柯西不等式變式的應用

覃發崗+寧紀獻

摘要：對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然后給出了其推論的應用。

關鍵詞：不等式;應用;柯西不等式

Abstract： This paper introduces the Cauchy inequality from its basic form ， deformation. Then reveals their application in inequality by series examples.

Key Words： Inequality; Application; Cauchy Inequality.

1.引言

柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式，它結構對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應用。

2.柯西不等式的變式

2.1柯西不等式的基本形式[1]

柯西不等式：已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，則∑ni = 1ai bi 2≤∑ni = 1a2i ∑ni = 1b2i ，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n時等號成立。

2.2柯西不等式的變式[2]

柯西不等式有多種變式，下面只介紹一些常見的變形形式。

變式一

∑ni=1aibi≥∑ni=1ai2∑ni=1aibi（ai，bi同號且均不為0， 當且僅當b1=b2=…=bn時等號成立）， 在柯西不等式中令a2i ?= ai bi ，b2i ?= ai bi 即得。

變式二

在柯西不等式中令a2i ?= a2i bi ，b2i ?= bi 即得。

變式三

∑ni = 1ai b2i ≥（∑ni = 1ai bi ）2∑ni = 1ai （ai∈R+，bi∈R+，當且僅當b1=b2=…=bn時等號成立），在柯西不等式中令a2i ?= ai ，b2i ?= ai b2i 即得。

變式四

∑ni=1aibi12≤∑ni=1ai∑ni=1bi12ai∈R+，bi∈R+，當且僅當ai與bi成比例時等號成立，在柯西不等式中令ai ?= a12i ，bi ?= b12i 即得。

變式五

將柯西不等式兩邊開平方根即得。

3.應用柯西不等式的變式

3.1應用變式一

例1設a，b，c∈R+，求證：ab+c+bc+a+ca+b≥32

證明 由變式一可得，

ab+c+bc+a+ca+b≥a+b+c2ab+c+bc+a+ca+b

=a2+b2+c2+2ab+bc+ca2ab+bc+ca

≥ab+bc+ca+2ab+bc+ca2ab+bc+ca

=32

故原不等式成立。

3.2應用變式二

例2 設a1，a2，…，an是正數，且∑ni=1ai=pp為常數，試證明：

a21 a1 ?+ a2 ?+ a22 a2 ?+ a3 ?+ … + a2n-1 an-1 ?+ an ?+ a2n a1 ?+ an ≥p2

證明 由變式二得，

a21 a1 ?+ a2 ?+ a22 a2 ?+ a3 ?+ … + a2n-1 an-1 ?+ an ?+ a2n a1 ?+ an

≥a1+a2+…an-1+an2a1+a2+a2+a3+…+an-1+an+a1+an

=p22p=p2

故原不等式得證。

3.3應用變式三

例3 已知x+2y+3z+4u+5v=30，求W=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值。

解：由變式三得，

W=x2+2y2+3z2+4u2+5v2

≥x+2y+3z+4u+5v21+2+3+4+5

=30215=60，

當且僅當x=y=z=u=v即x=y=z=u=v=2時等號成立，故W的最小值為60。

3.4應用變式四

例4 已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求證：

4a+1+4b+1+4c+1+4d+1≤42

證明可利用變式四，令

a1=4a+1，a2=4b+1，a3=4c+1，a4=4d+1，b1=b2=b3=b4=1，

則原不等式左邊=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4

≤a1+a2+a3+a412·b1+b2+b3+b412

=4a+b+c+d+412·412=42，

故原不等式成立。

（作者單位：云南大學數學系）

參考文獻：

[1]謝躍進.柯西不等式應用探討[J].銅仁職業技術學報（自然科學版）.2008，6（6）：59.

[2]王曉鳳.對柯西不等式的探討[J].通化師范學院報，2006，27（2）：23-25.endprint