基于時變Copula 函數的風電出力相關性分析

王小紅，周步祥，張 樂，傅 利，羅 歡，劉建華

（四川大學電氣信息學院，成都610065）

隨著風電滲透率的不斷提高，規模化、集中化的風電場并網運行給電力系統帶來新的挑戰。一定區域內多個風電場的風源和天氣條件具有一定的相關性，各風電場間的風電功率均不相互獨立，忽略風電場間的出力相關性，定會增加電力系統安全運行風險[1，2]。如何準確評估各風電場風電功率之間的相關關系具有重要的實際意義。

關于風電場風電出力相關性的分析和應用研究有很多，然而線性相關性不能準確地描述存在非線性相關的風電出力，基于線性相關性的分析研究往往會存在較大誤差，因此，需要尋找一種能夠準確刻畫非線性相關的模型和方法。而基于Copula 函數對風電功率以及風速的相關性進行研究，取得了一定研究成果。文獻[3-4]采用線性相關性的方法來研究；文獻[5]提出了基于Copula 函數理論方法建模，并對荷蘭15 個風電場風電功率進行相關性分析；文獻[6]基于Copula 函數理論構建風速相關性模型，繼而建立計算風電穿透功率極限的概率最優潮流模型；文獻[7]利用Copula 函數和一階連續狀態馬爾科夫鏈建立多元時序風速模型，有效模擬了多維風速相關性，并將其運用于含多風電場電網的可靠性評估中；文獻[8-9]基于混合Copula 函數模型對風電場風電功率相關性進行研究，結果表明基于混合Copula 函數的相關性分析更準確。這些研究方法采用的Copula 函數均屬于靜態Copula 函數，不能有效反映風電場之間存在的內在相關性變化。

本文提出了基于時變Copula 函數模型的風電場風電出力相關性研究，研究了3 種時變Copula函數和相應的時變方程，通過實例分析對比，證明了時變Copula 函數在相關性分析中的可行性和優越性，為風電場風電出力相關性分析提供了更有效的新方法。

1 風電出力相關性分析

地理位置相近的區域內，天氣具有一定的相似性，區域內的不同風電場出力之間也往往存在較強的相似性。由于風速具有隨機波動的特點，造成單個風電場的風電出力也具有較強的波動性，因此，具有強相似性的多個風電場風電功率接入系統，必然會加劇對系統的影響。隨著風電并網規模的逐漸增加，風電場出力之間的相關性分析越來越不容忽視。線性相關系數通常用來描述具有線性相關性的變量相關程度，對于具有非線性相關性的風電出力，采用秩相關系數和尾部相關系數來描述風電出力相關特性更合理。風電出力相關性分析的意義在于準確評估風電出力的水平，掌握風電出力變化規律，更好地適應實際電網運行。

假設某地區相鄰兩風電場風電出力10 min 間隔的采樣序列，如圖1 所示。

圖1 兩風電場風電出力采樣序列Fig.1 Sample sequences of two wind farms wind power output

由圖1 可以看出，風電場風電出力總是時刻變化的，各風電場風電出力之間的相關特性也不是一成不變，在0～100 min 時間段內，兩風電場風電出力存在較強的負相關，但100～300 min 時間段內，兩風電場風電出力呈較強的正相關，即在0～300 min 時間段內，必然存在一個相關性的變化。實際風電場風電出力相關性分析中，由于選取的時間窗口不同，各風電場風電出力之間相關性測度也有所不同，而傳統的秩相關系數和尾部相關系數是屬于變量間的靜態相關性測度，不能有效捕捉風電場風電出力之間的時變相關特性，甚至有可能得出錯誤的相關性結論。因此，在對風電場風電出力相關特性進行描述時，需要考慮風電場風電出力的時變相關特性。

2 Copula 函數理論與相關性測度

Sklar[10]提出利用Copula 函數來描述隨機變量之間的相關特性，Copula 函數是定義域為[0，1]的N 維分布函數，其實際意義是連接各隨機變量的邊緣分布和聯合分布，即建立邊緣分布和聯合分布的映射關系，通常將多個隨機變量的邊緣分布和相關結構分開研究。設多個隨機變量的邊緣分布函數為F1（u1）、F2（u2）、…、FN（uN），其聯合分布函數為F（u1，u2，…，uN），當F1（u1）、F2（u2）、…、FN（uN）連續時，存在唯一一個確定的Copula 函數C（·）滿足

