迭代傅里葉算法用于六邊形稀疏陣列天線

劉恒　劉波　謝廣錢　趙宏偉

(中國空間技術研究院西安分院,西安 710100)

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迭代傅里葉算法用于六邊形稀疏陣列天線

劉恒劉波謝廣錢趙宏偉

(中國空間技術研究院西安分院,西安 710100)

摘要針對迭代傅里葉技術在優化稀疏陣列天線時對陣元激勵大規模截斷帶來的不利影響,提出了一種逐步截斷的迭代傅里葉算法．該算法從滿陣依次減少數個陣元,從而避免陣列大規模截斷陷入局部最優解．將其應用到六邊形平面天線陣列的稀疏布陣優化中,以改善最大副瓣電平為目的．為了計算六邊形天線陣的方向圖,通過在口徑中添加虛擬陣元轉化為可以實現二維傅里葉變換的矩形陣列．仿真結果表明,改進的迭代傅里葉算法對稀疏天線陣最大旁瓣電平的優化比采用遺傳算法的結果更理想,且具有計算量小和速度快等優點．

關鍵詞陣列天線;稀疏陣列;迭代傅里葉算法;副瓣電平

資助項目: 國家自然科學基金(61201089)； 國防重點實驗室基金(9140C530101130C53013)

聯系人： 劉恒 E-mail：liuheng@mail.nankai.edu.cn

引言

稀疏陣列天線是指從一個陣元周期分布的陣列中去除掉一些天線陣元,或者把這些陣元連接到匹配負載上．既可以減少陣列天線成本和重量,還可以獲得與滿陣排布相當的窄波束,當陣元等幅激勵時,稀疏陣列天線可以獲得比滿陣布置更低的副瓣電平．20世紀80年代,稀疏陣列天線已經在ESAR、HAPDAR、SBX等雷達系統中成功應用;目前,在衛星抗干擾的接收天線,高頻地面雷達天線和射電天文學中的干涉陣列等領域得到了越來越廣泛的應用．

隨著計算機的迅速發展,高效率的陣列天線稀疏優化技術已成為研究熱點,有遺傳算法[1-2]、粒子群算法[3-4]、進化差分算法[5-6]等各種智能進化算法,這些隨機搜索的進化算法往往需要長時間的進化運算才能達到工程滿意解．陣列天線稀疏優化是一個多極值問題,對于大型陣列天線,其搜索空間極大,由于計算機資源的限制和智能算法的隨機搜索本質,所得到的可能是工程不滿意解．2007年,荷蘭物理學家Keizer提出了迭代傅里葉技術(Iterative Fourier Technique, IFT),并把它應用于均勻激勵的直線[7]和平面[8-9]稀疏陣列方向圖綜合,取得了比傳統智能優化算法更低的最大副瓣電平(Maximum SideLobe Level, MSLL),且IFT還具有程序設計簡單、收斂速度極快的優點．由于在同等間距同等陣列口徑面積下,三角柵格陣列可以比矩形柵格陣列排布更多的陣元,近似圓形的六邊形平面陣列在均勻激勵時能夠獲得相對低的副瓣電平,在掃描時出現柵瓣的掃描角度更大,因此六邊形天線陣被廣泛應用在通信和雷達中[9]．目前國內外公開發表的文獻,應用IFT算法都是在對直線陣和矩形平面陣[10-11]進行稀疏布陣優化,未見文獻報道使用IFT算法對六邊形平面陣列天線進行稀疏布陣優化方面的工作．

在標準IFT的迭代過程中,通過調整遠場方向圖和口徑陣元的激勵,分別對它們做正向快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)和逆向快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)來優化陣列的輻射特性．在陣列方向圖施加IFFT獲得陣元激勵后,將其中具有較小激勵值的陣元一次性設為“關”狀態,容易使所得的解陷入局部最優解．本文提出一種改進IFT算法,從滿陣開始迭代,每次對陣因子作IFFT獲得陣元激勵后,依次增加數個處于“關”狀態的陣元,從而避免了對陣元激勵大規模一次性截斷帶來局部收斂的不足．為了對六邊形平面陣列的輻射問題進行了理論分析,通過添加虛擬陣元把六邊形陣列轉化為矩形陣列,把六邊形陣的陣元激勵與陣因子通過二維FFT聯系起來．然后將改進的IFT算法應用于1 027個陣元的六邊形平面陣列,進行稀疏優化以降低陣列天線的最大副瓣電平,并得到了滿意的結果,說明了此方法在工程應用中的有效性和可行性．

