與經過附加質量修正后的測試結果吻合較好，誤差較小.這說明對適用于中高頻段分析的統計能量分析法，本文基于薄板理論推導得到的正交各向異性復合材料板模態密度理論計算公式對于C/SiC 復合材料板具有較強的適用性，同時也說明點導納法試驗測試系統辨識C/SiC 復合材料板的模態密度具有較高的測試精度.

4 結論

1)基于薄板理論推導得到的正交各向異性復合材料板模態密度理論計算公式，對于形狀不同的平板具有同等適用性，且模態密度是一個定值，與頻率無關.

2)基于點導納法設計的模態密度試驗測試系統在進行C/SiC 復合材料板模態密度辨識時展現出較高的準確度.由力傳感器、加速度傳感器及阻抗頭本身結構等形成的附加質量在中高頻段對于試驗測試結果的影響較大，而在低頻段則修正效果不明顯.

3)理論值與經過附加質量修正后的測試結果在中高頻段吻合較好，說明基于薄板理論研究推導的正交各向異性復合材料板模態密度計算理論對于C/SiC 復合材料板模態密度辨識具有較高的精確度.

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