表征被動雙足行走的二維無邊輪輻的動力學及穩定性分析

奚如如 王興松 韓亞麗

(1 東南大學機械工程學院，南京211189)

(2 南京工程學院機械工程學院，南京211167)

被動雙足行走指的是雙足行走機構只依靠本身結構、重力、足與地面的摩擦力及碰撞力而實現雙足行走［1-2］.被動行走機構不包含可以將系統非機械能轉換為機械能的部件(如電機等)，但可以包含如彈簧阻尼之類的儲能元件.基于被動行走理論的雙足機器人是欠驅動的，實現自然狀態下的行走運動，無附加驅動力而產生的能量損耗.被動行走研究的主要思路是首先研究無驅動的純被動機器人［3］.現有簡單類雙足機構二維無邊輪輻模型，可在斜坡上滾動，通過間歇性碰撞實現相對持續的運動.簡單無驅動被動雙足行走模型［1-2］的支撐腿與擺動腿通過自由鉸鏈連接，支撐腿呈現倒立擺行走特性，擺動腿以自由鉸鏈為節點自由擺動.輪輻支撐輻條的運動及其與斜坡間的碰撞分別對應雙足行走模型支撐腿的運動及其擺動腿與斜面的碰撞，隨著碰撞的發生，輪輻兩相鄰支撐輻條完成交替，且對應于雙足模型支撐腿與擺動腿的交替.輪輻的運動具有純被動特性，呈現了人類行走過程中足與地面的接觸及支撐腿與地面的類似倒立擺的相對運動，對其動力學及相鄰輻條間碰撞交替的研究對被動行走本質的探究更具直觀性.

McGeer［1-2］最先基于無邊輪輻的運動特質提出被動雙足行走理論，并對無邊輪輻運動及其穩定性進行了初步理論分析.文獻［4-9］基于McGeer提出的具有被動行走特性的無邊輪輻模型，對被動雙足行走機器人進行了深入的研究.文獻［5-13］指出無邊輪輻系統是包含連續動力學與離散動力學的復合系統.文獻［14-19］雖對無邊輪輻運動及其被動特性進行了基本描述和運動仿真，但對動力學特性的數值分析、輪輻運動極限環、初始條件及機構參數之間的相互依存關系沒有進行直接深入的研究，從而限制了對其動力學特性的直接應用.

本文對無邊輪輻模型進行動力學特性分析，揭示輪輻實現穩定被動行走的可能性、影響因素及其所依據的數值關系.基于倒立擺模型及角動量矩守恒原理建立表征無邊輪輻模型的運動學方程及碰撞瞬間切換方程，利用龐加萊截面及映射理論對斜坡上的無邊輪輻進行運動穩定性分析.結果表明，具有復合動力學特性的輪輻系統在特定條件下可實現穩定持續的下坡滾動，不動點與極限環的存在是輪輻運動穩定性的主要表征參數.不動點與極限環的存在與輪輻的輻條數目、慣性矩參數、運動初始條件和斜坡角度有關，驗證了一定的斜坡角度和初始角速度下的輪輻可實現穩定持續的下坡滾動.本文對輪輻運動不動點及極限環的數值研究方法具有普遍適用性，可直接指導無驅動雙足被動行走模型的研究.若將輪輻下坡時重力利用等同于雙足機器人的驅動力，則對以固有頻率行走、減少驅動能耗及簡化控制理論為目標的主動雙足行走及下肢外骨骼的步態規劃及機構研制具有借鑒意義.

1 無邊輪輻系統模型

1.1 系統模型及運動參數配置

如圖1所示，無邊輪輻模型成軸對稱分布，質量為m，質心點C，轉動慣量為IC，輻條分布均勻，輻條總數為n，輻條長度為l，相鄰輻條之間的角度為β=2π/n，斜坡角度α.滾動過程中當前接觸地面的輻條定義為支撐輻條，輻條角度θ 定義為輻條相對于地面垂直線的角度，逆時針方向為正.

