復雜腔體電磁混沌特性統計分析

莊信武 余志勇 劉光斌 滕向如 陳 亮

（第二炮兵工程大學，陜西 西安710025）

引 言

電大尺寸特征結構的復雜腔體內的場，往往具有較強的邊界敏感性或不確定性，很難對下一狀態進行有效的預測，這反映了電大尺寸結構的不可積性質.通常將這種不可積稱為電磁混沌特性［1］.目前主要從三種方法來描述復雜腔體內電磁波的混沌特性：1）利用粒子射線軌跡分布圖來描述場的混沌特性［2-3］.該方法將電磁場視為由無限多個、各向同性、互相獨立的粒子組成，粒子的運動軌跡特征表征了場的統計特性，若射線軌跡越具有遍歷性，則腔體就越混沌.但該方法僅考慮了腔體的內部幾何結構對粒子射線軌跡遍歷性的影響，而忽略了腔體材料屬性的影響；2）利用歸一化最近相鄰本征模間隔分布來描述場的混沌特性［4］.若復雜腔體內場的歸一化最近相臨本征模間隔趨近于指數分布，則為可積的；若復雜腔體內場的歸一化本征模間隔接近于Wigner分布，則為混沌的.而現實復雜腔體的歸一化本征模間隔往往介于混沌與可積系統之間，此時場的混沌特性如何評估有待于解決；3）利用混響室內場的統計理論來描述場的混沌特性［5-6］.當腔體激勵模達到過模狀態時，即混響室內場滿足各向同性、均勻分布、隨機極化的要求，混響室內場可視為混沌狀態.

綜上，目前對電大尺寸腔體內場的混沌性評估沒有給出明確指標，更多是從場的幅值、幅值均方等方面展開統計特性研究［7-9］.因此，為了更好地評估腔體的混沌特性，并擴展其運用，文章將基于量子力學中的Schr?dinger方程與電磁學的Helmholtz方程的相似性原理［10］，采用量子混沌理論，定量地研究腔體內場的混沌特性.

1 理論分析

量子混沌理論是模式理論研究的重要內容，是電磁學關于場混沌特性研究的重要工具，主要包括模式密度、本征頻率、模式間隔分布等.

1.1 模式密度分析

模式密度分布規律與腔體的形狀、本征頻率的分布有關.若本征頻率越低，則模式密度就越依賴于腔體的幾何結構特征，特別當本征頻率低于最低可用頻率時，這種依賴性就更明顯.Weyl為此總結了無損腔體模式密度的分布規律：若腔體內部分段邊界是光滑的，則任意無損腔體的平均光滑累積模式密度為［11］

式中：f為本征頻率；Vλ＝V／λ3為電尺寸（λ表示本征頻率處的信號波長，V為腔體體積），通常將符合Vλ?1條件的結構稱為電大尺寸結構；c為光在腔體媒質中的傳播速度；κ為幾何因子，

式中：Lx、Ly、Lz分別為矩形腔體的長、寬、高；C為常數（下同），此時二面角φ（r）＝π／2

2）球形腔體模數

式中：R為球形腔體半徑，此時平均曲率ρ（r）＝R，二面角φ（r）＝π.3）圓柱腔體模數

式中：r0為圓柱腔體半徑；h為高.

通過對比分析上述各形狀腔體的模式模型得到：當本征頻率足夠高時，即Vλ?1時，等式（1）右邊的第二部分與第一部分的比將趨于零，即

該結果表明：電大尺寸特征下，腔體幾何結構對模數的影響可忽略不計.而復雜腔體內本征頻率的統計分布特征卻與腔體的幾何結構相關.為此，在上述模式模型的基礎上，基于本征模間隔，進一步分析腔體的混沌特性.

1.2 本征模間隔分析

若忽略本征頻率的簡并作用，則在本征頻率fi處累積模數N（fi）可表示為［12］

式中，符號＃表示對所有符合集合條件枚舉的數量.現實中累積模數往往是不平滑的，通常將累積模數N（f）分解為平滑部分NW（fi）和浮動部分Nf（fi）兩部分，即

針對浮動部分對系統的影響，可由數值方差Δ2（L）的形式進行分析［13］.若系統為可積系統，則包含L個本征模的數值方差為Δ2（L）＝L；若系統為混沌，則包含L個本征模的數值方差為

方差結果如圖1所示.從圖中可得到：在給定帶寬范圍內，可積系統模數的方差與該帶寬內模數成正比，斜率k＝1.模數提高，方差增大，系統模數的不確定因素增加.然而混沌系統剛好相反，在高頻條件下，斜率趨于0，即

在這種條件下，伴隨著模數的增加，混沌系統模數的方差趨于恒定值，這從另一方面反映了混沌系統模數的不確定性趨于穩定值.

