帶電粒子的Mie散射研究

張自嘉 潘 琦 陳海秀

（1.南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院，江蘇 南京210044；2.南京信息工程大學(xué)氣象災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)警與評(píng)估協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京210044）

引 言

研究帶電粒子對(duì)電磁波的散射對(duì)云層探測(cè)、雷電預(yù)警具有重要意義，帶電粒子對(duì)電磁波的散射能量分布，對(duì)分析雷暴云電磁散射信號(hào)、以及分析雷暴云的發(fā)展具有參考價(jià)值.Mie早在1908年就對(duì)中性粒子對(duì)電磁波的散射給出了描述［1-2］，帶電粒子對(duì)電磁波的散射，在1977年，由Bohren和Hunt［3］建立了相應(yīng)的模型并給出了散射系數(shù)公式，實(shí)際上是對(duì)Mie散射的修正，但對(duì)具體的帶電粒子分析較少，進(jìn)一步的應(yīng)用研究不多.近年來，Klacka和Kocifaj對(duì)帶電粒子對(duì)電磁波的散射進(jìn)行了深入研究［4-7］，計(jì)算結(jié)果［4-7］和實(shí)驗(yàn)［8］均表明了粒子表面電荷會(huì)對(duì)電磁波散射產(chǎn)生影響.Rosenkrantz和Arnonl研究了納米帶電粒子的電磁波散射，表明粒子帶電會(huì)增強(qiáng)對(duì)電磁波的吸收［9］.Li等還研究了不均勻帶電粒子的電磁波散射，表明不均勻帶電會(huì)引起電磁波散射的變化［10-17］.

已有文獻(xiàn)討論的是散射現(xiàn)象與微觀量的關(guān)系，散射現(xiàn)象與宏觀量的關(guān)系研究較少［2-16］，對(duì)散射波的整體能量分布較少研究，研究散射波的整體能量分布對(duì)雷暴云遙感探測(cè)具有重要意義.論文分析了帶電球形粒子的散射與宏觀量面電導(dǎo)率和電磁阻抗系數(shù)的關(guān)系，特別是對(duì)帶電水滴的電磁波散射進(jìn)行了分析.對(duì)電磁波散射系數(shù)進(jìn)行分析和簡(jiǎn)化，給出了散射系數(shù)與面電導(dǎo)率和電磁阻抗系數(shù)的關(guān)系.表面凈電荷形成一種額外的面電導(dǎo)率，通過電導(dǎo)率的變化與外界電場(chǎng)發(fā)生相互作用，這種額外的電導(dǎo)率不包括中性粒子中的自由電荷所產(chǎn)生的電導(dǎo)率.

計(jì)算了不同面電導(dǎo)率的粒子與中性粒子對(duì)電磁波散射系數(shù)和散射能量分布，計(jì)算表明面電荷使面電導(dǎo)率達(dá)到微西門子量級(jí)時(shí)，就會(huì)有明顯的影響，隨著面電導(dǎo)率的增加，散射系數(shù)發(fā)生較大變化，但當(dāng)電導(dǎo)率達(dá)到一定值時(shí)，散射系數(shù)趨于恒定，與粒子的尺度有關(guān).對(duì)尺度較大的粒子，帶電后的散射系數(shù)減小，但沿不同方向的散射能量會(huì)重新分配，一些方向散射增強(qiáng)，另一些方向散射減小，尺度較小的粒子帶電后，散射系數(shù)增大，但能量沿不同方向的重新分配不明顯.

1 球形帶電粒子的Mie散射系數(shù)

如圖1所示，考慮一個(gè)均勻、各向同性且無磁性的球形粒子（介質(zhì)1），處于大氣或空氣（近似為真空）環(huán)境中（介質(zhì)2），球形粒子半徑為R，帶有凈電荷Q，其相對(duì)介電系數(shù)為ε2＝m2，m為復(fù)折射率，空氣的相對(duì)介電系數(shù)為1，真空的介電系數(shù)為ε0，環(huán)境和粒子的磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2，并有μ1＝μ2＝μ0.假設(shè)所帶凈電荷可以在球形粒子表面上自由運(yùn)動(dòng)，因此在沒有外場(chǎng)用時(shí)，會(huì)按照靜電學(xué)的規(guī)律，均勻分布在球體的表面，在球體內(nèi)部沒有凈電荷分布，設(shè)電荷面密度為η.取z軸豎直向上，電磁波的入射方向?yàn)閗，取xyz坐標(biāo)系，使k位于xz平面內(nèi)沿z軸方向.入射電磁波E0沿x軸方向，r為散射波方向.

