GPS高程異常擬合粗差剔除以及精度評價方法研究

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GPS高程異常擬合粗差剔除以及精度評價方法研究

李浩，吳祖海

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

摘要:提出一種GPS高程擬合公共點粗差定位的新方法，即利用最小二乘法平差所得方差，采用假設檢驗法，完成GPS高程異常擬合模型參數計算過程中的粗差定位與剔除。對多種高程擬合模型的擬合精度進行評價，引入均方誤差、信噪比和互相關系數評價指標，提出一種多指標融合評價方法，實現對GPS高程異常擬合精度的評價。結合實例分析，證明所提方法的有效性。

關鍵詞：GPS高程異常；擬合模型；粗差定位；精度評價

GPS測量參照的坐標系是WGS-84地心坐標系，其測得高程是相對于WGS-84橢球的大地高，記為H。它是一個幾何量，沒有物理意義[1]。我國在實際工程中應用的坐標系統一般采用似大地水準面為基準，其高程稱為正常高h。這兩者存在高程異常ξ，可以用式ξ=H-h來表達這兩者之間的關系。由此式可以得出，若某點的高程異常值已知，那么可以將該點的GPS高程轉換成實際工程中所需要的正常高。目前計算高程異常的方法主要有重力測量法[2]、數值逼近法[3]、聯合平差法[4]和神經網絡法[5]等，在實際工程中運用最多的是數值逼近法，其中二次曲面擬合法[6]最普及。運用該法求解轉換系數時，若沒有考慮所給公共點自身的誤差，強制進行轉換，會產生錯誤的擬合結果。對于含有粗差的數據處理一般分為2種方法：將粗差歸入函數模型或將粗差歸入隨機模型[7]。選擇適當的權函數，消除或者削弱粗差對參數估計的影響，這一類方法的困難在于合理權函數的選擇，抗差的嚴密精度有待進一步研究。上述方法主要通過最小二乘計算得到的改正數V來判定粗差，但根據理論含有粗差的公共點改正數不一定會大，所以會造成粗差誤判的情形。本文提出一種新方法，利用最小二乘平差后的方差構建統計量，克服了常規粗差定位中使用改正數V容易掩蓋粗差的缺點，實現了GPS高程擬合參數計算過程中已知點的粗差定位和剔除。GPS高程擬合可以通過2方面來評定其精度。一方面是內符合精度，另一方面是外符合精度[8]。以上這2個指標雖然能得到正確的結論，但在具體選擇某一種高程擬合方法時，還必須考慮更多的評價指標，讓模型選擇更加可靠。為了使GPS高程擬合模型更具有說服力，本文將均方根誤差、信噪比、互相關系數[9]納入GPS高程擬合精度評價，并提出一種多指標融合評價方法。最后結合實例證明所提方法的有效性。

1粗差探測F檢驗法

1.1二次曲面擬合模型

二次曲面擬合法在GPS高程異常擬合中應用非常廣泛，其主要原理是建立GPS高程異常的數學模型，利用已知點(同時具有大地高H和正常高h)進行參數擬合，再利用擬合好的數學模型求解其他GPS點的水準高程。在平坦地區，GPS高程異常值的擬合采用二次曲面擬合模型效果較好。二次曲面擬合的數學模型[6]為

ξ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2

式中，x和y為GPS點的點位坐標。

上式模型可以簡化成矩陣形式：

設V為高程異常的改正數，ξ0為二等水準聯測已知點高程異常的理論值。則高程異常數學模型的誤差方程為

其中V=ξ-ξ0。

則擬合參數的估值為

式中：n為已知點的個數，t為必要觀測數。

1.2F檢驗法原理

下面以二次曲面擬合為例，說明擬合模型正確性的統計檢驗方法，流程如下。

(1)利用所有的已知點，構成誤差方程：

(3)原假設和備用假設為

統計量為

該統計量服從F分布[11]，即Fi～F1-α(r1,r2)，故采用F檢驗法。選取α，以自由度r1,r2查得F1-α(r1,r2)，得到區間[0,F1-α(r1,r2)]，若統計量不在此區間內，則拒絕H0，認為該點存在粗差。若數據含有多個粗差，這些粗差會相互影響，造成粗差誤判的情況。針對這種情況，可以采取每一輪只剔除粗差最明顯的那個點，然后開始下一輪的檢驗，直到所有粗差被剔除。

2GPS高程異常值擬合精度多指標融合評價方法

2.1傳統精度分析方法

2.1.1內符精度[8]

式中：n為參與計算的已知點數。

2.1.2外符精度[8]

外符合精度和內符合精度的原理是一樣的，只不過是用于計算異常值差值的已知數據不同，外符合精度通過計算檢測點的觀測高程異常值和用于擬合之外檢核點的高程異常值之間的差值獲得。GPS高程擬合的外符合精度M的計算公式如下所示：

