關于單原子自旋與轉動自由度的教學探討

聶 婭 向 鋼 張 析 王 磊

(四川大學物理科學與技術學院，四川 成都 610064)

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關于單原子自旋與轉動自由度的教學探討

聶 婭 向 鋼 張 析 王 磊

(四川大學物理科學與技術學院，四川 成都 610064)

在熱學課程的教學實踐中我們發現，因學生對于微觀原子概念的理解仍然停留在宏觀的經典力學物理模型中，當討論氣體分子的自由度時，單原子的自旋和轉動自由度等問題就會對積極思考的學生帶來困惑.鑒于此，本文對單個原子的自旋與轉動自由度進行了簡要探討，并區分量子自旋與經典物理的自轉運動，強調自旋是微觀粒子的內稟屬性，沒有經典概念與之對應，并指出將原子視為質點的簡化假設有助于低年級學生掌握關于原子自由度的基本概念與物理圖像.

原子；自旋；自轉運動；自由度

大學普通物理課程熱學，是物理學專業低年級學生必修的一門專業基礎課.課程旨在讓學生了解從實驗到相關理論的形成過程，掌握基本的物理概念及物理規律，并為后續的骨干專業課，即四大力學之一的熱力學·統計物理，打下基礎.但是作為基礎課，其任務不僅僅是為了后續課程的需要，更深層次的意義在于幫助學生了解物理現象的本質，建立正確的物理圖像.因此我們可以說，普通物理的教學主要是培養學生對物理圖像的直觀把握，而四大力學則在此基礎上進行高屋建瓴的規律總結，構建完整的理論體系，二者是相輔相成的.由于原子概念在熱學中是最基本的概念之一，所以本文重在厘清原子的物理圖像，尤其是關于原子自旋自由度的物理圖像，從而幫助低年級學生在初學階段就建立起關于原子正確的量子物理圖像.

1 問題的提出

在熱學課程中，講解基于經典物理的能量均分定理時會涉及自由度的概念[1].一般教材及教學論文[2，3]中實質上假設原子為質點，不涉及其具體結構，但對此假設未詳細說明原因.在此前提下，自由的單原子分子具有3個平動自由度，無轉動自由度；而雙原子及多原子分子除了質心的平動自由度之外，還有原子之間的相對振動自由度，以及相對于原子之間連線軸的轉動自由度.然而，在實際教學過程中，積極思考的學生對于原子的質點假設往往感到困惑，會提出如下問題:如果按經典物理圖像將原子視為一個均勻的球體，則應考慮其繞中心軸的自轉運動，那么單原子分子是否除了平動自由度外，還應該具有轉動自由度呢？這是一個非常好的問題，它正好涉及了經典物理和量子物理的微妙區別.

單個原子是否具有轉動自由度呢？或者換一個說法，原子是否具有類似于經典物理中陀螺的自轉運動呢？為了給剛剛接觸到大學物理的低年級大學生一個比較清晰易懂的回答，我們不妨先追本溯源，從量子物理的歷史，尤其是關于自旋部分的歷史開始講起.

2 電子的自旋與自轉運動

在電磁學部分，講磁性本源時會提到安培的分子環流假說[4].所謂分子環流是由原子、分子等微觀粒子內電子繞核軌道運動和電子的自旋所形成.事實上，電子的自旋是最早被實驗確認的微觀世界中的自旋現象，電子自旋的發現是量子物理的重要成就之一.

其中J為均勻球體繞自轉軸的轉動慣量，me為電子質量.據此不難證明，若電子作自轉運動，假想其表面的切向速度v=ωr～1012m/s，其值遠大于光速，這違反了愛因斯坦的狹義相對論，故微觀粒子的自旋不是源自經典物理圖像的自轉運動.人們對客觀規律的認識總是需要一個過程.盡管烏倫貝克與古茲密特最初對電子自旋的認識與理解是不正確的，但是他們的工作對于微觀世界中粒子自旋的研究仍然具有重要的啟發意義.

圖1 電子的軌道角動量l及軌道磁矩μl圖2 電子的自旋角動量s及自旋磁矩μs

圖1 電子的軌道角動量l及軌道磁矩μl圖2 電子的自旋角動量s及自旋磁矩μs

3 原子的自旋自由度與轉動自由度

下面討論微觀世界中的原子.原子是由非常小的原子核與繞核做幾率運動的電子組成的.電子的幾率運動通常用電子云來描述，電子云在某處的密度表示在該處可能發現電子的幾率大小，但電子云并不是電子同時占據的實際位置，其形狀也不一定是球體.這與一部分量子力學初學者想象中的源自經典物理思維的原子圖像，即一個微小球體，是完全不一樣的.因此，對于本文開頭提出的問題，我們可以給出明確的答案:單個的原子，是沒有類似于經典物理圖像中的陀螺繞自身轉軸的自轉運動的，當然也沒有與之對應的轉動自由度.

