基于干擾位置預測的穩健波束形成方法

吳 夢 劉宏偉 周生華 羅 濤 王 旭

（西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

自適應波束形成［1］通過調整各陣元的加權值使方向圖的主瓣指向目標，同時在干擾方向形成零陷，以達到抑制干擾提高目標信號檢測性能的目的.在理想環境下傳統自適應波束形成方法［2］可以獲得良好性能，但在高速平臺雷達的應用中會受到一些實際因素的影響，其性能嚴重下降.對于高速平臺雷達，干擾相對陣列的入射方向可能快速變化，權值訓練數據難以反映權值應用時刻的干擾方向［1，3］，使得方向圖零點與干擾實際方向產生偏差，無法有效抑制干擾，導致陣列輸出信干噪比嚴重下降.當輸入信噪比較高時，自適應波束形成方法對指向誤差有很大的敏感度［4-8］，目標信號會被當作干擾抑制掉，進一步加劇輸出信干噪比的損失.如何提高自適應波束形成在高速平臺雷達應用中對干擾方向快速變化和指向誤差的穩健性，是一個值得研究的問題.

目前，針對指向誤差引起的目標信號相消問題，已有一些較好的解決方法.干擾協方差矩陣重構（Interference Covariance Matrix Reconstruction，ICMR）［9］法根據目標方向的先驗信息和主瓣寬度確定干擾所在角域，并在該角域對空間譜函數進行積分以重構干擾協方差矩陣，有效濾除了協方差矩陣中的期望信號分量；文獻［10］則通過對指向誤差的迭代估計修正了干擾所在角域，進一步提高了ICMR算法的穩健性.矩陣加權（Adaptive Matrix Approaches，AMA）［11］方法通過對陣列接收信號進行矩陣加權來綜合方向圖，不但具有良好的主瓣保形能力，還能在抑制強干擾的同時獲得較低旁瓣；文獻［12］則是通過約束主瓣增益波動范圍，提高了AMA算法對較大指向誤差的穩健性.上述方法主要解決了目標信號相消問題，但對方向快速變化的干擾無法有效抑制.為提高雷達對方向快速變化干擾的抑制能力，可通過加寬干擾零陷來實現.常用的零陷加寬方法主要有協方差矩陣錐消（Covariance Matrix Taper，CMT）［13］法和導數約束法［14］.CMT算法是用協方差矩陣與空間擴展矩陣的Hadamard乘積代替原始協方差矩陣求解自適應權，無需知道干擾的方向，零陷寬度可以任意設置；導數約束法通過在已知的干擾方向施加導數約束以加寬零陷，其本質是增加干擾鄰近方向的增益約束，屬于CMT算法的特例［15］.而在實際應用中，若是自適應權值更新速度相對太慢［1，3］，展寬范圍設置不當，上述零陷加寬方法的干擾抑制性能仍會下降.為此我們可以根據干擾方位的變化規律來設置零陷，確保權值應用期間干擾始終處于所設定的零陷范圍內.

該文以高速平臺雷達為應用背景，提出了一種基于干擾位置預測的穩健波束形成方法，該方法在干擾方向快速變化和指向誤差并存的情況下有效減少輸出信干噪比的損失.首先建立了干擾信號模型，定義了歸一化空間頻率并得出其隨時間的變化關系.然后利用歷史數據估計干擾歸一化空間頻率及其變化率，繼而預測權值應用時期內干擾的歸一化空間頻率，給出零陷范圍.最后，通過矩陣加權的方式對零陷范圍進行低增益約束以抑制干擾，同時約束主瓣區域響應不衰減以提高波束形成對指向誤差的穩健性.仿真實驗表明，所提方法可以有效抑制方向快速變化的干擾信號，并對指向誤差具有較好的穩健性，有效延長了權值使用時間.

1 信號模型

考慮一個由M元各向同性陣元組成的陣列和一個窄帶干擾源，如圖1所示，o點為陣列的參考點，干擾源Q到o點的向量記為ro，干擾源到第i（i＝1，…，M）個陣元Ai構成向量ri，o點到陣元Ai的向量為pi.

