淺談數學思維對解題的重要意義

張文波（農安縣萬順鄉中學 吉林農安 130200）

淺談數學思維對解題的重要意義

張文波
（農安縣萬順鄉中學 吉林農安 130200）

本文以中考例題為切入點，闡述了數學思維在解題過程中的重要作用。

數學 中考 方法 體驗 解題

請看以下例題

（1）連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O|恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數。的值：

（2）在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側。小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段不能構成平行四邊形）。”若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3）當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標t是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段能構成平行四邊形）？請說明理由。

【教學反思】

本題共計390字符，閱讀量偏大。題中均有拋物線，故以二次函數為“載體”，考查三角形與四邊形，起點較高，難度較大。主要體現在兩方面：一是考查知識點較多且需深入挖掘；二是數學思想運用得較為廣泛，對學生綜合素質要求較高。一見到本題，大多數學生感覺無從下手，即使是尖子生，面對第（2）題同時也難免一頭霧水。真的這么難嗎？

一、理清基本知識點，尋找解題思路

教學時，首先讓學生嘗試說出本題考查的知識點，主要包括折疊問題、三角形的有關知識、命題、二次函數的交點式及對稱性、平行四邊形、解直角三角形、垂線段、解方程、解不等式等。從這么多知識點中快速尋找解題思路，對基本能力（特別是化歸能力）要求頗高：同時，本題閱讀量偏大，還應關注學生獲取、收集、處理和運用信息能力；題目新穎，又考查學生創新精神和實踐能力。教師在教學中應做到：

1.及時歸納，尋找“突破點”

俗話說，萬變不離其宗。圖形在平移、旋轉或翻折過程中，位置和方向會有所改變，但其本質是全等變換，其中蘊含的不變往往是解決問題的突破口。針對第（1）小題，學生大都思路清晰，能把握住“折疊”這一全等變換，從而利用對應邊、對應角的不變性進行分析。再聯系到求解二次函數與坐標軸的交點坐標及對稱性這經常性問題，通過解直角三角形求解。教師在引導學生歸納解題思路時應緊扣不變量，關注方法，要把解題思維貫穿于一種題型中，讓學生自我形成知識建構。

2.適時提升，體驗“全過程”

在日常教學中，教師要重視學生體驗知識產生和發展過程，理順知識的來龍去脈，理清知識呈現的過程，理解公式、定理和法則等的推導過程，杜絕死記硬背，給學生充分反思時間，逐步提升學生能力。第（2）問考查的知識，需要提醒學生關注第一個正確命題，找準關鍵點，體會不構成平行四邊形是考慮邊的數量關系不滿足平行四邊形的判定，從而大膽猜測證明一條與另外三條不相等，類似解決方法在2011年《中考數學能力自測》208頁第2題最后一問中有所體現。對于新穎的能力提升題，應讓學生在體驗分析和解決問題的全過程，做到事半功倍。

二、挖掘思想方法，體驗解題過程

本題運用的數學思想方法較多，包括化歸、數形結合、特殊到般，以及方程等思想。解決本題離不開數學思想的綜合運用，教師在教學中應關注這幾種思想的展現過程：

1.體驗過程，重視思考和交流

“解題就是把要解的題轉化為已解過的題”。數學解題過程就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。“學而不思則罔”，教師應引導學生解題時勤于思考，不僅立足原題思考，還要有舉一反三和觸類旁通的變式思考。拿到壓軸題后，不要急于動手，而是思維在先。有相當一部分學生在壓軸題上失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非常基本概念和簡單計算或輸在“審題”上。講解本題時，我讓學生嘗試把自己體會主動大膽講給其他同學聽，遇到問題要善于和同學、老師辯一辯，堅持真理，改正錯誤。當時第（2）問他們討論得很熱烈，討論重點并不是淺顯的成立不成立，而是如何去說明不構成平行四邊形，個別同學甚至已初步得出PB比另外3條小的突破點。通過思考、交流和體驗過程，慢慢展示自己分析問題能力，再加上扎實基本功，壓軸題也不在話下。

2.優化思維，提煉思想和方法

講課時，教師要注意展示學生解題的思維過程，更要注重典型題目的運算技巧。2011年蘇州市中考數學閱卷老師深有感觸：許多同學做壓軸題時存在思維混亂問題。中考時間畢竟有限，要解決這么多問題，應在考前沖刺做文章。臺上一分鐘，臺下十年功。日常訓練中對待一些疑難問題，應引導學生多些思考、探究和嘗試，發現創新性解法。要教會學生“大題小做”，即對一些綜合題應化“大”為“小”，以“庖丁解牛”的精、氣、神，把它“肢解”成小問題，然后對這些小問題逐個推導，找出規律，再將其融合升華為大題。要注重培養學生直接觀察、大膽猜測及多種數學思想的靈活運用，讓學生碰見難題時“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，切實提高學生基本功。

俗話說，“授人以魚不如授人以漁。”由一道題的解決方法出發，掌握一類題的普遍做法，是應倡導的教學技巧。基于此，針對蘇州市2011年中考數學中的這道壓軸題，要引導學生理清這類題的大致思路及般解法，找出其共性；更要抓住其中細微區別，找出其特殊性。當然，更希望學生不僅會對老師講過的題“依葫蘆畫瓢”，而且對其變式題更要做到求“同”存“異”。其實，數學題目存在無限的數量，題型類別也豐富多彩，但數學的思想方法卻還是相對有限的，特別是還存在中考大綱的范圍限制。因此，相信只要學好有關基礎知識，掌握必要數學思想方法，就能輕松應對各種題目和題型，提升數學邏輯和思維能力。