基于最優(yōu)二次型理論的滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈三回路駕駛儀設(shè)計(jì)與研究

范世鵬，林德福，姚懷瑾，路宇龍，祁載康

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081;2.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854;3.北京電子工程總體研究所，北京100854)

0 引言

由美國(guó)Raytheon 公司首次提出的經(jīng)典三回路駕駛儀以其良好的性能和工程可實(shí)現(xiàn)性而被廣泛采用。三回路駕駛儀以一階實(shí)根為主導(dǎo)極點(diǎn)，而通過選取二階共軛復(fù)根可改變開環(huán)穿越頻率，保證系統(tǒng)擁有足夠的幅相裕度［1-6］。這種駕駛儀存在多種結(jié)構(gòu)，通過不同方法重構(gòu)攻角，形成偽攻角反饋，都能使系統(tǒng)魯棒性得以改善［4］。

最優(yōu)二次型(LQR)理論在工程中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。Mracek 等［7］、Wise［8］利用最優(yōu)/經(jīng)典理論設(shè)計(jì)、分析了單通道自動(dòng)駕駛儀;Nesline 等分析了LQR 設(shè)計(jì)常常出現(xiàn)系統(tǒng)失穩(wěn)的原因，并指出必須對(duì)開環(huán)穿越頻率進(jìn)行約束［9］;Williams 等運(yùn)用LQR方法為傾斜轉(zhuǎn)彎(BTT)導(dǎo)彈多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)［10］;文獻(xiàn)［11 -12］采用LQR 方法，通過對(duì)比研究最優(yōu)制導(dǎo)律獨(dú)立設(shè)計(jì)和制導(dǎo)/控制一體化設(shè)計(jì)，指出了一體化設(shè)計(jì)的優(yōu)越性;而Li 等在采用古典控制理論為滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)忽略了耦合效應(yīng)［13-14］。

本文建立滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈存在通道耦合的動(dòng)力學(xué)模型，為消除耦合的影響，基于現(xiàn)代控制LQR 最優(yōu)理論，推導(dǎo)得到一種I 型系統(tǒng)的三回路駕駛儀結(jié)構(gòu)，對(duì)比研究了MIMO 和單輸入多輸出(SIMO)兩種設(shè)計(jì)結(jié)果;并通過分析權(quán)系數(shù)與駕駛儀性能之間的關(guān)系，旨在輔助設(shè)計(jì)者合理選取權(quán)系數(shù)。

1 滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型

滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈因邊界層非對(duì)稱畸變等原因而普遍存在馬格努斯效應(yīng)，這對(duì)彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響較大，使俯仰、偏航存在通道耦合。另外，彈體自身滾轉(zhuǎn)也將產(chǎn)生陀螺耦合效應(yīng)。這兩種效應(yīng)與彈體轉(zhuǎn)速相關(guān)，轉(zhuǎn)速越高，則耦合效應(yīng)越明顯。

滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)建立在準(zhǔn)彈體系下的表達(dá)形式相對(duì)簡(jiǎn)單，在線性化小擾動(dòng)假設(shè)下，考慮耦合效應(yīng)的軸對(duì)稱滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中:? 為俯仰角;α 為攻角;β 為側(cè)滑角;ψ 為偏航角;δ 為舵偏角;v 為導(dǎo)彈速度;ay、az為y 軸方向和z 軸方向的彈體過載;分別為俯傾力矩對(duì)攻角、舵偏角、俯傾角速率的偏導(dǎo)數(shù)，Jz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;bα=T 為推力，Yα、Yδz分別為升力對(duì)攻角、舵偏角的偏導(dǎo)數(shù)，m 為導(dǎo)彈質(zhì)量;為俯仰力矩對(duì)側(cè)滑角的偏導(dǎo)數(shù)，ωx為導(dǎo)彈自旋角速率。

