關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討

陳潔

（云南省西雙版納職業(yè)技術(shù)學(xué)院 云南西雙版納 666100）

關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討

陳潔

（云南省西雙版納職業(yè)技術(shù)學(xué)院 云南西雙版納 666100）

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模的思想，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，體現(xiàn)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程以及用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的思想方法，也可以從數(shù)學(xué)建模的角度介紹一些數(shù)學(xué)的發(fā)展過程。可調(diào)動(dòng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的積極性和主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

數(shù)學(xué)建模思想 數(shù)學(xué)模型 概念教學(xué) 應(yīng)用問題

一、數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的重要作用

數(shù)學(xué)最顯著的特點(diǎn)之一就是其應(yīng)用極其廣泛。在我們?nèi)粘Ｉ钪须S處都能找到數(shù)學(xué)的影子。在社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，都在運(yùn)用著數(shù)學(xué)的概念、法制和結(jié)論。很多看似和數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的問題都可以運(yùn)用數(shù)學(xué)工具加以解決。但很多高職學(xué)生由于基礎(chǔ)薄弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高，不知道數(shù)學(xué)有什么用途，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥無(wú)味的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了應(yīng)付考試。而現(xiàn)在數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成為公民文化素質(zhì)的重要內(nèi)容，更是大學(xué)生不可或缺的基本素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很突出的方面就是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的過程。

數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問題就必需建立數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些特定對(duì)象，為了某特定目的，做出一些重要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用它來(lái)解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，提供處理對(duì)象的優(yōu)化決策和控制，設(shè)計(jì)滿足某種需要的產(chǎn)品等。從此意義上講數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老的歷史。例如，歐幾里得幾何就是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬(wàn)有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)光輝典范。今天，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透，過去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化，數(shù)學(xué)化，需建立大量的數(shù)學(xué)模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起，計(jì)算機(jī)的普及和廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)在許多高技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學(xué)建模被時(shí)代賦予了更為重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是提供學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)主要體現(xiàn)為：抽象思維和邏輯推理的能力。如今在一些教材中也漸漸的補(bǔ)充了與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的例子，習(xí)題。學(xué)生能否對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，主要依賴于教學(xué)過程，與教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的選擇和應(yīng)用密切相關(guān)。因此，教師必須在教法和學(xué)法指導(dǎo)上多下功夫，狠下工夫，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度處理數(shù)學(xué)、闡釋數(shù)學(xué)、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和操作水平；必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用環(huán)節(jié)的實(shí)踐，注重用數(shù)學(xué)解決學(xué)生身邊的問題，用學(xué)生容易接受的方式展開數(shù)學(xué)教學(xué)，注重學(xué)生的親身實(shí)踐；必須重視在應(yīng)用數(shù)學(xué)中傳授數(shù)學(xué)思想和方法，把培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力作為教學(xué)內(nèi)容的主線，運(yùn)用“問題情境——解釋與應(yīng)用”的教學(xué)模式，多角度、多層次地編排數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生簡(jiǎn)歷數(shù)學(xué)模型并利用計(jì)算機(jī)分析出來(lái)時(shí)間問題能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。同時(shí)大學(xué)生自己在學(xué)習(xí)時(shí)也喜歡更多地思考所學(xué)知識(shí)的價(jià)值，喜歡探索一些具有挑戰(zhàn)性的問題，喜歡親自動(dòng)手操作實(shí)踐，數(shù)學(xué)建模正好契合了學(xué)生的這種需要。教師可以在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模的思想，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，體現(xiàn)從實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)建模的過程以及用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的思想方法，也可以從數(shù)學(xué)建模的角度介紹一些數(shù)學(xué)的發(fā)展過程。這種教學(xué)方式調(diào)動(dòng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的積極性和主動(dòng)性，學(xué)生充滿了把數(shù)學(xué)知識(shí)和方法應(yīng)用到實(shí)際問題之中去的渴望，從而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的理論價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

（一）在概念引入教學(xué)中融入建模思想

高等數(shù)學(xué)中的概念相比初等數(shù)學(xué)中的概念更為抽象，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，學(xué)生在開始學(xué)習(xí)這些概念的時(shí)候總想知道這些概念的來(lái)源和應(yīng)用，希望在實(shí)際問題中找到概念的原型。事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)的微積分概念的形成中本身就滲透著數(shù)學(xué)建模思想。因此在數(shù)學(xué)概念的引入時(shí)，融人數(shù)學(xué)建模過程是完全可行的，每引出一個(gè)新概念，都應(yīng)有一個(gè)刺激學(xué)生學(xué)習(xí)欲的實(shí)例，說(shuō)明該內(nèi)容的應(yīng)用性。在概念引入教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)與概念緊密聯(lián)系的實(shí)際問題情境，讓學(xué)生了解概念的來(lái)龍去脈，同時(shí)展現(xiàn)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，引出數(shù)學(xué)概念，建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)地處理問題的方法。

