三角函數的歷史與解題技巧

徐 贏 趙 宇

（長春外國語學校）

在數學中，三角函數是一種常見的關于角度的函數。三角函數是將角度作為自變量，而角度對應任意兩邊的比值作為因變量的函數。三角函數可以將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以相應的用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時，三角函數發揮著重要作用，同時它也是研究周期性現象的基礎數學工具。高中常見的三角函數包括正弦函數、余弦函數和正切函數。

對于三角函數的研究最早可以追溯到人類文明的較早階段。在公元前2 世紀，古希臘三角術的奠基人喜帕恰斯按照古巴比倫人的做法，將一個圓周分為360 等份（即將圓周的弧度視為360 度，與目前通用的弧度制有所不同）。對于給定的弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這個記法與目前使用的正弦函數是相同的，喜帕恰斯也給出了最早的三角函數數值表。古希臘的三角學基本是球面三角學，這是由于古希臘人研究的主體是天文學，三角學僅作為輔助工具。梅涅勞斯在《球面學》書中通過采用正弦函數來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學匯編》中計算了36 度角和72 度角的正弦值，同時還給出了計算和（差）公式和半角公式的方法，此外他給出了自0 到180 度區間內的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。

自從古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對三角術開展了進一步研究。到了公元5 世紀末，數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，和現代的正弦定義相同，這個做法被后來的古印度數學家使用。阿耶波多的計算中也使用了余弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0 到90 度中間隔3.75 度的三角函數值表。但是古印度的數學僅停留在計算方面，未有系統的定義和演繹的證明。再之后的阿拉伯人又延續采用了古印度人的正弦定義，同時直接繼承了古希臘的三角學。之后，阿拉伯天文學家引入正切和余切、正割和余割的概念，并計算了間隔10 分的正弦和正切數值表。到了公元14 世紀，阿拉伯人將三角計算代數化，這為三角學從天文學中獨立出來，成為應用范圍更廣的學科奠定了基礎。

15 世紀，阿拉伯與歐洲之間交流逐漸增多，阿拉伯數學文化在這樣的形勢下開始傳入歐洲。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始制作更詳細精確的三角函數值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10 秒的正弦表，其精確值可以達到9 位。此外，瑞提克斯修改了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16 世紀后，數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。自18 世紀，隨著解析幾何等分析學工具的引進，數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。

三角函數在現代文明中地位非常重要，是科研研究工作中不可缺少的數學工具，在日常的生產生活中同樣有相當的應用。同時，對于三角函數在圓與線段間關系和三角形內角與邊長關系的研究和各類計算練習可以有效地幫助青少年鍛煉數學思維能力和圖形分析能力，是高中必修四的主要內容，是高考對學生思維能力和分析能力考查的手段。考查的重點主要是三角函數的誘導公式、兩角和差公式、正余弦定理、輔助角公式，出題頻率最多的類型題主要是輔助角公式的應用，即函數y=Asin（ωx+φ）。例如：

［2014·江西卷］已知函數f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，，時，求f（x）在區間［0，π］上的最大值與最小值。

解決函數y=Asin（ωx+φ）相關問題，需要將ωx+φ 當作整體，類比函數y=sinx 的性質。

學習數學不僅要知道數學公式，會用數學公式解題，還要了解數學的發展歷史，數學家的奮斗故事，這樣的學習才是有滋有味的學習，而不是枯燥、機械地做題。數學學科是其他理工學科的基礎，在日常的生活中有著廣泛的應用，雖然我們摸不到、看不到，但是它一直在為我們的生活更加便利、更加幸福起著重要的作用。希望有更多的人喜歡數學、研究數學，從而發展數學。