圖1 空間示意圖

從圖中可以看出ri＝ro＋pi，那么Q點到陣元Ai的距離與到o點的距離差為

式中，符號·表示兩向量的內積.當雷達的工作波長為λ時，由距離差Δri引起的相位差可以表示為φi＝2πΔri／λ.將式（1）代入φi，并對其分子分母同除以｜ro｜有

在干擾源位于陣列遠場時，干擾到陣列參考點的距離遠大于陣列孔徑，有｜ro｜?｜pi｜，那么，式（2）可以近似為

一般情況下｜pi｜與波長λ是一個數量級的，那么式（3）中的第二項可以忽略不計，進一步近似得到

若陣列平臺運動速度為vA，干擾源運動速度為vJ，此時干擾源相對于陣列平臺的運動速度為v＝vJ-vA.不失一般性，假設干擾源在Q點的時刻為初始時刻.那么t時刻，干擾源運動了距離vt到Q′點，干擾源到陣列參考點的向量變為r′o，如圖1所示，則有＝ro-vt，干擾信號到第i個陣元與到陣列參考點之間的相位差可以表示為

假設短時間內干擾運動距離遠小于干擾源到陣列的距離，即｜vt｜?｜ro｜，那么相位差式（5）可以進一步近似為

從式（6）可以看出，該相位差由兩部分構成，固定相位差和運動引起的相位差.那么干擾信號到達各陣元的相位差所組成的向量為a＝［1，ejφ2（t），…，ejφM（t）］T，可稱為干擾信號的導向矢量.

從空域濾波的角度來看，天線方向圖相當于一個空域濾波器.為表征信號的空域特征，定義歸一化空間頻率為

由以上討論可以得出，在短時間內干擾運動距離遠小于干擾源到陣列距離的條件下，干擾源的歸一化空間頻率是隨時間近似線性變化的.

上述分析適用于任意結構陣列，下面以半波間距的均勻線陣為例描述干擾的信號模型，如圖1所示，θJ0為干擾的初始方向，ro＝｜ro｜為干擾到陣列的初始距離，v為干擾相對陣列平臺的運動速度v的大小，θv為運動速度與陣列方向的夾角.根據式（7）得到第n個采樣時刻干擾源的歸一化空間頻率，可以表示為

式中，fr為脈沖重復頻率.假設干擾源的歸一化空間頻率在L個脈沖重復周期內服從線性變化，那么第l（l＝1，…，L）個脈沖時刻干擾源的歸一化空間頻率為uJ（l）＝uJ0-lΔuJ.

考慮雷達觀測區域內存在K個與目標信號不相關的干擾信號，為獲得獨立同分布的樣本，對一個脈沖重復周期內的陣列接收信號進行采樣.當訓練數據中含有目標回波信號時，單個脈沖時刻的接收數據可以表示為

式中：a（ut）為目標在歸一化空間頻率ut時的導向矢 量，表 示 為a（ut）＝［1，ej2πut，…，ej2π（M-1）ut］T；st（n）為目標回波幅度；a（uJk）為第k個干擾在歸一化空間頻率uJk時的導向矢量，表示為a（uJk）＝［1，ej2πuJk，…，ej2π（M-1）uJk］T；sJk（n）為第k個干擾信號的幅度；z（n）為噪聲矢量；N為接收信號的快拍數.

由于目標信號與干擾信號、噪聲互不相關，接收數據的協方差矩陣可以表示為

式中：符號E［·］表示求數學期望；Rt＝E［xt（n）為目標協方差矩陣E［｜st（n）｜2］為 目標回波功率；RJ＋z＝E［（xJ（n）＋I為干擾噪聲協方差矩陣為第k個干擾的信號功率為噪聲功率.

通常自適應方向圖的零陷比較陡峭，尤其是在陣列尺寸較大的情況下，干擾方向的輕微變化都能導致干擾抑制性能的大幅下降.為有效抑制方向快速變化的干擾，可以根據上述結論預測權值應用時期干擾的歸一化空間頻率，給出對應的零陷范圍，確保干擾始終處于方向圖的零陷內.

2 穩健的自適應波束形成方法

根據上一節分析得出，對于高速平臺雷達，干擾的歸一化空間頻率是脈間變化的.這會導致權值訓練數據所得方向圖零點與權值應用時刻的干擾位置產生偏差［1］，使得干擾不能被有效抑制.同時在實際應用中，當權值訓練數據包含目標回波信號時，較小的指向誤差都會引起目標信號相消現象［4-8］.針對以上問題并存的情況，下面給出一種基于干擾位置預測的穩健波束形成方法.該方法首先利用已估計的干擾歸一化空間頻率及其變化率預測出權值應用時刻的歸一化空間頻率，再采用矩陣加權的方式對預測的干擾區域進行低增益約束，達到抑制干擾的目的.同時對主瓣增益和旁瓣電平進行約束，可以防止主瓣分裂并壓低旁瓣.

利用權矩陣W＝［w1，w2，…，wQ］∈CM×Q對陣列接收信號（10）進行加權，陣列輸出的信干噪比RSIN可以表示為

式中，符號tr（·）表示求矩陣的跡.利用性質tr（AB）＝tr（BA），令T＝WWH，式（12）可以變為

根據最大化陣列輸出信干噪比準則可以求得最優自適應權值，等價為如下帶約束的優化問題：

實際中，理想的RJ＋z一般無法獲得，而是用接收數據的協方差矩陣R的有限次快拍估計＝來代替.

式中，ζ為干擾區域增益的上界.