如在導(dǎo)出定積分的概念時(shí)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：實(shí)際問題：①如何求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程？于如何求不規(guī)則圖形的面積？問題提出后引導(dǎo)學(xué)生建立模型。先看問題①，如果速度是不變的，那么，路程＝速度×?xí)r間。問題是這里的速度不是一個(gè)常數(shù)，所以上述公式不能用。我們可以這樣考慮：把時(shí)間段分為許多小區(qū)間，當(dāng)時(shí)間段分割的足夠小時(shí)，由于速度的變化是連續(xù)的，可以認(rèn)為各小區(qū)間段內(nèi)的速度是勻速的，即小區(qū)間內(nèi)的速度看作是一個(gè)常數(shù)，用這一小段的時(shí)間乘速度就是這一小段的近似路程，把所有小段時(shí)間的路程加起來(lái)就得到路程的近似值，要想得到精確的值，就要把分割無(wú)限地加細(xì)，使每個(gè)小區(qū)間段的長(zhǎng)度都趨于零，這時(shí)所有小區(qū)間段上的路程之和的極限就是所求的路程。再看問題于，求不規(guī)則圖形的面積，歸結(jié)為求曲邊梯形的面積的問題，類似問題①的分析，通過分割、近似、求和、取極限轉(zhuǎn)化為一個(gè)和式的極限：若該極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，從而抽象出定積分的概念。

（二）在應(yīng)用問題教學(xué)中滲透建模思想

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是高職數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)，是數(shù)學(xué)教學(xué)目的中的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是一種綜合能力，它離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、空間想象等基本的數(shù)學(xué)能力。應(yīng)把應(yīng)用問題的滲透和平時(shí)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，循序漸進(jìn)。在數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的培養(yǎng)中，應(yīng)特別重視學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，把數(shù)學(xué)應(yīng)用問題設(shè)計(jì)成探索和開放性試題，讓學(xué)生積極參與，在解題過程中充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題時(shí)，首先要建構(gòu)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模，然后用數(shù)學(xué)理論和方法找出結(jié)果并用于實(shí)際，這樣既可解決實(shí)際問題，又能促進(jìn)數(shù)學(xué)新思想、新理論的建立和發(fā)展。因此“數(shù)學(xué)建模”是溝通數(shù)學(xué)理論與實(shí)際的中介和橋梁，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力的重要手段，在教學(xué)過程中穿插建模能力訓(xùn)練對(duì)現(xiàn)實(shí)是十分必要的。培養(yǎng)學(xué)生建模能力是一種循序漸進(jìn)的過程，開始應(yīng)從簡(jiǎn)單問題入手，師生共同創(chuàng)建模型，引導(dǎo)學(xué)生初步掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)形式建構(gòu)模型的方法，培養(yǎng)學(xué)生積極參與和勇于創(chuàng)造的意識(shí)。隨著學(xué)生能力和經(jīng)驗(yàn)的增加，可通過實(shí)習(xí)作業(yè)或小組活動(dòng)的形式，由學(xué)生展開分析討論，分析每種模型的有效性，提出修改意見，討論是否有進(jìn)一步擴(kuò)展的意義。這樣可以糾正學(xué)生理解上存在片面性的問題，在不斷發(fā)展、不斷創(chuàng)造中培養(yǎng)信心。雖然高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于某些數(shù)學(xué)模型的建立略顯不夠。但只要花很短的時(shí)間補(bǔ)一下，還是可以解決問題的，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生如何將所學(xué)數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐相結(jié)合的能力。

例如，“微元法”是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最有實(shí)用價(jià)值的思想與方法之一，是高等數(shù)學(xué)得以廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)，也是應(yīng)用微積分描述實(shí)際問題，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中也發(fā)現(xiàn)許多工科的學(xué)生對(duì)利用“微元法”思想解決實(shí)際問題這部分內(nèi)容很感興趣。因此，要將它貫穿于課程教學(xué)的全過程。通過結(jié)合幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生命科學(xué)及軍事科學(xué)的大量實(shí)例，加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的歷史與現(xiàn)實(shí)背景的理解，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)去理解、描述實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的初步能力。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可安排講些諸如瞬時(shí)速度、切線斜率、邊際利潤(rùn)、邊際成本等求實(shí)際問題的例子；極值問題部分內(nèi)容可講些資源管理、最大利潤(rùn)、造價(jià)最低、征稅問題等；微分方程一章除了介紹課本中物理、幾何等方面的應(yīng)用題外，還可以插入生物增長(zhǎng)模型、生物競(jìng)爭(zhēng)模型等例子，這樣可以使學(xué)生在較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題中提煉微分方程，并且求解。以存貯模型為例，可設(shè)置如下的教學(xué)案例。

現(xiàn)實(shí)問題：已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。問題分析與思考：日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。先從具體入手：若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，則每天費(fèi)用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100＝4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，則平均每天費(fèi)用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100＝122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，則平均每天費(fèi)用2550元。那么，是否10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小?

現(xiàn)分析如下：若生產(chǎn)周期短，則每個(gè)周期產(chǎn)量小，貯存費(fèi)少，但準(zhǔn)備費(fèi)多；若生產(chǎn)周期長(zhǎng)，則每個(gè)周期產(chǎn)量大，準(zhǔn)備費(fèi)少，但貯存費(fèi)多。因此，存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小，這是一個(gè)優(yōu)化問題，需要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)。這顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為每天總費(fèi)用的平均值。

模型假設(shè)：①產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)；于每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為；③天生產(chǎn)一次（周期），每次生產(chǎn)件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；④為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。

把數(shù)學(xué)建模的思想引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，其主要目的是通過數(shù)學(xué)建模的過程來(lái)使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的思想和方法。

總之，數(shù)學(xué)建模解決問題的實(shí)質(zhì)是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法等與客觀世界相互作用，最終達(dá)到解決實(shí)際問題為目的的創(chuàng)造性活動(dòng)。建模的整個(gè)過程是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的綜合體現(xiàn)，也為培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力提高了一個(gè)有益的途徑。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想不但能夠激發(fā)大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，而且能夠發(fā)展大學(xué)生的辯證邏輯思維、創(chuàng)造性。