不難看出，俯仰、偏航動(dòng)力學(xué)具有反對(duì)稱通道耦合的特點(diǎn)，其模型如圖1所示。

圖1 滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈俯仰/偏航動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Pitch and yaw dynamics model of rolling missile

在此引入過載誤差ey=ay-ayc，以俯仰為例，制導(dǎo)指令相對(duì)于控制系統(tǒng)而言，可視為慢變量。設(shè)為0，則過載誤差可表示為

根據(jù)(1)式中過載與攻角之間的關(guān)系，將過載引入(1)式的微分方程中而消去攻角，從而得到

對(duì)偏航動(dòng)力學(xué)方程作與俯仰通道相同的假設(shè)和數(shù)學(xué)等價(jià)變形。對(duì)于以上存在通道耦合的動(dòng)力學(xué)模型，可將耦合效應(yīng)視為外界干擾，增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)使之形成Ⅰ型控制系統(tǒng)，以消除通道耦合引起的穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)以上方程組中的過載、姿態(tài)角速率相關(guān)的微分方程左右兩邊進(jìn)行微分。

由于LQR 控制方法對(duì)數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確性的要求較為嚴(yán)格，模型不準(zhǔn)確對(duì)于控制系統(tǒng)的各項(xiàng)性能將有較大的影響，甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn)［15］。在工程實(shí)踐中應(yīng)用最優(yōu)控制理論，應(yīng)盡可能準(zhǔn)確地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型越準(zhǔn)確，則控制系統(tǒng)性能越優(yōu)良［9］，因此，數(shù)學(xué)模型考慮二階舵機(jī)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性:

2 線性二次型最優(yōu)控制

線性二次型是最優(yōu)控制理論中一類典型的優(yōu)化問題，其指性能泛函選取為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分形式。在合理的假設(shè)條件下，該問題所求得的控制律可以是解析的且線性的［15］。

設(shè)線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)空間表示為

式中:x 為n 維狀態(tài)變量;u 為r 維控制向量;A、B、C分別為n×n 維矩陣、n×r 維矩陣、m×n 維矩陣。

給定無限時(shí)間假設(shè)下的關(guān)于狀態(tài)x(t)和控制u(t)的二次型性能指標(biāo)函數(shù):

式中:Q、R 為權(quán)系數(shù)矩陣，Q =QT≥0，為n ×n 維半正定對(duì)稱陣;R=RT＞0，為r×r 維正定對(duì)稱陣。

所謂二次型最優(yōu)控制問題，就是尋求一個(gè)容許控制u*(t)∈Rr×r，使沿著由初態(tài)x0出發(fā)的相應(yīng)狀態(tài)軌跡x(t)，使性能指標(biāo)函數(shù)取為極小值，即

由二次型最優(yōu)控制極小值理論可知，為使指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，最優(yōu)控制律應(yīng)為

式中:P 為黎卡蒂微分方程式的解，容易證明，P 為對(duì)稱正定矩陣。

不難看出，最優(yōu)控制律為線性時(shí)變的全狀態(tài)反饋，且非線性的黎卡蒂微分方程求解繁瑣，至少需要求解n(n +1)/2 個(gè)一階微分方程。隨著時(shí)間趨向于無窮，P(t)將趨于常值陣，最優(yōu)反饋時(shí)變系統(tǒng)也將轉(zhuǎn)換為定常系統(tǒng)。此時(shí)，可以用黎卡蒂代數(shù)方程式的解代替微分方程式的解。

則系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)軌線x*(t)為

性能指標(biāo)的最小值為

通過全狀態(tài)反饋，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)發(fā)生變化，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)遵循最優(yōu)軌線，從而改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。設(shè)Lyapunov 正定函數(shù)

對(duì)L(x)求導(dǎo)，并將(11)式代入(13)式可得

3 三回路控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，首先將狀態(tài)耦合視為干擾，忽略通道耦合效應(yīng)，建立俯仰通道數(shù)學(xué)模型，狀態(tài)變量、控制變量和輸出變量分別為