為防止指向誤差引起的主瓣分裂和抖動，文獻［12］增加了對主瓣區域Ψm增益的約束為

式中：ε為主瓣增益的最大波動范圍，定義為ε＝1-10-εdB／10，εdB為主瓣區域波動的最大值.同時為防止旁瓣增益的抬高，對旁瓣區域Ψs增益進行約束

式中，ξ為旁瓣區域增益的上界.

綜上所述，為提高自適應波束形成在高速平臺雷達應用中對指向誤差和干擾方向快速變化的穩健性，給出如下優化模型為

從上式可以看出，目標函數和約束方程均是關于T的線性函數，式（18）是一個半正定規劃問題，可以應用凸優化工具包CVX［16］求得全局最優解，再利用特征值分解法［12］得到最小維數的權矩陣W.

3 仿真實驗

通過仿真實驗驗證所提方法的有效性.仿真條件：假設雷達天線陣列為半波間距的等距線陣，陣元數M＝20，脈沖重復頻率fr＝500Hz.空間存在三個獨立的干擾源，初始歸一化空間頻率分別為｛-0.3，0.25，0.4｝，其脈間變化率分別為｛ΔuJk＝｛5.1×10-4，-3.4×10-4，-4.1×10-4｝，干噪比分別為40dB、30dB和30dB.陣列接收數據中含有目標回波信號，目標信號的歸一化空間頻率為ut＝0.03，期望方向對應的空間頻率為0，即主瓣存在0.03的指向誤差.接收機噪聲為零均值的高斯白噪聲.將所提方法和Capon算法［2］，CMT算法［13］及ICMR算法［10］進行比較.實驗中，CMT算法［13］為提高算法的穩健性將對角加載技術和零陷展寬相結合，加載量為10σ2z，零陷寬度為0.06；ICMR算法［10］的主瓣寬度為0.06；所提方法的主瓣區域為Ψm＝［-0.03，0.03］，主瓣區域增益波動的最大值εdB＝0.5dB，旁瓣區域為Ψs＝［-0.5，-0.1］∪［0.1，0.5］，其中符號∪表示兩個區間的并集，旁瓣電平為ξ＝-30dB，權值適用時間為60個脈沖重復周期，干擾區域為ΔuJk，uJk0］，干擾區域的增益不能大于ζ＝-60dB.

3.1 方向圖對比

在信噪比為10dB、快怕數為100的條件下將所提方法與另外三種算法形成的方向圖進行比較，結果如圖2所示.圖2中旁瓣區域的豎實線表示初始脈沖時刻干擾的歸一化空間頻率，豎虛線表示第60個脈沖時刻干擾的歸一化空間頻率.從圖2可以看出：當主瓣存在0.03（相當于3.4°）的指向誤差時，Capon算法和CMT算法都出現了嚴重的目標信號相消現象；ICMR算法雖在一定程度上緩解了信號相消問題，但對較大指向誤差的穩健性較弱，主瓣響應仍然會產生畸變.在干擾抑制方面，Capon算法和ICMR算法只能在干擾的初始位置處形成尖銳的零陷，CMT算法對此零陷有所展寬，但展寬范圍只在干擾初始位置的周圍，并不能包含干擾實際的變化范圍.所提方法不但能對主瓣進行保形，還能保證干擾始終處于零陷范圍內.這正是利用了干擾歸一化空間頻率的變化性質給出對應的零陷范圍，從而有效應對干擾方向的快速變化.

圖2 方向圖對比

3.2 輸出信干噪比與輸入信噪比的關系

在權值不同應用時刻，觀察各算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.仿真結果是在快怕數為100的條件下進行100次蒙特卡洛實驗平均所得.從圖3可以看出：初始脈沖時刻干擾的歸一化空間頻率未變化時，四種算法在低信噪比情況下的性能相當；但隨著輸入信噪比的提高，Capon算法和CMT算法的性能逐漸下降，ICMR算法和所提方法仍能保持較好的性能.由于ICMR算法對較大指向誤差的穩健性弱于所提方法，故隨著信噪比的增加其輸出信干噪比要低于所提方法.圖4為權值應用的第60個脈沖時刻各算法的性能比較圖，可以看出Capon算法、CMT算法、及ICMR算法的輸出信干噪比遠低于所提方法.因為此時干擾的歸一化空間頻率發生變化，權值訓練數據所得方向圖零點與權值應用時刻的干擾位置產生偏差，干擾已移出方向圖的零陷.雖然CMT算法對零陷有所展寬，但展寬范圍已不足以應對干擾的變化.