圖1　六邊形平面陣列天線結構圖

1六邊形陣列天線方向圖

六邊形天線陣列的幾何結構如圖1所示,它由按等邊三角形排列的天線單元組成．可以看出六邊形平面天線陣是由若干行橫向等間距的直線陣在縱向交替緊密排布組成,其每行的單元數量隨著遠離中心行依次遞減．對于一個由L個同心六邊形環陣組成的六邊形平面天線,其第一行的陣元數為L+1個;隨著行數的增加,每行的陣元數依次增一個,到L+1行的陣元數增加到最多的2L+1個;再隨著行數繼續增加,每行的陣元數則依次減少一個,到2L+1行的陣元數減少到L+1個．下面將利用六邊形平面天線陣的這一結構特性推導它的輻射方向圖的解析表達式．

由于六邊形平面陣列的每行在y方向是交替排布的,如果通過在每行的陣元中間添加一個虛擬的“陣元”,這樣就把六邊形平面陣列變換為矩形柵格的平面陣列．每行沿x軸方向間距dx=0.5d,每列沿y軸方向間距dy=0.5d·tan60°,d為正三角形排列的陣元間距．根據六邊形平面陣列的結構和添加的虛擬陣元的位置可知,對于一個由L個同心六邊形環陣通過在每一行單元中間添加虛擬陣元變化為一個2L+1行4L+1列的矩形柵格平面陣．由陣列天線理論可知,在不考慮互耦的情況下,輻射陣元為理想點源,六邊形陣列方向圖滿足乘積定理可以表示為

(n-1)dysinθsinφ].

(1)

式中: L為同心六邊形環陣的數量; k為波數; θ,φ分別為球坐標系的下俯仰角和方位角; Amn是第(m,n)個陣元激勵幅度．為了方便,把由M×N個陣元激勵組成的矩陣記著A,對于矩陣A與六邊形平面陣列不匹配的點,如添加的虛擬陣元和位于六邊形陣列孔徑外的點,其激勵幅度Amn=0．對于與陣列匹配的點,在稀疏優化過程中,當Amn=1,表示單元在工作;當Amn=0,表示單元被剔除．六邊形天線陣列(含有L個同心六邊形環陣)的滿陣單元數可由下式得到:

(2)

2IFT算法描述

2.1　陣列方向圖與FFT的關系

一個輻射陣元為理想點源,沿x軸方向的陣元間距為dx,y軸方向的陣元間距為dy的M×N元平面陣,在不考慮互耦的情況下,陣列方向圖滿足乘積定理,可以表示為

(3)

式中:Amn是第(m,n)個陣元激勵幅度,對于稀疏陣列,當Amn的取值為1,表示陣元處于“開”狀態時,此時該位置的陣元連接到饋電網絡;而當Amn的取值為0,表示陣元處于“關”狀態時,此時陣元連接到匹配負載．k=2π/λ,λ為自由空間波長.u=sinθ

cosφ,v=sinθsinφ是方向余弦,θ,φ分別為球坐標系的下俯仰角和方位角．令p=Mkdxu/2π+1,q=Nkdyv/2π+1,則式(3)變換為

(4)

由式(4)可以看出陣因子F與陣元激勵A之間存在IFFT關系F=MN×IFFT(A),這樣根據具體的問題,將(θ,φ)域的方向圖特性映射到(p,q)域中,就可以在(p,q)進行優化．

由u=sinθcosφ,v=sinθsinφ可得u2+v2=sin2θ≤1,在u,v坐標系下,可見區域與一圓區域相對應．對于不同間距的平面陣列,利用二維FFT計算出方向圖的可見區域，如圖2所示．當dx≤λ/2,dy≤λ/2時,可見區域為半徑為1的圓A;當dx>λ/2,dy<λ/2時,可見區域為半徑為1的圓與矩形D的交集;當dx<λ/2,dy>λ/2時,可見區域為半徑為1的圓與矩形C的交集;當dx>λ/2,dy>λ/2時,可見區域為矩形C與矩形D的交集．