則SIMO 俯仰通道數(shù)學(xué)模型可描述為

對(duì)于具有通道耦合的滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈而言，控制系統(tǒng)期望俯仰偏航兩個(gè)通道的過載響應(yīng)誤差限制在一定的范圍內(nèi)，這不僅可使制導(dǎo)指令得以準(zhǔn)確快速地執(zhí)行，也可削弱通道耦合的影響;為防止彈體劇烈振蕩，姿態(tài)角加速度必須加以限制;同時(shí)，控制能耗即舵偏角角速率不得過大，應(yīng)對(duì)舵偏角速率進(jìn)行限制。因此，提出以下指標(biāo)函數(shù):

式中:常數(shù)Ci(i =1，2，3)為權(quán)系數(shù)，其數(shù)值越大，則對(duì)相應(yīng)變量的限制作用越強(qiáng)。對(duì)應(yīng)于LQR 方法中的權(quán)系數(shù)矩陣為

控制系統(tǒng)性能指標(biāo)與權(quán)系數(shù)矩陣密切相關(guān)，選取不同的Ci，則得到不同的控制系統(tǒng)性能品質(zhì)，因此，合理選取權(quán)系數(shù)是LQR 設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵。從Ci的物理意義來看，控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)主要取決于C1，而阻尼特性、幅相裕度等與C2也有一定關(guān)系。

利用第2 節(jié)提出的LQR 方法設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，即可得到狀態(tài)反饋增益矩陣K:

對(duì)(19)式兩邊進(jìn)行積分，可得控制律

以上控制律的實(shí)現(xiàn)，一方面要改變舵機(jī)特性，電動(dòng)舵機(jī)通過驅(qū)動(dòng)電流和碼盤對(duì)舵偏角速率和舵偏角進(jìn)行反饋控制;另一方面，利用彈體過載和姿態(tài)角速率信息，構(gòu)建了三回路駕駛儀結(jié)構(gòu)，以改善彈體動(dòng)態(tài)特性。圖2給出了控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)。

圖2 SIMO 設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)示意圖Fig.2 Control system designed via SIMO method

閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)表征了控制器的性能優(yōu)劣，研究閉環(huán)極點(diǎn)隨著加權(quán)矩陣變化的規(guī)律可以幫助設(shè)計(jì)者選擇權(quán)系數(shù)矩陣，并更好地理解特定的權(quán)系數(shù)矩陣所得到的控制器。注意到最優(yōu)控制律完全取決于狀態(tài)加權(quán)矩陣與控制加權(quán)矩陣的相對(duì)大小關(guān)系，這里固定C3=10 000，通過調(diào)節(jié)C1、C2，得到不同性能指標(biāo)的控制器。

首先固定C2=25，分別選取不同的C1，設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。圖3、圖4給出了不同C1值下設(shè)計(jì)結(jié)果的開、閉環(huán)系統(tǒng)頻域特性。

表1 不同C1下的設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.1 Comparison of designs with different C1

圖3 不同C1值下設(shè)計(jì)結(jié)果的開環(huán)系統(tǒng)頻域特性Fig.3 Bode diagram of open loop for different C1

固定C1=20，分別選取不同的C2，設(shè)計(jì)結(jié)果如表2所示。圖5、圖6分別給出了不同C2值下設(shè)計(jì)結(jié)果的開、閉環(huán)系統(tǒng)幅相頻特性。

由表1設(shè)計(jì)結(jié)果可見，增大權(quán)系數(shù)C1，開環(huán)穿越頻率和系統(tǒng)閉環(huán)帶寬隨之增大，主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，使系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，在帶寬附近處，閉環(huán)系統(tǒng)相位滯后略有減小，且在高頻段的相位特性基本一致。但同時(shí)，系統(tǒng)幅相裕度有所減小，頻域指標(biāo)將會(huì)下降。

圖4 不同C1值下設(shè)計(jì)結(jié)果的閉環(huán)系統(tǒng)頻域特性Fig.4 Bode diagram of closed loop for different C1