圖3 初始脈沖時刻

圖4 第60個脈沖時刻

3.3 輸出信干噪比隨時間的性能

圖5給出了信噪比為10dB、快怕數為100的條件下各算法輸出信干噪比隨時間的變化，仿真結果由100次蒙特卡洛實驗平均所得.從圖中可以看出，Capon算法、CMT算法和ICMR算法對主瓣指向誤差的穩健性較差，故在初始脈沖時刻的輸出信干噪比就低于所提方法.由于干擾的歸一化空間頻率隨時間變化，權值訓練數據形成的零點位置和干擾的實際位置發生偏差，Capon算法和ICMR算法的性能隨著時間的推移急劇下降.CMT算法的輸出信干噪比雖能在較短時間內保持平穩，但相比所提方法的權值適用時間較短.

圖5 輸出信干噪比隨時間的變化

4 結 論

針對高速平臺雷達陣列進行自適應波束形成時性能下降的問題，該文給出了一種基于干擾位置預測的穩健波束形成方法.該方法利用干擾歸一化空間頻率在短時間內隨著近似線性變化的特性，預測出權值應用時期的干擾區域，再通過矩陣加權的方式對干擾區域進行低增益約束以抑制干擾，同時約束主瓣區域響應一定以防止目標信號輸出功率的損失.仿真實驗結果表明，所提方法可以有效提高輸出信干噪比，延長權值的使用時間，相比已有波束形成方法更能有效地抑制方向快速變化的干擾信號，對較大指向誤差更具穩健性.所提方法的權值計算采用了凸規劃算法，該算法能夠獲得優化問題的全局最優解，只是在一些雷達系統中該算法應用范圍遭到限制，因此下一步一個有意義的研究問題是如何采用更高效的算法解決該文的優化問題.

［1］王永良，丁前軍，李榮峰.自適應陣列處理［M］.北京：清華大學出版社，2009.

［2］CAPON J.High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis［J］.Proceeding of the IEEE，1969，57（8）：1408-1418.

［3］RIBA J，GOLDBERG J，V｀AZQUEZ G.Robust beamforming for interference rejection in mobile communications［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1997，45（1）：271-275.

［4］RUBSAMEN M，PESAVENTO M.Maximally robust capon beamformer［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2013，61（8）：2030-2041.

［5］許京偉，廖桂生，朱圣棋.基于幅相線性約束的自適應和差波束形成方法研究［J］.電子學報，2013，41（9）：1724-1729.XU Jingwei，LIAO Guisheng，ZHU Shengqi.Approach of adaptive sum and difference beamforming based on magnitude and phase linear constraint［J］.Acta Electronica Sinica，2013，41（9）：1724-1729.（in Chinese）

［6］LI J，WEI G，DING Y.Adaptive beamforming based on covariance Matrix reconstruction by exploiting interferences’cyclostationarity［J］.Signal Processing，2013，93（9）：2543-2547.

［7］王 勇，劉宏偉，糾 博，等.特定角域低增益的穩健方向圖綜合算法［J］.電波科學學報，2012，27（4）：812-818.WANG Yong，LIU Hongwei，JIU Bo，et al.Robust beampattern synthesis algorithm with low response in a specified region［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（4）：812-818.（in Chinese）

［8］李洪濤，賀亞鵬，朱曉華，等.基于譜分析的穩健自適應波束形成算法［J］.電波科學學報，2012，27（1）：147-151.LI Hongtao，HE Yapeng，ZHU Xiaohua，et al.Spectral analysis based robust adaptive beamforming algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，27（1）：147-151.（in Chinese）

［9］GU Y，LESHEM A.Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix reconstruction and steering vector estimation［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60（7）：3881-3885.

［10］LU Z，LI Y，GAO，et al.Interference covariance Matrix reconstruction via steering vectors estimation for robust adaptive beamforming［J］.Electronics Letters，2013，49（22）：1373-1374.

［11］LI J，XIE Y，STOICA P，et al.Beampattern synthesis via a matrix approach for signal power estimation［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（12）：5643-5657.

［12］羅 濤，劉宏偉，糾 博，等.基于矩陣加權的穩健波束形成方法［J］.電波科學學報，2014，29（1）：135-142.LUO Tao，LIU Hongwei，JIU Bo，et al.Robust beamforming via Matrix weighted method［J］.Chinese Journal of Radio Science，2014，29（1）：135-142.（in Chinese）

［13］GUERCI J R.Theory and application of covariance matrix tapers for robust adaptive beamforming［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1999，47（4）：977-985.

［14］ERSHMAN A B，NICKEL U，BOHME J F.Adaptive beamforming algorithms with robustness against jammer motion［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1997，45（7）：1878-1885.

［15］ZATMAN M.Comments on“theory and application of covariance matrix tapers for robust adaptive beamforming”［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2000，48（6）：1796-1800.

［16］GRANT M，BOYD S.CVX：Matlab software for disciplined convex programming，version 2.0beta［EB／OL］.［2014-07-01］http：／／cvxr.com／cvx.September，2013.