圖1 無邊輪輻系統模型

為了更好地研究無邊輪輻運動特性，作如下假設:①當前支撐輻條端點與坡面的接觸點相當于鉸鏈鏈接點;②輻條與坡面間的碰撞為非彈性且瞬時完成，無滑移和彈起現象;③輻條與坡面碰撞瞬間無沖擊，兩相鄰輻條分別平穩地接觸和離開斜坡;④輻條端點與坡面接觸點之間的摩擦力損失忽略不計［5-7］.

鑒于上坡和下坡現象在無邊輪輻運動過程中可能交替出現，需對輪輻運動參數標示明確.

1)為避免模運算，輻條表征參數k 采用逐一計數模式，k=0 定義為無邊輪輻與地面的初始狀態.無邊輪輻從k=0 輻條開始運動，逆時針運動時首個支撐輻條記為k=1，順時針運動時首個支撐輻條記為k= －1，依次加減1 類推.

2)i 表征碰撞次數，i=0 為初始狀態，i 采用逐一計數方法，每發生一次碰撞，i 加1，0≤i≤+∞.j(i)表征第i 次碰撞后的支撐輻條，支撐輻條隨著每次碰撞的發生而改變.輪輻歷經i+1 次碰撞后，若其為逆時針下坡運動，支撐輻條j(i +1)=j(i)+1;反之，j(i+1)=j(i)－1.

3)上標(－)和(+)表征碰撞前后瞬間.記ti為第i 次碰撞發生時刻，t+i為第i 次碰撞后瞬間，為第i 次碰撞前瞬間，θk(t)為輻條k 在t 時刻的角度，θk(ti)為輻條k 在ti時刻的角度.

4)鑒于無邊輪輻與雙足行走特性的研究相關性，僅考慮當前支撐輻條而不是所有輻條的運動狀態，輪輻當前支撐輻條運動特性對應于雙足行走機器人的支撐腿.記(t)為輪輻第i 次碰撞后支撐輻條j(i)在任意時刻t 的角度，為第i 次碰撞后瞬間支撐輻條j(i)的角度，其與意義相同.類似地，

1.2 模型運動周期及分析

如圖2所示，無邊輪輻在角度為α 的斜坡上作下坡運動，支撐輻條以逆時針方向滾動.如圖2(a)、(b)、(e)、(f)所示，碰撞發生后瞬間，無邊輪輻分別以(iθ+，i+)與(i+1θ+，i+1+)作為初始條件進入無碰撞階段，運動至下一次碰撞發生.如圖2(d)所示，輪輻支撐輻條呈豎直狀態，即支撐輻條角度為零，整個輪輻機構關于支撐輻條對稱.如圖2(c)、(d)、(e)所示，無邊輪輻處于無碰撞階段，整個輪輻的運動可看作是以角度iθ+=α －π/n、角速度i+作為初始條件的非完整周期的倒立擺運動，終止于邊界條件i+1θ－=α +π/n.由圖2(a)、(b)、(c)可知，無邊輪輻整體參數配置在碰撞前后無顯著變化，但支撐輻條在碰撞前后完成j(i)與j(i +1)兩相鄰輻條的交替，支撐輻條角度發生幅度為±2π/n 的躍變，且因碰撞引起輪輻整體動能損耗，導致碰撞前后輪輻角速度變化很大.顯然，碰撞前后的支撐輻條角度與角速度均不連續.

當無邊輪輻作上坡運動時，支撐輻條沿順時針方向滾動，可從左向右依次逆解讀圖2中輪輻運動狀態來說明.圖2(b)、(f)為碰撞瞬間，碰撞點分別為點A 和點D，圖2(a)、(e)為碰撞前瞬間，圖2(c)為碰撞后瞬間，圖2(d)為支撐輻條呈豎直狀態.圖2(c)、(d)、(e)中的輪輻處于無碰撞階段，其參數配置方式的遵循原則與下坡運動時保持一致.

