基于擬牛頓迭代的分數階Fourier變換最佳階次的搜索方法研究

陳 蓉，馬菊紅

(1.蘇州大學 城市軌道交通學院，江蘇蘇州215006)(2.江蘇科技大學圖書館，江蘇鎮江212003)

作為經典傅里葉變換的廣義形式，分數階傅里葉變換(fractional Fourier transform，FRFT)可理解為Chirp基分解，特別適合處理Chirp類信號，對其具有良好的檢測和識別效果，廣泛應用于雷達信號處理等領域［1-4］.在分數階傅里葉變換的應用研究中，如何確定FRFT的最佳變換階次成為熱點問題［5］.現有成果中，對于最佳階次的確定問題，多采用變換域參數的二維搜索方法，算法的估計精度和運算量之間存在嚴重的矛盾.為解決這一問題，文獻［6］提出了先以大步進值進行二維粗搜索，再利用擬牛頓迭代局部細搜索的方法;文獻［7］指出擬牛頓迭代方法在這一應用中具有較好的效果.然而，目前尚無對擬牛頓迭代具體實現方法的討論，使之在實際應用中缺乏指導.

針對上述問題，文中研究了擬牛頓迭代算法的基本原理及實現方法，通過仿真實驗展現了該方法搜索FRFT最佳變換階次的收斂過程，并分析討論了其在實際應用中存在的利弊.

1 基于FRFT的Chirp信號二維搜索檢測法

時域信號x(t)的分數階Fourier變換定義為:

式中:p為FRFT變換的階數;α為FRFT軸與時間軸之間的夾角，且;n為整數.

設Chirp信號的時域表達式為:

式中:A為Chirp信號的幅值;φ0為初始相位;f0為起始頻率;k0為信號的調頻率;B為信號的帶寬;T為脈沖寬度.為簡化計算，一般設φ0=0.則根據式(1)，Chirp信號的分數階Fourier變換為:

當k0+cot α =0時，記α為α0，稱為最佳FRFT旋轉角度，且有

式中Sa(·)為辛格函數.

由式(4)可以看出，時限Chirp信號經最佳階次的分數階Fourier變換后，能量區域的主瓣寬度為.當f- ucsc α =0時，|X(u)

0α0|2達到峰值.利用該性質，基于FRFT的Chirp信號二維搜索檢測法的基本思路可簡述為:以旋轉角度α(或變換階次p)為變量進行掃描，對觀測信號連續做分數階Fourier變換，從而形成信號能量在參數(α，u)(或(p，u))平面上的二維分布.在此平面上按閾值進行峰值點的二維搜索即可實現Chirp信號的檢測與參數估計，該過程可描述為:

2 擬牛頓迭代法的基本原理及實現

2.1 擬牛頓迭代法的基本原理

針對實數域和復數域上近似求解方程的問題，牛頓提出了一種高效的方法——牛頓迭代法.由于利用了目標函數的二階導數信息，故算法收斂速度快.然而，由于牛頓迭代法要求計算包含二階導數信息的Hessian矩陣及其逆矩陣，其計算復雜度高、內存占用大.此外，若目標函數的二階導數不存在，或逆矩陣不存在，則該法無法使用.

擬牛頓迭代算法對上述問題進行改進，其利用直接構造的與Hessian矩陣的逆矩陣相近的正定矩陣代替目標函數的二階偏導數計算.經典牛頓法的迭代公式為:

式中:xk，xk+1分別為第k次和第k+1次迭代求得的極值;λk為步長因子，在牛頓迭代法中取值固定為1;sk= -［H(xk)］-12f(xk)，稱為牛頓方向，其中f(x)為目標函數，［H(xk)］-1=22f(xk)-1為Hessian矩陣的逆矩陣.

要構造22f(xk)-1的近似矩陣Hk，就要先分析22f(xk)-1和一階導數之間的關系.令在第k次迭代后，得到點xk+1，將目標函數f(x)在點xk+1展開成泰勒級數，并取二階近似，得到:

則在xk+1附近有:

令x=xk得:

則有 qk≈ 22f(xk+1)mk.

設Hessian矩陣22f(xk+1)可逆，則

當計算得到mk和qk后，依據式(11)，估計在xk+1處的Hessian矩陣的逆.為了用不包括二階導數的矩陣Hk+1取代經典牛頓法中的Hessian矩陣的逆矩陣，就需要令Hk+1滿足

式(12)即為擬牛頓條件.