圖1 粒子的坐標(biāo)系選取及入射電磁波

根據(jù)文獻(xiàn)［1-5］，考慮到

可以將an和bn改為：

式中：λ為入射電磁波在真空中的波長(zhǎng)；ω為角頻率；c為真空中的光速；σs為球形帶電粒子的表面電導(dǎo)率；

ψn（ρ）＝ρjn（ρ），ξn（ρ）＝ρjn（ρ），jn（ρ）為第1類球貝塞爾函數(shù)，hn（ρ）為第1類球漢克爾函數(shù)，（ρ）＝dψn（ρ）／dρ，ξ′n（ρ）＝dξn（ρ）／dρ.取μ1＝μ0，x＝kR＝2πR／λ，在an和bn的表達(dá)式中等式，在一般的x范圍內(nèi)，如0.1～100，其絕對(duì)值在100以下，因此Z0σs如果也和它們?cè)谕涣考?jí)，就會(huì)產(chǎn)生明顯的影響，而Z0＝376.73Ω，為電磁阻抗系數(shù)，因此面電導(dǎo)率σs在微西門子量級(jí)時(shí)就會(huì)產(chǎn)生影響.x越大，這一比值越小，Z0σs的影響越大.

用Qsca、Qext和Qabs分別表示散射系數(shù)、吸收系數(shù)和消光系數(shù)，則有［1-2］：

2 面電導(dǎo)率分析

文獻(xiàn)［5］對(duì)面電導(dǎo)率進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析，這里從另外一個(gè)角度對(duì)面電導(dǎo)率進(jìn)行分析.電導(dǎo)率與可移動(dòng)電荷的密度有關(guān)，即電子的密度有關(guān)，當(dāng)粒子帶上電荷后會(huì)產(chǎn)生額外的面電導(dǎo)率，一般意義上的電導(dǎo)率與運(yùn)動(dòng)電荷密度有關(guān)，面電導(dǎo)率與表面上可運(yùn)動(dòng)的面電荷密度有關(guān)，但在式（1）中，面電導(dǎo)率只與凈電荷引起的電導(dǎo)率有關(guān)，而與不帶電時(shí)的電荷密度無關(guān).

對(duì)兩介質(zhì)的分界面，電荷守恒定律得到的電流邊值關(guān)系為

式中：n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向矢量；j1和j2分別為介質(zhì)1和2中的電流密度；K為面電流密度；η為表面電荷密度.

設(shè)球形粒子帶電量為q，電勢(shì)為u，則q＝4πε0uR，于是η＝q／4πR2＝ε0u／R.實(shí)際上電荷是分布在表面的一個(gè)薄層內(nèi)，如圖2、3所示，粒子上的電荷由于受到約束聚集于粒子的表面，表面電荷處于自身所攜帶電荷的電場(chǎng)中，可以計(jì)算出這一電場(chǎng)的大小為

圖2 帶電球形粒子的表面電荷

圖3 表面電荷之間的相互作用

在沒有入射電磁波的情況下，表面電荷受到徑向電場(chǎng)E0的作用，在表面約束的共同作用下處于平衡狀態(tài)，對(duì)半徑R較小的粒子，E0有較大的值，如R＝10μm，u＝10V，E0＝5×106V／m，只有很強(qiáng)的電磁波才能達(dá)到這樣量級(jí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，因此強(qiáng)度較小的入射波不會(huì)引起電子的徑向運(yùn)動(dòng)，電荷仍在粒子的表面運(yùn)動(dòng)，不會(huì)進(jìn)入粒子的內(nèi)部.此外電磁波入射到介質(zhì)表面特別是導(dǎo)體表面的穿透深度為z0＝對(duì)可見光入射到通常的良導(dǎo)體表面，這一值約為nm量級(jí).