綜合分析，采用數值方差的方法可以較好區分可積系統與混沌系統.然而，因為數值方差方法很難描述小概率抖動事件，故不能作為研究混沌場概率的預測工具.

圖1 本征模數分布

隨機矩陣理論作為一種漸進理論，只要獲取足夠多的狀態，即可精確地預測腔體本征模的統計屬性.為此，采用基于隨機矩陣理論，以最近相鄰本征模間隔sn的統計分布來表征腔體系統的混沌特性，可得到較為精確的預測結果［14］，即

當n足夠大時，可由隨機矩陣系綜來描述概率分布函數［15-16］為

式中，s為歸一化最近相臨本征模間隔sn的隨機變量，其中α＝Γv＋1［1＋1／（v＋1）］.

通過式（12）可得到，僅利用單參量v可得到系統本征模間隔的分布特征，如：

1）當v＝0時，系統普適性可由泊松系綜來描述，對應的本征模間隔分布可簡化為

該分布一般用來描述可積系統，該分布又稱為泊松分布.

2）當v＝1時，系統普適性可由高斯正交系綜來描述，對應的本征模間隔分布可簡化為

該分布一般用來描述不可積系統，對應的分布又稱為Wigner分布.

兩者的歸一化最近相鄰本征模數分布規律如圖1所示.由圖中可以得到：可積系統本征模間隔歸一化分布為指數分布，“0”間隔的本征值分布概率最大，這反映了可積系統的大部分本征模“簇擁”一處，近似相等，這就說明可積系統內場的自由度很低；而混沌系統的本征值間隔大部分分布在“1”附近，在兩倍間隔之后迅速下降，這反映了混沌系統的大部分本征模在頻率軸上是以均勻間隔展開的，從而說明了混沌系統內場具有較高的自由度.

現實中腔體往往介于理想規則腔體和理想混沌之間，即v∈（0，1），隨其值增加，歸一化間隔分布如圖2所示.從圖中可以看出，分布的波峰隨著參量v的變化而變化.當參量v越靠近0時，對應的概率分布曲線就越接近指數分布；隨著參量v增加，波峰逐漸向右移動，其吻合度越接近于Wigner分布；當參量v越靠近1時，對應的概率分布曲線就越接近于Wigner分布.因此，若將參量v作為腔體的混沌性考核指標，通過分析復雜腔體內的混沌性，可總結出一般的規律，這為混沌腔體的設計提供了一定的理論指導.將稱v參量為混沌度.

圖2 歸一化間隔模數分布

2 實驗結果分析

為了研究腔體的混沌特性，將按照單規則腔體到多布爾組合體的思路，結合數值試驗技術和最小二乘曲線擬合方法，對腔體的混沌特性展開試驗研究.

2.1 試驗方案設計

考慮工程的可實現性問題，以某鋁制矩形混響腔體（7.3m×4.77m×3.25m）為主要研究對象（腔體側壁電導率為3.8e7s／m，相對介電常數為1，相對磁導率為1.000 021，腔內媒質為空氣），將不同尺寸的球形腔體嵌于矩形腔體的頂角處，方案如下：

1）設定球形半徑的步進為0.1m，對不同半徑的球形腔體本征模分布特征進行分析，得到不同半徑球形腔體的混沌度；

圖3 Sinna（左）、Stadium（右）腔體

2）將步驟1）中不同半徑的球形腔體嵌于矩形腔體的各個頂點處，并進行布爾減運算，得到Sinna腔體（如圖3（a））.依據球心放置位置的不同，劃分為4種不同的組合：①球形腔體的球心在矩形腔體的H頂角處為Sinna-1腔體；②球心在A、H頂點的Sinna-2腔體；③球心在A、D、F、G頂點的Sinna-4腔體；④球心在八個頂點的Sinna-8腔體；