無邊輪輻無論處于何種初始運動趨勢，在運動過程中其運動趨勢均可能出現翻轉.輪輻到達如圖2(d)支撐角度為零狀態時，角速度將決定輪輻是否可以通過支撐輻條來達到豎直狀態，從而影響輪輻是否繼續初始運動或出現搖擺運動.

因此，本文定義無邊輪輻一個完整的運動周期為一個完整的無碰撞運動過程和接下來的一次碰撞運動，并在不改變模型參數意義的基礎上簡化角度及角速度的符號標示，以當前支撐輻條角度θ(t)、角速度(t)作為研究對象，研究無邊輪輻的運動特性.一個完整的輪輻運動周期可表現為上坡運動、下坡運動或組合運動，即在一個運動周期內，輪輻運動趨勢可能發生改變，或出現搖擺現象.

圖2 無邊輪輻模型運動狀態示意簡圖

2 系統動力學分析

2.1 運動方程

如圖2(c)、(d)、(e)所示，無論輪輻初始運動趨勢為上坡或下坡運動，輪輻都處于無碰撞運動階段，整個輪輻關于支撐點A 的角動量矩平衡，即

式中，MA為輪輻關于點A 的所受力矩總和;˙HA為輪輻關于點A 的角動量變化率.

由式(1)可得無碰撞階段的無量綱運動方程為

2.2 碰撞瞬間切換方程

輪輻碰撞前后瞬間參數配置如圖2(a)～(c)所示，支撐輻條角度在碰撞前后有±2π/n 的躍變.無邊輪輻在碰撞發生前為逆時針下坡運動，輪輻碰撞后瞬間相對于碰撞前瞬間轉過了－2π/n 角度;反之，若輪輻在碰撞發生前呈順時針上坡運動趨勢，輪輻則轉過2π/n 角度.第i 次碰撞前后瞬間角度躍變公式為

無邊輪輻在碰撞發生前為逆時針下坡運動，iθ－=α+π/n，iθ+=α －π/n;反之，若無邊輪輻在碰撞發生前為順時針上坡運動，則iθ－=α －π/n，iθ+=α+ π/n.無論何種運動趨勢下發生碰撞運動，碰撞前后含符號函數的角度躍變公式(3)均可改寫為如下簡單形式:

無邊輪輻的角速度隨著碰撞的發生而改變，忽略重力及碰撞瞬間對輪輻引起的沖擊，則整個輪輻關于點B 角動量守恒，即

式中，H－B 為第i 次碰撞前瞬間輪輻關于點B 的角動量;H+B為第i 次碰撞后瞬間輪輻關于點B 的角動量.

由式(5)可得第i 次碰撞前后瞬間角速度躍變方程為

式中，碰撞參數λ=1 + μ2(cos(2π/n)－1)，0 ≤λ ＜1.

第i 次碰撞前后瞬間角度、角速度躍變公式(4)、(6)表征了碰撞發生前后輪輻支撐輻條運動參數的改變，式(4)、(6)可統稱為碰撞瞬間切換模型.

2.3 關鍵角速度臨界值

引進臨界角速度參數dn和up，獲取依據為無邊輪輻介于2 次碰撞之間的運動遵循能量守恒原則.在一個運動周期的無碰撞階段，輪輻以一定的初始角速度運動，輪輻的初始動能可根據圖2(c)、(d)、(e)中的動能和勢能表征條轉換.在θ=0 處完全轉化為勢能，即在θ=0 處，輪輻角速度亦為零，此時輪輻處于基于1 個支撐輻條的不穩定豎直平衡狀態.

當無邊輪輻呈下坡運動趨勢時，輪輻以臨界角速度dn作初始運動，可根據圖2(d)與(e)間的能量表征條進行能量轉換;反之，當輪輻呈上坡運動趨勢時，輪輻以臨界角速度up作為初始速度運動，根據圖2(c)與(d)間能量表征條進行能量轉換，計算可得

無邊輪輻呈下坡運動趨勢且碰撞后瞬間角速度為dn或上坡運動趨勢且碰撞后瞬間角速度為時，輪輻將耗時無限長到達并停留在位置θ=0處，輪輻基于1 個支撐輻條豎直靜止，是一種臨界不穩定平衡狀態.