以二元Copula 函數為例，設兩風電場風電出力序列X 和Y 的分布函數為F（x）和F（y）。若u=F（x），v = F（y），則一定存在一個Copula 函數C（u，v），使得其通過Kendall 秩相關系數τ 來定量描述風電出力序列X 和Y 之間的相關性[9]，即

Kendall 秩相關系數τ 可通過Copula 函數唯一確定，而Copula 函數種類卻有很多，不同的Copula 函數所求得的秩相關系數τ 不相同，因此，風電場風電出力相關性測度的準確性依賴于所選取的Copula 函數的擬合優度。

常見的Copula 函數包括Normal Copula 函數、Clayton Copula 函 數、Frank Copula 函 數、Gumbel Copula 函數等[11]，還有包括Rotated Gumbel Copula函數、Symmetrised Joe-Clayton Copula 函數等，Copula 衍生函數。這些Copula 函數均具有各自的特點，如Normal Copula 函數對尾部相關性不敏感；Clayton Copula 函數只對下尾相關性敏感，Gumbel Copula 函數僅對上尾相關性敏感等；但均屬于靜態Copula 函數。在具有時變性和非線性的風電場風電出力相關性分析中，不僅需要結合Copula 函數的擬合優度檢驗來配合選取合適的Copula 函數，還需要考慮相關性的時變特征。

3 時變Copula 函數模型

多風電場風電出力之間的動態相關結構可以用時變Copula 函數模型來描述，時變Copula 模型的函數形式和靜態Copula 模型的函數形式相同，變化的只有Copula 函數的參數。時變Copula 函數的參數是隨時間變化的，因此，參數的確定非常關鍵。由于Copula 函數的參數和相關系數之間存在一一映射關系，則通過構建相關系數的時變方程就可以準確地描述Copula 函數的時變特性。Patton[12-13]提出了幾種時變Copula 函數，包括時變normal Copula（N-C）函數、時變Rotated Gumbel Copula（RGC）函數、時變Symmetrized Joe-Clayton Copula（SJCC）函數。

1）時變N-C 函數

時變N-C 函數的分布函數表達式為

式中：s、r 為分布函數的相關變量；Φ-1（·）為標準正態分布的反函數；ρN，t為相關系數，其時變方程為

2）時變RG-C 函數

時變RG-C 函數由Gumbel Copula 函數變換而來的，其分布函數表達式為

其中，

式中：logistic 變換函數Λ′（x）=1+x2，引入后保證了相關系數值域ρRG，t∈（1，+∞）；ωRG、βRG、αRG分別為時變方程參數。時變RG-C 函數的性質是對上尾相關不敏感，即上尾相關系數為0；對下尾相關敏感，則下尾相關系數的計算公式為

3）時變SJC-C 函數

時變SJC-C 函數由Joe-Clayton Copula 函數變換而來的，其分布函數表達式為

其中：

式中：logistic 變換函數Λ″（x）=（1+e-x）-1，保證了上下尾相關系數的值域在（0，1）內和分別為上、下尾時變方程參數。時變SJC-C 函數的性質是對上、下尾相關均敏感，因此，時變SJC-C 函數的適用范圍更廣。

上述Copula 函數的參數估計方法可采用兩階段極大似然估計法IFM[14]（又稱邊緣推斷法），IFM估計的原理為：首先估計變量的各自邊緣分布參數，再將邊緣分布參數作為已知條件來估計Copula 函數模型中的相關參數。Copula 函數的擬合優度，通常采用赤池信息準則AIC（Akaike′s information criterion）來評價，AIC 值越小，代表擬合優度更高。

4 實例分析

本文選取某區域內兩實際相鄰風電場同一段時間內風電出力的4 500 個采樣序列進行研究，采樣時間間隔為10 min，兩風電場風電出力采樣序列如圖2 所示。由圖2 可以看出，部分時間段內，兩風電場風電出力存在不穩定的相關特性，如采樣序列第500 個采樣點附近。圖3 為兩風電場風電出力百分比頻數直方圖，從圖3 可以看出，兩風電場風電出力具有不對稱的尾部相關性，下尾相關性較強，即風電出力同時較小的概率較大，上尾相關相對較弱，即風電出力同時較大的概率較小。