設(shè)薄層的厚度為d，則薄層內(nèi)電荷的體密度為ρ＝η／d＝ε0u／Rd，若所帶電荷為電子，電子的電量為e0，則粒子表面電子的數(shù)密度為N＝η／de0＝ε0u／Rde0，可見d越小，數(shù)密度越大.而面電導(dǎo)率與數(shù)密度N成正比，N越大面導(dǎo)電率就越大.

對(duì)電磁波，時(shí)間因子寫為e-iωt，則，其中略去因子e-iωt，在研究粒子對(duì)電磁波散射時(shí)，沒有電流從兩介質(zhì)交界面上流過，也沒有內(nèi)部電荷向交界面上聚集，這與中性粒子類似，中性粒子對(duì)電磁波的散射，也不涉及電荷向交界面的聚集，則n·（j2-j1）＝0，于是

面電流密度與自由面電荷密度有關(guān)，面電荷密度是面電流的源，這里的面電荷密度只與所攜帶的凈電荷有關(guān)，不涉及中性狀態(tài)時(shí)的自由電荷密度.面電荷受到外界電場(chǎng)的作用引起電流，面電荷的存在實(shí)際上是改變了原來的面電導(dǎo)率，根據(jù)歐姆定律K＝σsE，對(duì)中性導(dǎo)體，電導(dǎo)率與電子密度成正比，結(jié)合式（12），K與η有關(guān)，則面電導(dǎo)率σs是由所攜帶面電荷引起的，若沒有面電荷，則不會(huì)存在面電流K，σs不包括中性粒子中的電子密度.

3 球形帶電粒子的Mie散射系數(shù)計(jì)算

Qsca、Qext和Qabs的計(jì)算，需要計(jì)算an和bn，已有不少文獻(xiàn)分析了an和bn的計(jì)算方法［18-25］，實(shí)際上不少算法形成于20世紀(jì)六七十年代.由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)性能不強(qiáng)，容易溢出，但隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，在非極端情況下，對(duì)通常的粒子如云霧、雨滴等，x和m不是很大時(shí)，可以較容易計(jì)算，不會(huì)出現(xiàn)溢出，當(dāng)x較大時(shí)散射系數(shù)趨于恒定.

圖4給出了金屬球形銅粒子帶電前后散射系數(shù)的變化，其中取銅的折射率m＝0.62＋2.57i.由于銅本身的良導(dǎo)電性，可以看出帶電后散射系數(shù)有變化，但變化不很大，圖中σs的單位均為西門子S.

圖5給出了球形水滴在不同面電導(dǎo)率時(shí)Qsca、Qext和Qabs與x的關(guān)系曲線.

圖4 帶電球形金屬（Cu）粒子在不同面電導(dǎo)率時(shí)Qsca、Qext和Qabs與x的關(guān)系

從圖5可以看出，對(duì)球形水滴粒子，隨著σs的增加，Qsca和Qext整體在減少，Qsca隨著x變化時(shí)的波動(dòng)變小，其散射特點(diǎn)趨向于同金屬粒子的散射特點(diǎn).隨著參數(shù)x的增大，伴隨著明顯的振蕩現(xiàn)象，x越小這種振蕩越明顯.這種振蕩是由電多極子和磁多極子耦合產(chǎn)生的［26］.x不同時(shí)電多極子和磁多極子具有不同的振蕩形式和強(qiáng)度，波長(zhǎng)一定而粒子直徑增大時(shí)，電多極子和磁多極子的振蕩加強(qiáng)，兩者的疊加便出現(xiàn)了強(qiáng)烈振蕩現(xiàn)象.而當(dāng)面電導(dǎo)率增加時(shí)，趨近于具有金屬的特性，電多極子與磁多極子的耦合減弱，振蕩幅度減小并消失.

圖5 帶電球形水滴在不同面電導(dǎo)率時(shí)，Qsca、Qext和Qabs與x的關(guān)系

圖6給出了x值一定時(shí)，Qsca、Qext和Qabs隨電導(dǎo)率的變化，可見x一定且較小時(shí)，隨著σs增加，Qsca先增加后減小.因?yàn)椴粠щ姇r(shí)，中性粒子的散射系數(shù)較小，因此當(dāng)σs較小時(shí)，Qsca有一個(gè)增加過程，但Qsca的值較小.當(dāng)x較大時(shí)，中性粒子的散射較強(qiáng)，隨著σs增加，Qsca反而會(huì)減小.