圖2　可見空間區域示意圖

2.2　逐步截斷IFT算法

對于一個給定的稀疏陣,設Mtot表示陣列孔徑范圍內的陣元總數．T為IFT算法每一次迭代中,處于“開”狀態的陣元數目．本文提出的改進IFT算法不依賴于陣列激勵陣元的分布,設T=Mtot-i(i=0,1,…,N0),其中,i為迭代次數.N0為最大迭代次數.當i=N0時,T=Tmin,Tmin為處于“開”狀態的最少陣元數．隨著算法迭代次數的增加,T從Mtot依次減少到Tmin,每迭代一次,處于“開”狀態的陣元減少指定的個數,利用IFT算法綜合稀疏平面陣的詳細步驟如下：

1) 初始化陣元激勵A,使陣元激勵都取1,虛擬陣元與六邊形天線陣列口徑外的點Amn取0．

2) 對A施加K×K點二維IFFT得到陣列方向圖F,其中K>2*max(M,N)．

3) 在F的副瓣區域中,對于副瓣電平高于副瓣電平閾值(Sidelobe Level Threshold, SLLT)的采樣點,用SLLT的值替代．

4) 對更新后的F施加K×K點二維FFT,求出新的陣元激勵A．

5) 在A的K×K個采樣點中,保留和陣列結構匹配的M×N個采樣點的值,其余采樣點的值被置為0．

6) 根據當前陣列處于“開”狀態陣元數量的多少,把具有較大幅度值的T個陣元的激勵幅度值設置為1,其余的設置為0．

7) 判斷T是否滿足條件不大于Tmin,若不滿足,T=T-1,重復2)到6)的步驟;若滿足,記錄迭代過程中最小MSLL值和對應的稀疏陣列結構,試驗結束．為了使算法更快的收斂,如果第i次迭代的MSLL比i-1的高3 dB,試驗也結束．

3仿真實驗結果與分析

為了說明本文所改進的IFT算法的有效性,對一個有1 027個單元(L=18)的六邊形平面天線陣進行對稱與非對稱稀疏優化處理,以改善其最大副瓣電平．在仿真例子中,取d=λ/2,二維IFFT和FFT運算采樣點數K×K=512×512,最少激勵陣元數Tmin=0.4Mtot．由于SLLT的大小直接決定了優化解的優劣,因此需要選擇合適的值進行優化,在本文中,經過反復計算和分析,取SLLT為-31dB．

3.1　六邊形天線陣列對稱優化處理

由于正六邊形有六個對稱軸,位于對稱軸上的陣元具有6個對稱陣元,而位于非對稱軸上的陣元則有12個對稱陣元．如果在優化過程中,對6個或12個對稱陣元進行一次性截斷,所得的解很容易陷入局部最優解,且算法會很快滿足迭代終止條件而終止．因此只取圖1中關于x軸和y軸對稱的陣元進行一次性截斷．本小節給出了應用改進的IFT算法對六邊形陣列對稱稀疏優化后的陣元分布圖，如圖3所示．可以看出,優化得到的六邊形稀疏陣列符合陣列優化規律,即在優化陣列中,陣元的稀疏總是發生在陣列邊緣,而陣列中心的陣元一般不會被稀疏掉．優化后的陣元數T=487,在所有副瓣區域的MSLL為-27.03dB．與文獻[1]中對相同的六邊形稀疏平面陣列運用遺傳算法進行優化得到的兩個主面的MSLL為-26.4dB、陣元數T=517、填充因子f=50.34%,相比MSLL改善了0.6dB、陣元數減少了30個,其陣列成本和MSLL都得到了改善．圖4(a)為歸一化遠場方向三維方向圖,可視空間為u2+v2≤1．圖4(b)為u=0和v=0截平面的方向圖．

圖3　六邊形稀疏對稱陣列陣元分布圖

3.2　六邊形天線陣列非對稱優化處理

根據陣列的對稱特點采用對稱優化的處理方式,這樣降低了計算量,但同時限制了自由度．本小節應用改進的IFT算法對六邊形陣列稀疏非對稱優化,優化后陣元分布如圖5所示,陣元數T=537,對應的填充因子f=52.29%,在所有副瓣區域的MSLL降低為-28.46dB．同樣與文獻[1]相比,MSLL進一步改善了2dB,在與對稱稀疏優化的相比,副瓣得到了明顯的改善．這是由于陣元關于陣列中心非對稱分布,增加了可利用的優化自由度,更有利于提高六邊形稀疏天線陣列的副瓣性能．圖6(a)為歸一化遠場三維方向圖,其可視空間為u2+v2≤1．圖6(b)為u=0和v=0截平面的方向圖．