圖2 兩實際風電場風電出力采樣序列Fig.2 Sample sequences of two practical wind farms wind power output

圖3 兩風電場風電功率頻數直方圖Fig.3 Frequent histogram of two wind farms power

為定量描述兩風電場風電出力的靜態相關性和時變相關性，利用Matlab 7.6 編程，采用具有代表性的靜態normal Copula 函數、Clayton Copula 函數、Gumbel Copula 函數、rotated Gumbel Copula 函數、symmetrised Joe-Clayton Copula 函數對兩風電出力序列進行對比分析。這5 種靜態Copula 函數的參數估計值和AIC 值如表1 所示。由于Frank Copula 函數程序實現時無法得出優化估計值，本文暫不考慮靜態Frank Copula 函數模擬。

由表1 可知，RG-C 的AIC 值為-1 796.7，擬合效果最優；其次是SJC-C 和Clayton-C，AIC 值分別為-1 691.9 和-1 645.6；擬合效果最差的是N-C 和G-C，AIC 值分別為-1 306.8 和-1 253.4。參數估計的結果和兩風電場風電出力相關性特征相對吻合，對如圖3 所示存在強下尾相關性的兩風電場風電出力相關性分析時，采用對下尾相關敏感的RG-C 函數和對上、下尾均敏感的SJC-C 來進行模擬，擬合優度更高，Gumbel Copula 僅對上尾相關敏感，與實際相關特性相反，因此擬合優度最差。

表1 靜態Copula 函數參數估計結果Tab.1 Parameters estimates result of static Copula function

為進一步描述兩風電場風電出力的時變相關特性，分別采用第3 節介紹的3 種時變Copula 函數模型進行模擬，時變參數估計結果如表2 所示。

表2 時變Copula 函數參數估計結果Tab.2 Parameter estimates result of time-variant Copula function

由表2 可知，時變RG-C 函數的AIC 值最小，即時變RG-C 函數對兩風電場風電出力的時變相關特性擬合優度更高，其次是時變SJC-C 函數，時變N-C 函數的擬合優度最差。根據表1 和表2 中AIC 值的對比，時變Copula 函數的擬合優度均高于靜態Copula 函數的擬合優度，說明了采用時變Copula 函數對存在時變相關特性的風電出力相關性分析時的重要性和可行性。圖4～圖6 所示分別為3 種時變Copula 函數和相應靜態Copula 函數的相關系數對比。

圖4 N-C 函數相關系數對比Fig.4 Correlation coefficient comparison of N-C function

圖5 RG-C 函數相關系數對比Fig.5 Correlation coefficient comparison of RG-C function

圖6 SJC-C 函數相關系數對比Fig.6 Correlation coefficient comparing of SJC-C function

對比圖4～圖6 的動態相關系數可以看出，兩風電場風電出力相關性存在較強的時變特性，而選用靜態的Copula 函數進行描述時會低估兩風電場風電出力波動性，風電并網運行將對系統造成更大影響。因此，根據對風電場出力的時變相關性的分析，電網運行人員能夠掌握更準確的風電出力特性，為電網風險分析和調度運行提供更可靠參考。需要說明的是，圖5、圖6 中相關系數的波動僅代表了兩風電出力相關性的強弱變化，不代表正負相關性變化。對本文所研究的風電出力序列，時變RG-C 函數的擬合優度看似略高于時變SJCC 函數，但由于時變RG-C 函數本身不具有上尾敏感特性，且兩時變Copula 函數擬合后AIC 值較接近，因此在對存在不對稱相關性的變量的時變相關性分析時，選用時變SJC-C 函數會更優越。

5 結語

本文以Copula 函數理論為相關性研究基礎，分析了3 種時變Copula 函數模型，并給出了Copula 函數參數的時變方程，采用IFM 法和AIC法對所列舉Copula 函數進行參數估計和擬合優度檢驗。通過實例分析，證明時變Copula 函數模型擬合比靜態Copula 函數模型擬合更具有優越性，能有效反映兩風電場風電出力相關性的變化過程，為電網風險分析和調度運行提供可靠依據；同時采用時變SJC-C 函數模型對存在不對稱尾部相關性的變量擬合時更具優越性。

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