圖6 帶電球形水滴Qsca、Qext和Qabs與σs關(guān)系

4 球形帶電粒子的散射光強(qiáng)與散射角的關(guān)系

在對(duì)散射進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，需要掌握沿某一方向的散射強(qiáng)度，散射波的振幅為［1-3］

式中：

計(jì)算時(shí)需要根據(jù)對(duì)應(yīng)的遞推關(guān)系，由于光強(qiáng)與振幅的平方成正比，因此需要計(jì)算｜S1（θ）｜2和｜S2（θ）｜2，由于變化幅度比較大，因此給出的結(jié)果為lg（｜S1（θ）｜2）～θ和lg（｜S2（θ）｜2）～θ，取不同的σs進(jìn)行計(jì)算.圖7給出x＝10，σs＝0，0.000 5，0.005，0.05時(shí)，lg（｜S1（θ）｜2）～θ和lg（｜S2（θ）｜2）～θ，左邊為｜S1｜2，右邊為｜S2｜2.

圖7 帶電球形水滴x＝10，σs＝0，0.000 5，0.005，0.05S時(shí)｜S1｜2和｜S2｜2與角度的關(guān)系

圖8給出了x＝30，σs＝0，0.05時(shí)，lg（｜S1（θ）｜2）～θ和lg（｜S2（θ）｜2）～θ，可以看出，隨著σs增加，｜S1｜2和｜S2｜2沿不同角度的值發(fā)生了變化，邊瓣減弱.圖8（a）、8（b）、8（c）、8（d）中左邊為｜S1｜2，右邊為｜S2｜2.散射波的強(qiáng)度分布呈現(xiàn)多瓣結(jié)構(gòu)，是由于散射波的干涉形成的，x較小即波長(zhǎng)與粒子直徑接近時(shí)，前向散射強(qiáng)，與通常的散射規(guī)律相同.電導(dǎo)率增加時(shí)散射的多瓣結(jié)構(gòu)減弱，趨于更均勻，但前向散射仍較強(qiáng).

圖8 帶電球形水滴x＝30，σs＝0，0.05S時(shí)｜S1｜2和｜S2｜2與角度的關(guān)系

實(shí)際觀測(cè)時(shí)，需要觀測(cè)側(cè)向或后向散射，可以證明，對(duì)后向散射，有

圖9給出了x＝1和x＝10時(shí)，后向散射的｜S1｜2和｜S2｜2隨σs的變化曲線（｜S1｜2＝｜S2｜2）.

圖9 帶電球形水滴的后向散射｜S1｜2＝｜S2｜2與σs的關(guān)系

從圖9可以看出，后向散射系數(shù)會(huì)隨σs的增加而增加，在x較大時(shí)，后向散射系數(shù)與σs不是單調(diào)關(guān)系.隨著σs的變化，散射的能量沿不同方向重新分配，有些方向增加，而另外的方向則會(huì)減小.

5 總結(jié)與討論

研究了帶電粒子對(duì)電磁波的散射特點(diǎn)，給出了散射系數(shù)與電磁阻抗系數(shù)及表面電導(dǎo)率的關(guān)系，計(jì)算了不同面電導(dǎo)率的粒子與中性粒子對(duì)電磁波散射系數(shù)和散射能量分布的差別，計(jì)算表明：對(duì)金屬類粒子，帶電后的散射影響不大；但對(duì)帶電后導(dǎo)電的介質(zhì)類粒子如水粒子，面電荷使面電導(dǎo)率達(dá)到微西門子量級(jí)時(shí)，就會(huì)有明顯的影響.

隨著面電導(dǎo)率的增加，散射系數(shù)發(fā)生較大變化，但當(dāng)電導(dǎo)率達(dá)到一定值時(shí)，散射系數(shù)趨于恒定.相對(duì)中性粒子的散射，z較大的粒子，帶電后的散射整體會(huì)使散射系數(shù)減小，但沿不同方向的散射能量會(huì)重新分配，后向、側(cè)向和前向有不同的特點(diǎn)，與粒子的尺度x有關(guān)，有些隨著電導(dǎo)率的增加散射系數(shù)會(huì)增加，有些先減小然后增加，而尺度較小的粒子帶電后沿不同方向的散射能量變化不大.

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