中考解題三步驟

鄒少揚(yáng)

（福建莆田荔城區(qū)中山中學(xué)）

認(rèn)真研究數(shù)年的中考真題，發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何一種題型，要想將問題迎刃而解，必須掌握好以下三個(gè)步驟：

一、透徹理解數(shù)學(xué)概念——明確解題的方向及范圍

要想進(jìn)行正確的思維活動(dòng)，獲得關(guān)鍵的解題思路，必須明確其中的各個(gè)數(shù)學(xué)概念，那么就要清晰地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵：即這個(gè)概念所反映的事物的本質(zhì)的屬性。如，（1）等邊三角形：三角形，三邊相等；（2）矩形：平行四邊形，一個(gè)角是直角；（3）相反數(shù)：兩個(gè)數(shù)，只有符號(hào)相反……概念的外延：即適合這個(gè)概念的一切對(duì)象。如，（1）復(fù)數(shù)：實(shí)數(shù)和虛數(shù)；（2）實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)；（3）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)……

所以，學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)時(shí)需要注意每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，要善于解剖概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，只有明確了概念，才能在解題的過程中尋找關(guān)鍵的信息，了解了考查對(duì)象的本質(zhì)及范圍，就明確了解題的方向及深度，等于找到了黑暗的道路中的一盞明亮指路燈，茂密的森林中的一個(gè)指明方向的指路牌。

二、聯(lián)想相關(guān)知識(shí)信息——利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知轉(zhuǎn)為已知

研究教材中的知識(shí)體系時(shí)，常常會(huì)用到一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想。

如，在我們的教材中：

七年級(jí)時(shí)，將有理數(shù)的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算；將一元二次方程的解法轉(zhuǎn)化為解一元一次方程；將解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程……

八年級(jí)時(shí)，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題；將復(fù)雜的、不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行解決……

九年級(jí)時(shí)，將銳角三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題；將圓的問題轉(zhuǎn)化為相似的問題；將內(nèi)心問題轉(zhuǎn)化為角平分線的問題……

在平時(shí)的教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于知識(shí)的生成過程，新問題的解決方法的尋找，利用的都是轉(zhuǎn)化的思想，在尋找問題的解題思路中，也可以遵循這個(gè)規(guī)則：透徹理解數(shù)學(xué)概念之后，將孤立的知識(shí)點(diǎn)與已學(xué)過的知識(shí)相聯(lián)系，整合，尋找其異同點(diǎn)，繼而復(fù)雜的簡(jiǎn)單化，繁復(fù)的簡(jiǎn)潔化，彎曲的直接化等，將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的、已會(huì)的問題來(lái)解決。

三、利用基本模型得到方法——尋找已知的基本模型，得到解題的方法

在平時(shí)的教學(xué)過程中，將各個(gè)題型的解題規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生的知識(shí)體系系統(tǒng)化，故數(shù)學(xué)具有較多的基本模型：

在學(xué)習(xí)方程時(shí)，握手問題、賀卡問題、比賽問題、路程問題、增長(zhǎng)率問題、優(yōu)惠問題等；

在學(xué)習(xí)角平分線時(shí)：角平分線、等腰、平行，三個(gè)中“知二得一”模型；

在學(xué)習(xí)圓的垂徑定理時(shí)：過圓心的直徑、平分弦、垂直于弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、劣弧，五個(gè)中“知二求三”模型；

在學(xué)相似三角形中，有射影定理、兩兩相似等等。

認(rèn)真研究這些基本模型，在做題的過程中往往可以達(dá)到事半功倍的效果。

本文從中考真題中一道三角形的四心的問題進(jìn)一步解析這三個(gè)步驟，對(duì)于三角形的四心，一則學(xué)生無(wú)法區(qū)別四心的概念，二則因?yàn)樗男亩x的簡(jiǎn)單，學(xué)生無(wú)法從中獲得有用的信息，而對(duì)題目束手無(wú)策。

例：拋物線C1：y=ax2+bx+c 的開口向下，頂點(diǎn)為D 點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，且經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，若△ABD 的面積為8.

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）Q 是拋物線C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QBC 的內(nèi)心落在x 軸上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)。

（1）易求拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3

（2）師：看到這道題，你們有什么想法？

生甲：先找到三角形的內(nèi)心。

生乙：Q 點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，則△QBC 是動(dòng)態(tài)的，內(nèi)心無(wú)法確定其準(zhǔn)確位置。

學(xué)生在這時(shí)候，就斷了思路，其實(shí)這是對(duì)內(nèi)心還沒有了解透徹，而是把內(nèi)心孤立看成一點(diǎn)。以下我們來(lái)解析解題三步驟：

步驟一，透徹理解數(shù)學(xué)概念——明確解題的方向及范圍。

內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心。

步驟二，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)信息——利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知轉(zhuǎn)為已知。

內(nèi)切圓圓心，聯(lián)想到半徑，就容易聯(lián)想到到三角形三邊距離相等，進(jìn)而得到內(nèi)心即為三角形角平分線的交點(diǎn)。

可以很容易將內(nèi)心的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已有的角平分線的性質(zhì)。

如點(diǎn)I 是△ABC 的內(nèi)心（角平分線的交點(diǎn)）則：

性質(zhì)：基本模型（1）具有角平分線的性質(zhì)。

基本模型（2）可以利用角平分線的幾何模型，構(gòu)造輔助線：

如上圖，∠MAB=∠AON

ON∥AB，∠1=∠2圯OA=AB

基本模型（3）因?yàn)榻嵌认嗟人钥梢詷?gòu)造圖形的對(duì)稱性，添加輔助線：

等腰三角形；

全等三角形；

全等的直角三角形。

步驟三，利用基本模型得到方法——尋找已知的基本模型，得到解題的方法

本題中已知內(nèi)心在x 軸上，說(shuō)明x 軸即為本三角形的一條角平分線，利用角平分線的原始性質(zhì)，分兩個(gè)角相等，而由∠CBO=45°，可得∠CBQ=90°

利用以上基本模型（3）中等腰直角三角形的性質(zhì)，可得E 點(diǎn)的坐標(biāo)，那么直線BE 的解析式即可得，直線BE 與拋物線的交點(diǎn)Q 也就可求了。

所以如果知道內(nèi)心的性質(zhì)即為角平分線的性質(zhì)，那么本題就可以迎刃而解。

唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講.華東師范大學(xué)出版社，2001.