在擬牛頓迭代算法中將Hk作為Hk+1的近似來構造，考慮到22f(xk)為對稱矩陣，因此要求Hk滿足條件:①對稱;②滿足擬牛頓條件方程.

設Hk-1經過簡單修正可得到Hk，即

式中:對稱矩陣Ek稱為校正矩陣.顯然，滿足式(13)的對稱矩陣不止一種，Hessian矩陣的構造方法不同將產生不同的擬牛頓法，因此擬牛頓迭代法是一族算法.

2.2 擬牛頓迭代法的迭代步驟

在眾多Hessian矩陣的構造方法中，BFGS算法［8］是效率較高的一種，尤其是針對無約束最優化問題算法中采用的校正公式為

式中:sk=xk+1- xk，yk=2f(xk+1)- 2f(xk).為確保目標函數的下降，矩陣Hk必須滿足正定性，而Hk保持正定的充分必要條件是skTyk＞0，這是在構造近似矩陣中需要保證的.此外，在迭代一定次數后，BFGS算法還將重置初始點和迭代矩陣［9］.

以BFGS算法為例，擬牛頓迭代法的迭代步驟如下:

1)給定初始點x0，初始矩陣H0=In及搜索精度ε＞0;

2)若‖2f(x0)‖≤ε，停止，極小點為x0;否則轉步驟3);

3)取m0=-H02f(x0)，且令k=0;

4)用一維搜索法求tk，使得tkf(xk+tkmk)=，令 xk+1=xk+tkmk;

5)若‖2f(xk+1)‖≤ε，停止，極小值點為xk+1;否則轉步驟6);

6)若k+1=n，令x0=xn，轉步驟3);否則轉步驟7);

7)令

其中:sk=xk+1- xk，yk=2f(xk+1)- 2f(xk)，取mk= - Hk+12f(xk+1)，置 k=k+1，轉步驟4).

2.3 仿真實驗

擬牛頓迭代法是下降類迭代方法，故基于擬牛頓迭代的分數階Fourier變換最佳變換階次的極值搜索問題可描述為:在參數(p，u)平面上，尋找合適的(p0，u0)，使得目標函數 f(p，u)= -|Xp(u)|2達到最小.與公式(5)對應，該過程可描述為:

為了兼顧精度和高效計算的要求，文中首先采用大步進值做二維峰值搜索，獲取p的粗估計結果，然后再利用擬牛頓法逼近極值點.實驗中，采用線性調頻雷達，其主要參數為脈沖寬度T=10μs，中心頻率 f0=545MHz，帶寬B=k0T=30MHz，發射波長λ=0.025m，采樣頻率為fs=5B.熱噪聲采用高斯白噪聲模擬，信噪比為 -2 dB.搜索步進值為0.01，經二維峰值搜索得，量綱歸一化［10］后p的粗估計結果為^p=1.13.設擬牛頓迭代法初始值p=1.13，在該值附近采用擬牛頓迭代法搜索到最佳值的過程，如圖1.

圖1 擬牛頓迭代法的搜索過程Fig.1 Searching process of Quasi-Newton method

擬牛頓法搜索到最佳變換階次p=1.1255，以該階次做FRFT，其仿真結果如圖2.Chirp信號在估計所得的最佳分數階傅里葉域中實現了很好的能量聚集性.

圖2 信噪比-2dB時，Chirp信號在估計所得最佳變換階次下的分布Fig.2 Distribution of Chirp signal in the estimated optimal fractional Fourier transform domain when the SNR is-2dB

圖3是將信號x(t)通過-10 dB的加性高斯白噪聲信道后，利用擬牛頓迭代法搜索到的最佳FRFT階次對信號進行FRFT處理的結果.

圖3 信噪比-10dB時，Chirp信號在估計所得最佳變換階次下的分布Fig.3 Distribution of Chirp signal in the estimated optimal fractional Fourier transform domain when the SNR is-10dB

顯然，Chirp信號在該FRFT變換階次下未能實現良好的能量聚集，即擬牛頓迭代法的輸出結果與信號實際的最佳FRFT變換階次間存在較大誤差.導致這一結果的原因在于，當噪聲強度較大時，信號在分數階二維平面的能量聚集將出現較強的虛假極值點，若迭代搜索初始值或步長選擇不當，即會致使擬牛頓迭代法無法收斂到全局最優點.

