彈性力學教學中數學與力學問題的美學探討

劉章軍++雷進生

摘要：考慮工科本科生教學特點，在彈性力學教學中，抓住數學和力學問題的內在聯系，采用矩陣表達的形式闡述直角坐標與極坐標的變換關系，以及物理量（如位移、體力、應力、應變）的坐標變換關系，并利用坐標變換從直角坐標中的基本方程直接導出極坐標中的基本方程。按照這一教學思路，將數學知識與彈性力學有機結合，簡化基本方程的推導過程，在對知識點深入和透徹講解的同時，可與學生共同體會和分享數學與力學完美融合過程中的美學感受。

關鍵詞：彈性力學；本科教學；坐標變換；基本方程；美學

中圖分類號：G6420文獻標志碼：A文章編號：10052909（2015）01005905審美和求知是人類與生俱來的天性。數學和力學中的美學思想是科學美學的一個重要研究方向。自然界在本質層次上是美的，揭示與描述數學與力學具有的簡潔美、對稱美、和諧美、統一美、奇異美等美學特征[1]，可以讓人們感受科學并不僅僅是繁瑣的計算、枯燥的實驗、冗長的資料，還可以帶來更多美的享受。

力學教學中有大量枯燥乏味的公式，深入、透徹地講解這些系統知識，幫助學生構筑力學知識體系，是力學教師永恒的主題[2]。作為師者既要注重基礎力學的系統性，又要讓力學教學呈現豐富多彩的一面，引導學生發掘其中的數學與力學之美。筆者結合彈性力學本科教學，以矩陣表達的形式統一介紹直角坐標與極坐標的變換關系，以及物理量（如位移、體力、應力、應變）的坐標變換關系，并利用這些坐標變換關系，直接從直角坐標中的基本方程導出極坐標中的基本方程，通過這一教學實踐來闡述數學與力學問題的美學感受。基于數學、力學與美學的關聯性開展教學，分享數學方法與力學技巧的美學感受，可加深對力學理論內涵的理解，培養學生的學習興趣和創新能力。

一、坐標變換關系中的美學

在彈性力學平面問題中，直角坐標與極坐標的變換關系、以及物理量（如位移、體力、應力、應變）的坐標變換關系一般采用展開形式來表達，這種形式既繁瑣、難記憶，又不利于發現直角坐標與極坐標間的內在聯系。雖然采用張量指標記法可以達到更為簡潔的書寫目的，但對于初學者而言難于理解，在工科本科生的教學中不宜采用張量指標記法。采用矩陣形式可以充分利用已學的數學知識[3]，能直觀地展現坐標變換關系中的數學與力學美。

（一）直接坐標與極坐標的變換關系

直角坐標（x，y）與極坐標（ρ，φ）的一階導數變換公式，采用展開形式為[4]

采用矩陣形式表達，可以清晰地展現直角坐標與極坐標間的對應關系：

自然地，從式（3）中能衍生出一些結論，例如算子：

總之，采用矩陣形式，體現了坐標變換關系中的數學美：（1） 簡潔美，表達形式簡潔，容易記憶；（2）和諧美，體現直角坐標與極坐標間的內在對應關系；（3）對稱美，變換矩陣β是一個正交矩陣，即β-1=βT，這一優良特性體現了直角坐標與極坐標相互變換的對稱性。上述坐標變換關系展示了以簡潔、和諧、對稱為主要形式的古典美。

（二）位移、體力的坐標變換關系

在彈性力學問題中，位移和體力都屬于矢量，矢量的坐標變換關系式，可直接采用矩陣形式來表達。例如，位移分量的坐標變換關系[5]：

其中，fx和fy為直角坐標中的體力分量，fρ和fφ為極坐標中的體力分量。

可見，位移分量的坐標變換式（5）、體力分量的坐標變換式（6）與一階導數變換公式（1b）具有完全相同的變換形式，展現了數學和力學問題的統一性。因此，可將式（1b）、式（5）及式（6）統稱為一次坐標變換關系式。

（三）應力、應變的坐標變換關系

應力張量或應力矩陣的坐標變換關系類似于坐標的二階導數變換式（2b），采用矩陣形式表達為[5]：

為張量剪應變。由此可見，應力的坐標變換式（7）、應變的坐標變換式（11）以及二階導數變換公式（2b），也具有完全統一的二次坐標變換形式，進一步地展現了數學和力學問題的統一美。因此，可將式（2b）、式（7）和式（11）統稱為二次坐標變換關系式。上述有關坐標變換關系的矩陣表達形式，展現了數學和力學問題中的簡潔美、統一美和對稱美，對上述坐標變換關系的深入探索可以獲得極坐標中基本方法推導的奇異美。二、極坐標中基本方程推導的美學在一般的本科彈性力學教材中，對于平面問題極坐標中的基本方程，多采用與直角坐標相類似的微元推導方法，其推導過程較為繁冗，學生學習比較困難。利用上述坐標變換關系，將直角坐標中的基本方程直接變換到極坐標中，既是數學變換的自然結果，也是力學問題在直角坐標與極坐標中表達的內在統一結果。事實上，采用坐標變換推導極坐標中的基本方程，能進一步感受到數學與力學的神奇與美妙，展示出以統一和奇異為主要形式的浪漫美。

（一）平衡微分方程的推導根據式（1a），可知：

由式（16）可知，平衡微分方程的坐標變換屬于一次坐標變換關系式，體現了平衡微分方程在直角坐標與極坐標中表達的內在統一性。上述推導過程簡單、嚴謹、明了，清晰地展現了數學和力學問題的完美融合。采用矩形表達形式，能抓住力學問題的本質，可對力學問題作更新、更深層次的探索。

（二）幾何方程的推導根據式（1a），有：

式（24）即為極坐標中的物理方程（平面應力情況）。對于平面應變情況，只需將式（24）中的彈性模量E換成E/（1-μ2），泊松比μ換成μ/（1-μ）即可。在上述基本方程的推導中，體現了數學和力學問題的統一美與奇異美，同時也表現出簡潔美。利用坐標變換關系式，從直角坐標中的基本方程直接導出極坐標中的基本方程，相比于一般本科教材中的微元推導方法，其推導過程更為簡潔易懂，相比于張量指標記法則更直觀明了，更便于彈性力學初學者理解。三、結語審美決定了人的價值取向，更是研究人員從事科學研究的驅動力。在力學教學和研究中，發現和分享數學與力學之美能帶給人愉悅的美學感受。抓住力學問題的本質，深入探索力學問題中的數學美與力學美，有助于對力學教學和研究作更新和更深層次的探索，甚至可能會做出某些具有重要意義的科學發現。開展數學、力學與美學的關聯性教學，在講授力學公式推導和解題方法的同時，將數學和力學問題的美學魅力展現給學生，讓學生在獲得知識的同時，加深對力學理論豐富內涵的理解，分享美學感受和接受美學熏陶，可激發學生學習力學的興趣，啟迪學生思維，開闊研究視野，有助于培養學生的思維能力和創新能力。