(a) 三維方向圖

(b) u和v截面方向圖圖4　對稱優化歸一化遠場方向圖

圖5　六邊形稀疏陣列非對稱優化陣元分布圖

3.3　算法收斂與速度分析

圖7給出了3.2節中運用改進的IFT算法對六邊形稀疏陣列非對稱優化的MSLL隨陣元數減少的變化情況．由圖可以看出,在T0=Mtot,即滿陣均勻激勵的情況下,最大副瓣電平為-16.64dB．隨著陣元數的減少,稀疏六邊形天線陣列的MSLL也逐步地下降.當T1=537時,陣列的MSLL為-28.46dB達到最小值,較六邊形平面滿陣天線的MSLL降低了11.8dB．當T=515時,MSLL有另外一個極值-27.53dB．隨著陣元數的進一步減少,MSLL不再降低,而在一定范圍內波動;當到達T2=430,MSLL迅速升高,優化結果急劇惡化,試驗結束．

(a) 三維方向圖

(b) u和v截面的方向圖圖6　非對稱優化遠場方向圖

圖7　MSLL的收斂情況

對于大型的平面陣列,在采樣點很多的情況下,采用陣列疊加原理計算陣因子的傳統的智能進化方法需要耗費很長的時間,其次還需要產生等于自由度數量數倍的種群數,在自由度很大的陣列中依次計算每個個體的適應度需要耗費大量的時間,甚至導致計算無法完成．IFT算法通過對陣元激勵做IFFT計算陣因子,再通過對調整后的陣因子做FFT來反算陣元激勵,因此具有計算速度極快的優點．IFT算法在優化陣列方向圖時,表1列出了FFT在計算本文所優化的1 027個陣元組成的六邊形陣列方向圖所需要的時間:在CPU為Q8300,內存為2G的電腦上．可以看出與陣列疊加原理比較,FFT計算二維方向圖綜合,具有優化時間短,操作簡單等優點．

表1　計算陣列方向圖的平均時間　　　s

4結論

本文提出了一種用于稀疏陣列天線綜合的逐步截斷IFT算法，該算法不依賴于初始陣元的分布,從滿陣迭代逐步剔除數個激勵幅度最小的陣元,從而更容易收斂至全局最優解．為了計算六邊形天線陣的方向圖,通過在口徑中添加虛擬陣元的方法,把六邊形陣列轉化為可以實現二維傅里葉變換的矩形陣列模型．然后利用改進后的IFT算法對六邊形陣列天線進行稀疏布陣優化,以改善陣列的最大副瓣電平性能為目的．優化所得到的六邊形平面稀疏陣列天線的輻射特性獲得了改善,為大型陣列天線的稀疏優化提供了有效途徑．該方法使計算量成倍減少,也可用于解決其他種類的矩形陣和三角陣平面陣列天線的稀疏布陣優化,具有很好的工程實用價值．

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劉恒 (1986-),男,湖南人,中國空間技術研究院博士研究生,研究方向:陣列天線設計與優化的研究．

劉波(1963-),男,湖南人,中國空間技術研究院研究員,博士生導師,研究方向:衛星總體設計方面的研究．

謝廣錢(1983-),男,江蘇人,中國空間技術研究院工程師,博士研究生,研究方向:導航衛星信號多徑影響及定量研究．

趙宏偉(1982-),男,山東人,中國空間技術研究院博士研究生,研究方向:空間譜估計、智能優化算法．

Iterative Fourier technique applied for Hexagon thinned array antenna

LIU HengLIU BoXIE GuangqianZHAO Hongwei

(ChinaAcademyofSpaceTechnology,Xi’an710100,China)

AbstractA modified iterative Fourier technique (IFT) is proposed for disadvantage of numerous elements truncated in the thinned planar arrays synthesis of standard IFT. The method initialized form filled arrays and decreased several elements step by step to avoid running into local optimization. Then the modified IFT is applied to design a low side lobe hexagonal planar array by thinning process. Virtual elements are added in the array for translating the array to rectangle for calculating the array factor of hexagon conveniently. The simulated results show that the performance of the hexagonal planar array is better comparing with using genetic algorithm, and also has the advantage of less computation and high speed.

Key wordsarray antenna; thinned array; iterative Fourier technique; sidelobe level

作者簡介

收稿日期：2015-01-21

中圖分類號TN958.93

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2015)06-1235-06