表2 不同C2值下的設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.2 Comparison of designs with different C2

權(quán)系數(shù)C2主要影響系統(tǒng)的幅相裕度，由圖5可見，增大C2，可提高相位裕度，但將減小幅值裕度。此外，C2對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)帶寬有一定影響，增大C2將減小系統(tǒng)帶寬，而對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性影響甚微。

由最優(yōu)理論設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)，可能出現(xiàn)滿足相位裕度指標(biāo)但穿越頻率很大的現(xiàn)象。由于動(dòng)力學(xué)模型僅考慮彈體與舵機(jī)環(huán)節(jié)，而系統(tǒng)純延遲、慣性器件動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)濾波器等都會(huì)帶來相位滯后，直接威脅控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此，必須對(duì)開環(huán)穿越頻率進(jìn)行約束，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度［7］。

從圖3和圖5可看出，開環(huán)截止頻率ωCR與C1關(guān)系密切。如圖7所示給出了ωCR與C1的關(guān)系曲線。

圖5 不同C2值下設(shè)計(jì)結(jié)果的開環(huán)系統(tǒng)幅相頻特性Fig.5 Bode diagram of open loop for different C2

圖6 不同C2值下設(shè)計(jì)結(jié)果的閉環(huán)系統(tǒng)幅相頻特性Fig.6 Bode diagram of closed loop for different C2

設(shè)計(jì)者可根據(jù)ωCR與C1的關(guān)系，合理選取C1;綜合考慮C1、C2系統(tǒng)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系調(diào)整權(quán)系數(shù)取值，使得到的控制器滿足時(shí)域與頻域的復(fù)合指標(biāo)。最終選取C1=20，C2=25，C3=10 000. 由于俯仰、偏航動(dòng)力學(xué)具有對(duì)稱性，則采用SIMO 設(shè)計(jì)的反饋增益矩陣

式中:K1= [ 45 3.2 120 -220 0.41 ]×10-3.

若考慮耦合效應(yīng)，則俯仰、偏航一體化數(shù)學(xué)模型為MIMO 系統(tǒng)，如(22)式所示。仍采用LQR方法設(shè)計(jì)控制律，稱為MIMO 設(shè)計(jì)，示意圖如圖8所示。

圖8 MIMO 設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)示意圖Fig.8 Control system designed via MIMO method

選取二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

選取以單通道設(shè)計(jì)相同的權(quán)系數(shù)取值:C1=20，C2=25，C3=10 000，所得到狀態(tài)反饋增益矩陣

式中:K1= [ 46 3.3 120 -230 0.43 ]×10-3;K2= [ 2.1 -0.2 4.2 21 0 ]×10-3.

反饋增益矩陣具有分塊反對(duì)稱的特點(diǎn)，通過多組設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比兩種設(shè)計(jì)方法，可歸納出:1)兩個(gè)通道來源于自身通道反饋回路的控制參數(shù)K1差異很小;2)俯仰通道控制系統(tǒng)來自俯仰通道狀態(tài)反饋的增益K1各元素，遠(yuǎn)大于來自偏航通道相應(yīng)的增益K2各元素，偏航控制亦然;3)通道耦合使增益矩陣中的K2不為0，且耦合越大，則‖K2‖2越大。

滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的馬格努斯效應(yīng)和陀螺效應(yīng)分別與靜穩(wěn)定力矩和阻尼力矩相對(duì)應(yīng)，三回路駕駛儀中的過載反饋、角速率反饋人為增大了彈體靜穩(wěn)定系數(shù)和阻尼系數(shù)，使耦合效應(yīng)在彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程中所占的比重將有所減小，相對(duì)削弱了耦合效應(yīng)的影響，從而使K2各元素遠(yuǎn)小于K1各元素。因此，滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈存在的耦合效應(yīng)對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)結(jié)果影響不大，完全可以單通道獨(dú)立設(shè)計(jì)。