2.4 相圖及運動軌跡流

無碰撞階段的運動方程式(2)可改寫成如下一階微分方程組:

積分后可得介于2 次碰撞之間的相空間軌跡流，即

鑒于支撐輻條與斜坡之間的空間限制，支撐輻條并不能進行完整的倒立擺運動，因此無邊輪輻的軌跡變化需在相空間U 中進行研究，即

無碰撞階段運動方程式(8)及碰撞瞬間切換模型(4)、(6)，均可表達為如下形式:

2)圖3中相空間U 內的連續運動軌跡流，根據獨立向量場v 發生連續變化，表明輪輻在無碰撞階段的動力學特性.相空間邊界?U 上的碰撞切換軌跡流，依據獨立向量場h 發生離散性質的跳躍變化，表明輪輻碰撞發生前后支撐輻條角度與角速度的躍變.一個完整的運動周期軌跡流為連續運動軌跡流與相應的碰撞切換軌跡流的組合，具有連續動力學與離散動力學并存的復合動力學特性.

3)以所屬相空間邊界?U 內含臨界值的邊界點x1(α－π/n，dn)與x2(α +π/n，up)為初始條件的臨界運動軌跡流終止于不穩定平衡位置θ=0處，輪輻不再出現后續運動軌跡流.當輪輻連續滾動時，輪輻上一次碰撞后瞬間(θ，)即為輪輻下一個運動周期的初始條件.若輪輻歷經數次碰撞后，其運動參數達到臨界邊界點，則輪輻將到達并停留在θ=0 位置，輪輻將不會發生下一次碰撞.

4)如果斜坡角度α ＞n/π，輪輻角度θ 始終大于零，則相空間內不包含不穩定豎直平衡狀態θ=0.

圖3 兩次碰撞間的相空間軌跡流圖

以滿足式(13)的邊界點為初始運動條件，圖3中連續運動軌跡流表明，輪輻均未通過θ=0 位置，而是逆向終止于相空間邊界?U 上，輪輻出現運動趨勢發生逆轉的搖擺運動.反之，若(θ，)滿足

以滿足式(14)的邊界點為初始運動條件，圖3中相空間U 內連續運動軌跡流均都正向終止于相空間邊界?U 上，輪輻運動趨勢保持不變.

6)無論輪輻以何種初始條件運動，歷經數次碰撞、上坡、搖擺及下坡運動后，輪輻可能處于如下3 種狀態:①基于單個支撐輻條上的豎直狀態，即運動軌跡流終止于不穩定平衡位置;②基于兩相鄰支撐輻條上的穩定靜止狀態，即運動軌跡流終止于相空間邊界?U 內的=0 邊界點上;③輪輻以一定速度作持續下坡滾動.如圖4所示，設n=6，α=π/16，μ=0.75，輪輻以θ0=α －n/π，0=1 為初始條件開始運動，歷經足夠多次碰撞后，連續運動軌跡流與碰撞切換軌跡流逐漸成為閉合曲線，說明極限環在特定條件下是存在的，輪輻可以實現穩定持續的下坡滾動.

圖4 無邊輪輻相空間軌跡流及極限環

3 系統不動點及穩定性分析

3.1 龐加萊截面

利用龐加萊回歸映射方法研究輪輻系統不動點、極限環的影響因素及存在條件，從而判定輪輻是否可實現穩定持續的下坡滾動［5-7］.龐加萊截面Γ 定義為

3.2 龐加萊回歸映射

建立如下龐加萊映射關系:

式中，iq+=(iθ+，i+)∈Γ，映射函數f:?！?，f=(h ?v)是基于離散向量場h 和連續向量場v 的復合映射，向量場h 與v 有如下關系:

映射函數P 表示輪輻第i 次碰撞后與第i +1次碰撞后的角速度之間的關系.如式(19)所示，當0≤α≤π/n 時，函數P 是受臨界值dn，up和參數集合ψ={μ2，n，α}影響的分段連續函數，從而輪輻在運動過程中會出現交替上坡運動、下坡運動及包含2 種運動的搖擺運動;如式(20)所示，當π/n＜α≤π/2 時，函數P 是受參數集合ψ={μ2，n，α}影響的連續線性函數，若將無邊輪輻兩相鄰輻條支撐于斜坡上，即使給輪輻零初始角速度或上坡運動趨勢，輪輻最終仍會自主持續下坡滾動.

