查漏補缺：查漏補缺之圓錐曲線

朱斌

圓錐曲線是高考重點考查內容之一，主要涉及圓錐曲線的概念和性質、求軌跡方程、直線與圓錐曲線的關系、定值（最值）問題、參數問題等. 試題特別注重函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想在其中的運用. 本文對圓錐曲線知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

圓錐曲線的定義

（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？

作答：______________________

（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？

作答：______________________

（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e. 當01時，動點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，動點P的軌跡是拋物線.

橢圓的幾何性質

（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？

作答：______________________

（2）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？

作答：______________________

（1）①設P（x0，y0），F1，F2分別為其左、右焦點，則PF1=a+ex0，PF2=a-ex0；②過點F1（-c，0）的弦AB的長為AB=2a+e（xA+xB），過點F2（c，0）的弦AB的長為AB=2a-e（xA+xB），其中xA，xB分別為A，B兩點的橫坐標.

雙曲線的幾何性質

（1）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？

作答：______________________

（2）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？

作答：______________________

（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？

作答：______________________

拋物線的幾何性質

（1）與拋物線的焦點弦相關的四條性質，你還記得嗎？

作答：______________________

（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？

作答：______________________

以方程y2=2px（p>0）為例：

（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）.

直線與圓錐曲線的位置關系

（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？

作答：______________________

（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？

作答：______________________

（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？

作答：______________________

（1）若直線斜率存在，則聯立圓錐曲線方程和直線方程，消元后得到一元二次方程，可根據判別式Δ來判斷交點個數，最多只有兩個交點，最少無交點，可能為0，1，2個；消元后得到一元一次方程，只有一個交點. 若斜率不存在，則可用數形結合法判斷.

（3）求軌跡方程的主要方法有定義法、代點法、點差法、參數法、設而不求法等. ■

圓錐曲線是高考重點考查內容之一，主要涉及圓錐曲線的概念和性質、求軌跡方程、直線與圓錐曲線的關系、定值（最值）問題、參數問題等. 試題特別注重函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想在其中的運用. 本文對圓錐曲線知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

圓錐曲線的定義

（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？

作答：______________________

（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？

作答：______________________

（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e. 當01時，動點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，動點P的軌跡是拋物線.

橢圓的幾何性質

（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？

作答：______________________

（2）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？

作答：______________________

（1）①設P（x0，y0），F1，F2分別為其左、右焦點，則PF1=a+ex0，PF2=a-ex0；②過點F1（-c，0）的弦AB的長為AB=2a+e（xA+xB），過點F2（c，0）的弦AB的長為AB=2a-e（xA+xB），其中xA，xB分別為A，B兩點的橫坐標.

雙曲線的幾何性質

（1）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？

作答：______________________

（2）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？

作答：______________________

（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？

作答：______________________

拋物線的幾何性質

（1）與拋物線的焦點弦相關的四條性質，你還記得嗎？

作答：______________________

（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？

作答：______________________

以方程y2=2px（p>0）為例：

（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）.

直線與圓錐曲線的位置關系

（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？

作答：______________________

（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？

作答：______________________

（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？

作答：______________________

（1）若直線斜率存在，則聯立圓錐曲線方程和直線方程，消元后得到一元二次方程，可根據判別式Δ來判斷交點個數，最多只有兩個交點，最少無交點，可能為0，1，2個；消元后得到一元一次方程，只有一個交點. 若斜率不存在，則可用數形結合法判斷.

（3）求軌跡方程的主要方法有定義法、代點法、點差法、參數法、設而不求法等. ■

圓錐曲線是高考重點考查內容之一，主要涉及圓錐曲線的概念和性質、求軌跡方程、直線與圓錐曲線的關系、定值（最值）問題、參數問題等. 試題特別注重函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想在其中的運用. 本文對圓錐曲線知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

圓錐曲線的定義

（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？

作答：______________________

（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？

作答：______________________

（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e. 當01時，動點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，動點P的軌跡是拋物線.

橢圓的幾何性質

（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？

作答：______________________

（2）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？

作答：______________________

（1）①設P（x0，y0），F1，F2分別為其左、右焦點，則PF1=a+ex0，PF2=a-ex0；②過點F1（-c，0）的弦AB的長為AB=2a+e（xA+xB），過點F2（c，0）的弦AB的長為AB=2a-e（xA+xB），其中xA，xB分別為A，B兩點的橫坐標.

雙曲線的幾何性質

（1）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？

作答：______________________

（2）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？

作答：______________________

（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？

作答：______________________

（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？

作答：______________________

拋物線的幾何性質

（1）與拋物線的焦點弦相關的四條性質，你還記得嗎？

作答：______________________

（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？

作答：______________________

以方程y2=2px（p>0）為例：

（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）.

直線與圓錐曲線的位置關系

（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？

作答：______________________

（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？

作答：______________________

（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？

作答：______________________

（1）若直線斜率存在，則聯立圓錐曲線方程和直線方程，消元后得到一元二次方程，可根據判別式Δ來判斷交點個數，最多只有兩個交點，最少無交點，可能為0，1，2個；消元后得到一元一次方程，只有一個交點. 若斜率不存在，則可用數形結合法判斷.

（3）求軌跡方程的主要方法有定義法、代點法、點差法、參數法、設而不求法等. ■