覆蓋粗糙集的偏序關系研究

單雪紅，吳 濤，張文軍，高顯彩

1.宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州 234000

2.安徽大學 數學科學學院，合肥 230039

3.宿州二中，安徽 宿州 234000

1 引言

粒計算通過對現實問題進行多角度、多層次的描述和理解，從而得到問題的粒結構表示，是研究復雜問題求解、海量數據的挖掘和不精確、模糊信息處理等的有效工具[1]。?；橇Ｓ嬎愕幕締栴}之一，在粒計算的研究中，根據問題?；玫降牧Ｗ娱g是否存在交集，將它們分別稱為覆蓋粒計算模型和劃分粒計算模型[1]，其中劃分粒計算模型，由于具有較好的理論基礎而被廣泛地研究。如經典的粗糙集理論就屬于劃分粒計算模型的研究范疇[2-3]。經典粗糙集理論是基于等價關系的硬劃分，即它的知識為論域上的劃分，也即知識中的概念之間不存在交集[2]，但在許多實際的應用中，知識中的概念一般都會存在交叉，所以基于等價關系的劃分要求就過于嚴格，這樣就限制了粗糙集的發展，所以有必要將粗糙集理論推廣到更一般的形式?；诟采w的粗糙集模型是經典粗糙集模型的推廣，由于更具有一般性，近年來受到研究者的關注，并取得了一定的研究成果[4-12]。

關于覆蓋粒度空間的層次模型研究，給出合理的偏序較細關系是關鍵，已有一些學者對該問題做了一些嘗試。Huang等[11]，Zhang等[12]分別定義了兩種不同的覆蓋上的偏序較細關系。隨后Hu等人分析發現以上兩種偏序較細關系都存在問題，對其進行了改進，提出了新的定義。但是，分析發現，Hu等[13]人提出的覆蓋上的偏序較細關系也不滿足覆蓋近似空間下的概念近似具有偏序關系是覆蓋近似空間本身具有偏序較細關系的充要條件，因此，本文重新定義了覆蓋上的偏序較細關系，并對其性質進行了研究，證明了該定義滿足覆蓋近似空間下的概念近似具有偏序關系是覆蓋近似空間本身具有偏序較細關系的充要條件。

2 基本概念

為了進行比較分析，先介紹覆蓋近似空間的相關概念和已提出的三種偏序關系的定義。

定義1[4]設U是非空有限論域，C是U的一個子集族，如果∪C=U且C≠?，則稱C是U的一個覆蓋，稱有序對(U，C)為覆蓋近似空間。

定義3[13]設(U，C)為覆蓋近似空間，對于任意集合X?U，也稱為U中的一個概念，則有下列定義：

因為劃分是一種特殊的覆蓋，所以Pawlak近似空間是覆蓋近似空間的一種特殊情況，當覆蓋近似空間退化為Pawlak近似空間時，覆蓋粗糙集模型也將退化為經典的粗糙集模型，因此覆蓋粗糙集模型是經典粗糙集模型的擴展[13]。

粗糙度ρC(X)的大小，反應了近似空間對X的刻畫能力的強弱。

一般的，若近似空間(U，C1)較近似空間(U，C2)更細，則近似空間(U，C1)對概念X?U的刻畫能力較近似空間(U，C2)更強，反之亦然，因此，可得覆蓋粒度空間上較細關系的3條公理[13]。

通過分析研究，發現Hu等人給出的第三種偏序較細關系的定義并不滿足公理1，如下例：

3 新的覆蓋上的偏序較細關系

根據上例的分析，加上Hu等人的分析，以上三種覆蓋上的偏序較細關系的定義都存在不合理之處，因此重新給出了一種偏序較細關系的定義。

該定義可直觀描述為對粒度較大的覆蓋塊進行了軟劃分。

(?)假設C1C2不成立，根據定義 9，則 ?x∈U，K1∈Mdc1(x)，對 ?K2∈Mdc2(x)，有，則K1與 ?K2有以下兩種關系：K1∩K2=?（因為x∈K1且x∈K2，所以K1∩?K2=?是不可能的，K1與K2僅相交，除K2?K1），或者K2?K1。顯然，K2在 (U，C2)下有K2，（1）若K1∩K2≠?，在 (U，C1)下，因為，所以（與條件矛盾）；（2）若K2?K1，在 (U，C1)下，即，因而（與條件矛盾）。

綜上可知，有C1C2成立，因此必要性成立。

定理2設C1和C2是非空論域U上的兩個覆蓋，C1C2當且僅當在覆蓋近似空間 (U，C1)和 (U，C2)下，對于?X?U，有

證明(?)設C1C2，則對 ?K1∈Mdc1(x)，都 ?K2∈Mdc2(x)，使得K1?K2，對 ?X?U，若K1∩X≠?，則K2∩X≠?，即，因此有。

定理1和定理2說明本文定義的覆蓋粒度空間的較細關系滿足公理1和公理2，這與人們對粒度的認知直覺是一致的。

4 結束語

覆蓋粒度空間的層次模型研究，關鍵是給出合理的偏序較細關系，現有的偏序較細關系定義都有其不足的地方。本文給出了一種新的偏序較細關系的定義，并證明其與覆蓋近似空間下的概念近似偏序關系是等價的。這些研究結果為實際問題的應用提供了理論依據。

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