4 數(shù)學(xué)仿真

為驗(yàn)證第3 節(jié)的設(shè)計(jì)結(jié)果與分析，建立存在通道耦合的數(shù)學(xué)仿真模型，各項(xiàng)氣動(dòng)參數(shù)為攻角、側(cè)滑角的非線性函數(shù)，氣動(dòng)耦合項(xiàng)馬格努斯力矩系數(shù)為靜穩(wěn)定力矩系數(shù)的40%，陀螺力矩系數(shù)為阻尼力矩系數(shù)的10%;引入角速率陀螺和加速度計(jì)的動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)，帶寬均為40 Hz，阻尼系數(shù)為0.8. 在俯仰通道輸入40 m/s2的階躍過載指令，分別對(duì)不同C1、C2值下的設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行仿真，俯仰、偏航通道過載響應(yīng)分別如圖9～圖12 所示。

圖9 不同C1值下設(shè)計(jì)結(jié)果的俯仰通道過載響應(yīng)Fig.9 Response of pitch acceleration for different C1

圖10 不同C1值下設(shè)計(jì)結(jié)果的偏航通道過載響應(yīng)Fig.10 Response of yaw acceleration for different C1

由仿真結(jié)果可看出，與原彈體響應(yīng)相比較，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性得以改善，且對(duì)耦合的抑制作用較為顯著，可完全消除由耦合引起的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。增大權(quán)系數(shù)C1，可有效限制過載誤差，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度;而權(quán)系數(shù)C2與超調(diào)量相關(guān)，增大權(quán)系數(shù)C2將減小系統(tǒng)超調(diào)。

圖11 不同C2值下設(shè)計(jì)結(jié)果的俯仰通道過載響應(yīng)Fig.11 Response of pitch acceleration for different C2

圖12 不同C2值下設(shè)計(jì)結(jié)果的偏航通道過載響應(yīng)Fig.12 Response of yaw acceleration for different C2

如圖13 所示給出了本文SIMO 和MIMO 設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)俯仰通道階躍過載指令的響應(yīng)曲線。

圖13 兩種設(shè)計(jì)結(jié)果的俯仰和偏航過載響應(yīng)曲線Fig.13 Responses of pitch and yaw accelerations

由圖13 可見，與SIMO 設(shè)計(jì)相較而言，MIMO 設(shè)計(jì)得到的控制系統(tǒng)在時(shí)域響應(yīng)方面差異很小，在提高響應(yīng)速度方面并不明顯。且二者對(duì)耦合的抑制效果都十分理想，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。作為Ⅰ型系統(tǒng)，三回路駕駛儀結(jié)構(gòu)中的積分器可使由耦合運(yùn)動(dòng)造成的誤差不斷衰減，直至歸0.

5 結(jié)論

通過對(duì)滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究，本文應(yīng)用LQR 理論提出了一種控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，所得到的控制律具有三回路駕駛儀的結(jié)構(gòu);指出駕駛儀性能與權(quán)系數(shù)密切相關(guān)，通過對(duì)比不同權(quán)系數(shù)取值的設(shè)計(jì)結(jié)果，驗(yàn)證了權(quán)系數(shù)與駕駛儀的時(shí)頻、頻域性能之間的關(guān)系;SIMO 設(shè)計(jì)的三回路駕駛儀在抑制彈體耦合方面的效果十分理想，并具有良好的時(shí)域和頻域性能，可使系統(tǒng)準(zhǔn)確無誤地跟蹤階躍指令，將耦合運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差完全消除。最后，通過對(duì)比分析SIMO 設(shè)計(jì)和MIMO 設(shè)計(jì)，指出兩種設(shè)計(jì)結(jié)果的差異很小。工程上，為滾轉(zhuǎn)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)三回路駕駛儀忽略狀態(tài)耦合進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)完全合理。最后，通過非線性數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了以上結(jié)論。

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