3.3 映射函數的不動點

映射函數P 表征了輪輻相鄰2 次碰撞后瞬間角速度之間的關系，函數P 的不動點的存在意味著輪輻歷經數次碰撞后，其后每次碰撞后的瞬間角速度值均相同，這表明輪輻運動存在極限環，由式(19)、(20)可得函數P 的不動點ω*.

式中，ω0*為靜止不動點，表明輪輻最終可實現基于兩相鄰輻條支撐的穩定靜止狀態;為極限環不動點，表明極限環的存在及輪輻最終可實現持續穩定的下坡滾動，即輪輻歷經數次碰撞后角速度值趨向且最終等于，其后每次碰撞后的瞬間角速度值均等于ω*1.

3.4 不動點存在的影響因素

由不動點表達式(21)、(22)可知，不動點的存在與輪輻自身模型參數μ、輪輻數目n 及斜坡角度α 有關.當輪輻模型參數一定時，函數P 的2 個不動點ω0*與ω*1與斜坡角度的關系為

式中，αe為臨界斜坡角度，是決定極限環不動點ω1*存在與否的臨界值，由式(21)可推出αe滿足

由圖5可知，不同的斜坡角度對應不同的一維回轉圖，不動點性質及存在個數也不同.

如圖5(a)所示，當0≤α≤αe時，輪輻存在靜止不動點ω*0及表征不穩定平衡位置的臨界值up和dn，不存在極限環不動點ω*1 ，輪輻最終處于穩定靜止狀態或不穩定平衡狀態.

如圖5(b)所示，當αe＜α≤π/n 時，輪輻存在靜止不動點ω0*、極限環不動點ω1*及臨界值和等.輪輻以不同的初始條件運動，歷經數次碰條件取決于角速度臨界值撞，輪輻角速度逐漸趨向于ω0*，ω1*，up或dn等4種角速度值，此時輪輻最終運動狀態可能有3 種:①輪輻基于兩相鄰輻條搖擺數次，角速度在有限時間內衰減至靜止不動點ω*0，輪輻最終靜止于兩相鄰輻條上;②輪輻碰撞后瞬間角速度值以增速和減速2 種方式逐漸趨向且最終等于極限環不動點ω1*，輪輻實現以ω1*為運動角速度的穩定持續的下坡滾動;③碰撞后瞬間輪輻角速度達到臨界值up和dn，然后輪輻將耗時無限長到達并停留在豎直位置，即不穩定平衡狀態θ=0 位置.

圖5 不同斜坡角度對應的不動點與相應的一維回轉圖(n=6，μ=0.75)

3.5 不動點穩定性判據

不動點的穩定性由映射函數在不動點處的一階導數決定.函數P 在不動點ω*0與ω*1處的一階導數為

由于0≤λ ＜1，映射函數P 在不動點ω*0與ω1*處的一階導數DP(ω*)滿足因此，映射函數P 的不動點ω*0與ω*1是漸進穩定的.

3.6 不動點的吸引盆

當α=π/15，n=6，μ=0.75，回轉圖如圖6所示.圖6表示了輪輻靜止不動點ω*0與極限環不動點ω*1及臨界值dn和up等均存在時的多種運動狀態.靜止不動點ω*0與極限環不動點ω*1交替吸引相應區域內的初始條件，從而決定輪輻運動狀態.吸引盆在回轉圖中表現為不同區域內的線段，吸引盆的邊界由角速度臨界值來界定.圖6中奇數值區域內線段為極限環不動點的吸引盆，偶數值區域內線段為靜止不動點的吸引盆.由此可知，滿足極限環存在的初始所界定的區域，且不動點ω*0與ω*1相對應的吸引盆交替出現.