3）依次類推，將球形腔體與矩形腔體進行布爾和運算，得到的腔體結構如圖3（b），該類腔體稱為Stadium腔體，按照步驟2）的命名方法，對應4類腔體：Stadium-1、Stadium-2、Stadium-3、Stadium-4；

4）根據矩形腔體及球形腔體結構的相對位置不同，設定組合腔體Sinna-1、Sinna-2、Stadium-1、Stadium-2中的球半徑為0.1～3.0m，組合Sinna-4、Sinna-8、Stadium-4、Stadium-8中的球半徑為0.1～1.6m.

利用HFSS軟件中的本征模求解器，對上述各狀態下腔體的前201個本征頻率進行求解，將所得的本征頻率帶入上述對應的本征模數公式（1）得到各個本征頻率狀態下腔體的本征模數，并依據式（11）對201個本征模數進行歸一化模數間隔處理得到（s1，s2，…，s200），利用Matlab軟件對歸一化本征模數間隔進行分析，并采用最小二乘法對式（12）進行非線性曲線擬合，得到各個狀態下混沌特性.

2.2 混沌特性分析

圖4 矩形腔體歸一化本征模累積概率分布

通過對矩形腔體、球形腔體的歸一化本征模間隔進行試驗分析，結果（如圖4）表明這兩類腔體的混沌特性與尺寸沒有太大的直接關系.對累積概率密度進行最小二乘曲線擬合后得到矩形腔體的混沌度v≈0.15，這說明了該類腔體屬于低混沌度腔體，本征模數的歸一化間隔分布趨于指數分布（泊松分布），因此可利用泊松正交系綜來描述這類系統的普適性.同理，對不同半徑的球體進行混沌度分析，得到混沌度隨半徑變化的分布曲線如圖5.通過分析得到：球形半徑在1.1≤r≤3.0m范圍內，混沌度分布在0.0～0.1、0.1～0.2、0.2～0.3之間的概率分別為35%、45%、20%，由此說明球體混沌度大部分落在0.1～0.2之間，基本不隨球半徑的變化而變化，顯然這類球體亦屬于低混沌度的可積系統.然而當多個矩形、球形等可積系統組合一起，系統混沌特性將不僅僅是它們之間的線性疊加，而變得更加復雜，通過仿真試驗分析得到Sinna腔體、Stadium腔體的混沌度隨著球半徑變化的分布曲線如圖6.通過對比分析得到：Sinna-1、Sinna-2腔體的球半徑在1.4m以上時，混沌度高于0.9的均占該段總數的13%.在同等條件下，Stadium-1腔體幾乎不可能實現，而僅以少量出現在0.7～0.8之間，總體上Sinna腔體比Stadium腔體更容易達到高混沌狀態.

圖5 球形腔體在不同半徑下的混沌特性

圖6 Sinna／Stadium混沌度隨著球半徑變化的分布曲線

通過對比圖5、6中的混沌度曲線，總結如下：

1）球形腔體的模數混沌度以v＝0領域內浮動，且大部分集中在［-2，2］，其均值為v＝-0.04，屬于低混沌腔體，說明了球形腔體的歸一化本征模數間隔分布基本不受球形半徑影響，可用泊松系綜描述系統的特性；

2）總體上，Sinna腔體較之Stadium腔體有較強的混沌特性，其中表現最為明顯的是8類腔體，其次是1類和2類，最后是4類腔體；

3）在總結步驟2）的基礎上，可進一步得到，內凹腔體比外凸腔體，具有更明顯的混沌特性.

3 結 論

基于量子理論對矩形、球形等常見規則腔體的混沌特性進行分析，結果表明這些規則腔體的混沌特性不受尺寸的影響，混沌度基本較低，從而說明它們的可積性，因此可通過泊松系綜矩陣來分析本征模的分布規律.在此基礎上，對常規腔體及其布爾組合進行仿真分析，結果表明相同的球形半徑下Sinna腔體較Stadium腔體具有較強的混沌特性，從另一方面說明了具有內凹結構特征的腔體比外凸的具有更高的混沌特性，這為以后復雜腔體的混沌特性研究奠定了理論基礎，同時也為混響室設計、試驗提供了一定的理論指導.

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