式中：n為參與檢核的點數。

內符合精度以及外符合精度從某種意義上來講其實是一種相對意義上的絕對精度評定。

2.2多指標引入精度分析

2.2.1均方根誤差

均方根誤差[12]是指擬合后的高程異常值ξ1與二等水準聯測所得到的高程異常值ξ0的均方誤差，簡稱RMSE。

均方根誤差體現了擬合高程異常值與觀測高程異常值之間的差異，在實際應用中，均方誤差越小表示該模型擬合效果越好。

2.2.2信噪比

信噪比[12]是指原始觀測高程異常信號能量與噪聲能量的比值，簡稱SNR。

一般認為，信噪比越高，表示該模型擬合效果越好。

2.2.3互相關系數

互相關系數[13]指擬合后的高程異常值ξ1(i)與原始觀測高程異常值ξ0(i)的相似度，記為R。

R越接近1，表示該模型擬合效果越好。

2.3多指標融合評價方法

多指標融合評價法綜合考慮均方根誤差、信噪比以及互相關系數等度量指標，將所有指標歸化到[0,1]區間并求和，記為H，則：

H(M)=Pυ(M)+PSNR(M)+PR(M)

Pυ(M)，PSNR(M)和PR(M)分別表示均方根誤差、信噪比和互相關系數的歸一化值。在實際應用中，多指標融合評價值H越大，則認為擬合效果越好。

3實例分析

3.1工程簡介

某市區B級GPS網(平緩區域，區域面積約為10km2)共布設19個點,如圖 1所示。GPS觀測采用4臺中緯ZGP800接收機進行，采用靜態相對定位模式。出于研究目的，對各點均施測了二等水準，觀測儀器為天寶DINI03電子水準儀。GPS網總共19個點的平差結果以及二等水準觀測結果見表1。

圖1　某市區B級GPS控制網Fig.1 B-order GPS network

3.2利用F檢驗法剔除粗差

根據前面的理論知識進行粗差探測，選取α=0.25[10]，求得的統計量見表2。

從表2中可以得出，第1輪檢驗時取F0.75(13,12)=1.486 2，可以探測到14號點為粗差點；第2輪檢驗時取F0.75(12,11)=1.514 0，可以探測到18號點是粗差點；第3輪檢驗時取F0.75(12,11)=1.546 9，發現所有檢驗量都在接受域之內，表明不存在粗差。

3.3多指標融合評價高程異常擬合效果

實際工程涉及到很多小范圍的區域，而這些區域內存在河流、建筑物等等妨礙水準測量的障礙物，出于經濟、效率、工期等因素的考慮，運用GPS測水準高程將變得非常有利。在擬合高程模型時往往需要很多已知點，但很多工程不可能提供非常詳盡的數據，本文出于實際考慮，選取了某GPS試驗網的高程擬合數據，分別用多面函數法、移動法、二次曲面擬合法對該控制網高程異常進行擬合，擬合結果見表3。

表1　B級GPS和二等水準觀測結果

表2　粗差探測F檢驗法數據統計

表3　高程異常擬合結果

利用多指標融合評價方法，分別計算已知高程異常與擬合高程異常的均方誤差、信噪比、互相關系數。然后根據計算數據比較內符精度、外符精度以及多指標融合精度的大小，依據計算結果選擇最合適的擬合方法，計算結果見表4。

表4　不同指標下不同擬合方法擬合效果的評價結果

從表4可以得出，內符精度和外符精度都表明二次曲面擬合法擬合效果較好，而多指標融合評價法也得出了相同的結論，說明該評價方法是有效的。與此同時，多指標融合評價方法給出了具體的量化數值比較，更具有說服力和可靠性。

4結語

1)針對GPS高程異常二次曲面擬合法的粗差定位與剔除，提出了一種簡單、可操作的F檢驗法，其能夠準確定位原始數據中的粗差，能提高高程異常擬合精度；

2)研究了現有的GPS高程擬合精度評價方法，結合具體工程實例，將均方誤差、信噪比、互相關系數引入高程異常擬合精度評價，提出多指標融合評價方法，使被選擇的高程擬合方法更具有可靠性；

3)本文所提出的粗差探測方法是針對二次曲面擬合法，其他擬合方法的粗差剔除能否運用此檢驗法有待進一步的研究。同時，本文針對GPS高程擬合精度所提出的多指標融合評價方法不局限于此，在其他方面的運用更值得深入探討。

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Research on removed GPS elevation based on abnormal fitting

gross errors and accuracy evaluation methods

LI Hao, WU Zuhai

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract:A novel method was presented in this paper where variance after least square adjustment was used to locate the gross errors in the calculation of GPS elevation fitting model parameters using hypothesis testing. The accuracy of different elevation fitting models was evaluated by introducing evaluation index of mean square error, signal-to-noise ratio, mutual correlation coefficient, and a hybrid evaluation method was proposed to assess the accuracy of GPS elevation anomaly fitting. Combined with some practical projects, the results calculated in this literature prove that these methods are valid.

Key words:GPS height anomaly; fitting model; gross error locating; accuracy evaluation

中圖分類號：P228

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2015)01-0099-06

通訊作者：吳祖海(1956-)，男，湖南長沙人，副教授，從事精密工程測量教學與科研工作；E-mail：xic18@163.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(41171326)

*收稿日期：2014-07-08