圖6 臨界角速度值與相應不動點的回轉圖

當輪輻以式(26)中臨界值系列為初始條件開始運動時，其終止于θ=0 位置而無法到達任一不動點，由映射函數P 可推導出m≥1 時的系列臨界值，其表達式為

綜上所述，輪輻最終所處運動狀態依賴于斜坡角度及由臨界角速度值界定的不動點ω0*與ω1*吸引盆內的初始角速度.斜坡角度、初始角速度與不動點類型的具體依存關系如表1所示，輪輻最終運動狀態與初始運動趨勢如圖7所示.①若輪輻初始角速度或歷經數次碰撞后的角速度為臨界角速度值，無論斜坡角度如何，輪輻終將處于不穩定豎直狀態;②當斜坡角度為0≤α≤αe時，初始角速度為非臨界角速度值，所有角速度值都位于靜止不動點ω*0的吸引盆內，即無論輪輻為何種初始運動趨勢，輪輻終將歷經M 次搖擺后基于兩相鄰支撐輻條處于穩定靜止狀態;③當斜坡角度滿足αe＜α≤π/n，且角速度滿足或則所有角速度值都位于靜止不動點ω*0的吸引盆內，即輪輻歷經M 次搖擺后將基于兩相鄰支撐輻條處于穩定靜止狀態;④當斜坡角度滿足αe＜α≤π/n 且初始角速度滿足則角速度值均位于極限環不動點ω1*的吸引盆內，輪輻由最初的上坡滾動通過一次搖擺逆轉為下坡滾動，歷經數次碰撞，輪輻角速度最終增速趨向并等于極限環不動點ω*1，輪輻呈穩定持續下坡滾動狀態;⑤當斜坡角度與初始角速度滿足關系αe＜α≤π/n，＞dn或π/n ＜α≤π/2，≥0 時，輪輻會以增速或減速2 種方式趨向且最終等于極限環不動點ω1*，輪輻實現純被動性質的穩定持續下坡滾動.

表1 不動點與相應吸引盆及斜坡角度的依存關系

圖7 輪輻初始條件與運動過程及最終運動狀態關系圖

4 結論

1)輪輻模型參數一定時，不同的斜坡角度對應不同的龐加萊映射回轉圖及不動點的存在狀態，是輪輻運動極限環存在的重要影響因素.決定極限環不動點存在的臨界斜坡角度值依賴于輪輻輻條數目及慣性矩參數.

2)輪輻自身模型參數及所在斜坡角度一定時，靜止不動點與極限環不動點的吸引盆區域確定，輪輻初始運動條件所屬吸引盆類別直接決定輪輻最終運動狀態.

3)臨界角速度系列為不動點的吸引盆邊界值，由輪輻自身模型參數及斜坡角度決定.歷經數次碰撞后，以此系列臨界角速度為初始條件開始運動的輪輻將耗時無限長，趨向并停留于不穩定豎直平衡位置，而無法到達靜止不動點或極限環不動點.

4)輪輻只在重力作用下發生滾動，無附加驅動力，具有純被動性質，輪輻自身模型參數、斜坡角度、初始運動條件將決定輪輻運動過程及最終運動狀態.

5)輪輻自身模型參數即輻條數目、慣性矩參數與臨界斜坡角度、臨界角速度值、不動點、不動點的吸引盆相互依賴并相互制約.

無邊輪輻輻條數目與慣性矩參數類比對應于簡單被動雙足行走模型運動過程中雙腿間最大角度、腿部與髖關節處質量分布，斜坡角度決定無邊輪輻或被動雙足行走模型行走過程中重力驅動力.因此，兩相鄰輻條間角度的表征參數輻條數目、慣性矩參數與斜坡角度是無邊輪輻、被動雙足行走模型的穩定周期狀態的決定性因素.

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