電磁學與電動力學中的磁單極—Ⅳ

王 青

(清華大學物理系，北京 100084)

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教學研究

電磁學與電動力學中的磁單極—Ⅳ

王 青

(清華大學物理系，北京 100084)

本文為作者磁單極系列文章的第4篇，該系列文章在電磁學和電動力學框架內用盡量科普的方式分別介紹磁單極的若干奇特性質.在本篇文章中作者討論用拓撲參量θ描寫磁電介質，發現在這種介質上出現了電荷與磁單極作為雙荷子共生的現象.如果進一步考慮到磁荷與電荷的量子化，則得到此介質的拓撲參量θ必須是π的分數或整數倍.

磁電介質；拓撲；雙荷子；磁單極

本文是在電磁學和電動力學中講解磁單極奇妙性質的第4篇文章.在前3篇文章[1-3]中分別介紹了磁單極在角動量方面的角色和作用，狄拉克磁單極及其與規范變換的關系，以及磁單極在作用量中的作用；在本文中介紹磁單極在磁電介質中所起的作用.本篇內容安排如下： 先在第1節作為鋪墊介紹真空中對給定電荷電流源的純電磁場系統的作用量；然后在第2節利用電磁場的作用量介紹磁電介質；在第3節證明這種介質中的自由電荷和自由磁單極會發生共生現象，即產生所謂的“雙荷子”，若進一步要求磁單極和電荷的量子化，磁電介質的參量必須有所限制.

1 真空中的電磁場作用量

如在上一篇文章[3]中所介紹的，絕大部分的物理系統都可以利用最小作用量原理來描寫，即使在有磁單極存在的情形下，作用量也是存在的，雖然這時要求作用量與磁單極相關的部分要向非物理區域擴展.我們先從真空中對給定電荷電流源的純電磁場系統的作用量開始討論.為明顯反映計算的洛倫茲協變性，將在閔科夫斯基空間進行討論，其中時空坐標用時空中的4矢量xμ代表，腳標μ的1，2，3分量合起來代表普通的空間坐標r，第4個分量是ict即復數i及光速c與時間t的乘積；而對時空坐標的微商用4矢量?μ代表，其中腳標μ的1，2，3分量合起來代表對普通的空間坐標的微商，第4個分量是；電磁勢用Aμ表達，前3個分量是普通的矢量勢A，第4個分量是其中φ是通常的標量勢.4度的電流密度用jμ表達，前3個分量是普通的電流密度j，第4個分量是icρ,其中ρ是通常的電荷密度.利用電磁勢可以進一步定義二階場強張量Fμ ν

由于有兩個分別可取4個值的角標μ和ν，此二階張量共有16個分量，在式(1)的右邊把這16個分量排成了一個4×4矩陣，并利用標準的電場強度與標量勢和矢量勢的關系E=-及磁感應強度與矢量勢的關系B=×A，把矩陣元用電場強度和磁感應強度表達出來了.式(1)定義的場強張量Fμ ν滿足如下方程:

這個方程非平庸的分量是真空中麥克斯韋方程組中的兩個無源方程:

利用電磁勢Aμ、場強張量Fμ ν和4度的電流密度jμ，可以寫出給定的電荷電流源(用jμ描寫)下的純電磁場系統的作用量S

其中μ0是真空的磁導率.時間積分dt和空間積分dV遍及整個時空.注意上式如果用習慣使用的電場強度、磁感應強度、電荷密度、電流密度、標量勢和矢量勢來表達則為

將式(4)給出的作用量對電磁勢Aμ求極值，得到方程

它的前3個分量和第4個分量分別給出真空中麥克斯韋方程中含源的兩個方程

其中ε0是真空的介電常數，它與前面引進的真空的磁導率μ0及光速c的關系為

其中εμ ν σ ρ是四階全反對稱張量，它在其4個指標分別取1，2，3，4及其偶數次置換時取值為1，奇數次置換時取值為-1，其他(2個、3個或4個指標取相同的值)為零.原則上這個項前還可以乘上一個任意常數.之所以沒有把式(9)所給的項加進作用量式(4)，是因為式(9)的右邊第二個表達式，它把這一項表達為一個對時空坐標的全微商，利用體積分和面積分的互換關系，這項只有在時空的邊界上才有貢獻.通常把時空邊界上的電磁勢取為零，因此這項對作用量沒有貢獻.注意這種只依賴于邊界的項通常在區域中有拓撲非平凡的場時會有貢獻，只是在真空中的電磁場在數學上可以證明總是拓撲平凡的，因此這項沒貢獻.