另一方面，為驗證擬牛頓法的運算速度，在MATLAB程序中添加tic和toc函數，獲取搜索出最佳極值點的耗時量，將該時間與直接進行二維搜索的耗時量相比較，結果如表1.實驗中，二維搜索法中粗搜索的步進值為0.01，細搜索的步進值為0.0001;二維粗搜索加擬牛頓精搜中二維粗搜索的步進值為0.01.［1］ 唐江，趙擁軍，朱健東，等.基于FRFT的偽碼-線性

調頻信號參數估計算法［J］.信號處理，2012，28(9):

1271-1277.

Tang Jiang，Zhao Yongjun，Zhu Jiandong，et al.FrFT-

based parameter estimation for PRBC-LFM signals［J］.

Signal Processing，2012，28(9):1271-1277.(in Chi

nese)

表1 變換階次估計算法的執行速度比較Table 1 Comparison of execution speed of different algorithms

表1中，理論值和估計值之間會有微小的誤差，這是由信號的離散化采樣造成的.由表1可知，擬牛頓迭代法在分數階FRFT最佳變換階次的快速搜索方面上具有較大優勢.

3 結論

文中對基于擬牛頓迭代的FRFT最佳變換階次的搜索方法進行了深入研究，給出了其在Chirp信號檢測這一實際應用中的具體實現步驟，并通過仿真實驗展現了擬牛頓迭代法搜索分數階Fourier變換最佳變換階次的收斂過程.由于擬牛頓迭代算法是一種局部搜索法，其僅能收斂到初始值周圍的極值點，因此，初始值的選取至關重要，文中采用了二維粗搜索方法獲取初值.實驗表明，當二維粗搜索所得結果合適時，利用擬牛頓搜索方法不僅可以保證搜索精度，更能提高搜索效率.但是，當信噪比較低時，二維粗搜索所得初值準確性低，直接影響后續迭代搜索結果.因此，抗噪性強的初值選取方法需在后續進一步研究.

References)

［2］ 鄧兵，王旭，陶然，等.基于分數階傅里葉變換的線性調頻脈沖時延估計特性分析［J］.兵工學報，2012，33(6):765-768.Deng Bing，Wang Xu，Tao Ran，et al.Performance analysis of time delay estimation for linear frequencymodulated pulse based on fractional fourier transform［J］.Acta Armamentarii，2012，33(6):765 - 768.(in Chinese)

［3］ 張軍，周旭.LFMCW雷達多目標檢測技術研究［J］.現代雷達，2013，35(6):29 -33.Zhang Jun，Zhou Xu.A study on multi-object detection for LFMEW radar［J］.Modern Radar，2013，35(6):29-33.(in Chinese)

［4］ 向崇文，劉鋒，黃宇，等.基于FRFT循環處理的LFM-PRBC雷達信號截獲與特征提取［J］.彈箭與制導學報，2013，33(2):117 -124.Xiang Chongwen，Liu Feng，Huang Yu，et al.Interception and feature extraction of LFM-PRBC Radar signal based on FRFT cyclic processing method［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2013，33(2):117 -124.(in Chinese)

［5］ 陳小龍，關鍵，黃勇，等.分數階Fourier變換在動目標檢測和識別中的應用:回顧和展望［J］.信號處理，2013，29(1):85 -97.Chen Xiaolong，Guan Jian，Huang Yong，et al.Application of fractional fourier transform in moving target detection and recognition:development and prospect［J］.Signal Processing，2013，29(1):85 -97.(in Chinese)

［6］ 齊林，陶然，周思永，等.基于分數階Fourier變換的多分量LFM信號的檢測和參數估計［J］.中國科學E 輯，2003，33(8):749 -759.Qi Lin，Tao Ran，Zhou Siyong，et al.Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform［J］.Science in China E，2003，33(8):749 -759.(in Chinese)

［7］ 衛紅凱，王平波，蔡志明，等.分數階Fourier變換極值搜索算法研究［J］.電子學報，2010，38(12):2949-2952.Wei Hongkai，Wang Pingbo，Cai Zhiming，et al.Study of algorithm for extremum seeking in the fractional fourier transform［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38(12):2949 -2952.(in Chinese)

［8］ 耿紅梅.BFGS算法綜述［J］.大眾科技，2011(11):3-4，10.Geng Hongmei.A summary of BFGS algorithm［J］.Popular Science＆ Technology，2011(11):3 - 4，10.(in Chinese)

［9］ 陳寶林.最優化原理與算法［M］.北京:清華大學出版社，2005:39-47.

［10］ 陶然，鄧兵，王越.分數階傅里葉變換及其應用［M］.北京:清華大學出版社，2009:144-147.