2 磁電極化介質的作用量

在上節說明了式(9)所引進的項在真空中對作用量沒有貢獻.如果考慮具有某種拓撲非平凡性質的介質，則式(9)所代表的項對此介質可以不為零.由此考慮某種特殊的介質，其對應的作用量為

上式中為了得到第二個等號，利用了麥克斯韋方程中的法拉第電磁感應定律式(3)中的第二個式子.從式(12)中可以讀出極化導致在此介質上極化電荷為

為了得到第二個等號，利用了麥克斯韋方程中的無磁單極的方程(3)中的第一個式子.結合電磁學電動力學中的極化強度P和磁化強度M與ρ′和j′的關系

注意對均勻介質(θ為常數)，ρ′和j′都只出現在介質的表面，j′還會出現在介質出現或消失的那個瞬間.將式(15)與式(13)和(14)進行對比，得到對此介質有

它們就是這種介質的電磁性質方程.注意在通常的介質中，極化強度P是由電場強度E驅動的，磁化強度M是由磁感應強度B驅動的，而對此介質卻反過來了，極化強度P是由磁感應強度B驅動的，磁化強度M是由電場強度E驅動的.具有這種扭曲的極化和磁化效應的介質叫磁電介質.它是近些年來凝聚態物理和材料科學的熱門前沿研究課題，人們在努力尋找和構造具有大的磁電效應(相當于大的θ值)的磁電介質.

3 磁電介質中的雙荷子

上節引進了一種磁電介質.并且知道如果這個介質是均勻極化和磁化的(也就是介質上的θ保持為常數)，介質中是沒有極化和磁化導致的電荷和電流的.現在討論如果在均勻極化和磁化的介質上通過某種方法加入了自由電荷或磁單極，看看會發生什么現象.為簡單起見，考慮介質上的j=0，這時式(11)簡化為

在上式兩邊同時取散度，方程左邊為零，方程右邊給出

注意到介質上某處體積V內的電荷q和磁荷(磁單極)g可以通過計算此體積上電場強度和磁感應強度的通量計算出來

將式(18)對體積V進行積分，并代入式(19)，得到

進一步如果引入第1篇文章[1]中關于磁荷g與電荷e的量子化結果ge=±4πn，則式(21)可以進一步化為

也就是我們預言在這種介質上的電荷是電子電荷乘以一個系數θ/π的整數倍.如果進一步要求電荷都必須是電子電荷的整數倍(例如q/e=m)，則這種介質的θ參量必須是π的分數或整數倍.通常這只有依靠量子場論的反常計算才能得到的結論，現在我們在電磁學和電動力學中得到了.在現實世界，近年來被熱炒的拓撲絕緣體就是其中的一種，它滿足θ=π.

4 結語

存在一種用拓撲參量θ描寫的磁電介質，此種介質上，電荷與磁單極共生形成雙荷子.如果進一步考慮到磁荷與電荷的量子化，拓撲參量θ必須是π的分數或整數倍.

[1] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅰ[J].物理與工程，2013，23(6):8-11.

[2] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅱ[J].物理與工程，2014，24(5):29-33.

[3] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅲ[J].物理與工程，2015，25(4):19-24.

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MAGNETIC MONOPOLE IN ELECTROMAGNETISM AND ELECTRODYNAMICS—Ⅳ

Wang Qing

(Department of Physics,Tsinghua University,Beijing 100084)

This is the forth paper in the series of magnetic monopole.These series include four individual papers,in which some peculiar properties of magnetic monopole will be introduced as popular science in the frameworks of electromagnetism and electrodynamics.In this paper,we discuss magnetoelectric media described by topological parameterθ,prove the coexistence of charge and monopole as dyon.If further introduce the quantization of charge and monopoles,we show that topological parameterθmust be fraction or integer times π.

magnetic monopole;magnetoelectric media;topology;dyon

2015-05-21

王青，男，教授，主要從事理論物理的科研和教學工作，研究方向為量子場論與基本粒子理論.wangq@mail.tsinghua.edu.cn