為加深理解經典物理中的自轉運動與量子物理中自旋的差異，我們可以進一步提出另一個問題:單個的原子是否具有自旋自由度呢？答案是肯定的.因為組成單個原子的原子核與電子具有自旋自由度，因此單個原子具有自旋自由度，也具有對應的自旋角動量，以及自旋磁矩.而原子的總磁矩，是其內部所有電子的軌道磁矩、自旋磁矩和核磁矩的矢量和.由于核磁矩很小，通?？梢院雎圆挥?，故所有核外電子繞核所做的軌道運動角動量與所有核外電子的自旋角動量的矢量和，給出了單個原子的磁矩.用μe表示單個電子的總磁矩:

式中，l和s分別為軌道角動量和自旋角動量；ge,l和ge,s分別為電子的軌道角動量和自旋角動量的g因子(朗德g因子)，ge,l=1,ge,s=2.于是單個原子的磁矩則可以表示為所有核外電子的總磁矩的矢量和.

在沒有外加磁場的情況下，原子的自旋自由度對能級差異無貢獻(即能級是簡并的)，因而也不會對單原子分子氣體熱容量有貢獻，故應用能量均分定理時不計算原子的自旋自由度.若有外加磁場，則帶有自旋的粒子(原子、分子或離子等)的能級將發生劈裂，假設此能級的劈裂為E.自旋自由度對熱容量是否有貢獻，需要考慮此能級劈裂E與測量熱容量的溫度T對應的熱激發能量kBT(kB為玻耳茲曼常量)之間的關系.如果kBT?E，則熱激發能量很難使粒子從低能級激發到高能級，能級劈裂對能量改變的貢獻可忽略不計，因此對熱容量的貢獻接近為零，可以不考慮自旋自由度對熱容量的貢獻.如果kBT與E相當，或者比E更大，則熱激發能量很容易使粒子從低能級激發到高能級，此時能級劈裂對熱容量的貢獻不可忽略，必須考慮自旋自由度對熱容量的貢獻[6].當然，為了便于本科生掌握熱容量的基本概念，目前為止國內外的傳統的熱力學教材中對熱容量的討論僅限于無外加場的情況.

4 結語

綜上所述，我們在熱學課程中討論氣體分子的自由度時，應注意區分量子物理圖像與經典物理圖像的微妙差異，不可將原子想象為具有自轉軸的經典球體，而應秉持量子物理的基本概念與圖像來分析原子狀態，正確認識其內稟的自旋自由度.嚴格的量子力學分析認為，單個的自由原子是沒有轉動自由度的，這個結論與基于原子為質點的假設得到的結論是一致的.從這一點上而言，考慮到剛剛進入大學的本科生尚未系統學習量子力學，將原子假設為質點，是一個可以接受的簡化假設，是一個權宜之計.對于學生因此產生的困惑，我們建議可從量子物理發展歷程中對自旋的曲折認識過程講起，最后落實到原子的質點簡化假設的合理性上來，在此過程中著重區分經典物理圖像與量子物理圖像的微妙差異.我們希望學生掌握的一個基本原則是，在微觀世界里，實踐證明量子力學是目前為止唯一正確的物理規律，而量子物理圖像是唯一正確的物理圖像.

[1] 李椿,章立源,錢尚武.熱學[M].2版.北京:高等教育出版社,2012.

[2] 竇志國.關于能量均分定理的教學[J].物理與工程(原工科物理),1995,3:6-7.

[3] 徐勞立.關于能量均分定理的討論[J].物理與工程,2005,15(6):61-62.

[4] 趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

[5] 楊福家.原子物理學[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

[6] 張可言.自旋為1/2的粒子系統在磁場作用下的熱容量[J].重慶師范學院學報(自然科學版),1989,6(1):38-40.

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EXPLORATORY DISCUSSIONS ON THE TEACHING OF SPIN AND ROTATIONAL DEGREES OF FREEDOM OF SINGLE ATOM

Nie Ya Xiang Gang Zhang Xi Wang Lei

(College of Physical Science and Technology,Sichuan University,Chengdu,Sichuan 610064)

During the teaching practice of the thermology course,we find that some students tend to think of microscopic atoms in the classical Newtonian model.Thus,when we discuss the degrees of freedom of gas molecules,the students who think actively will get confused with the concepts of atom spin and the rotational degree of freedom.For this reason,the spin and rotational degrees of freedom of single atom are discussed in this paper.The difference between the physical picture of quantum mechanical spin and the physical picture of classical Newtonian mechanical rotation is explored.We point out the spin of microscopic particles is an intrinsic property,which has no corresponding concept in classical physics.And we conclude that the simplified model that assumes the atom as a particle is appropriate for entry-level undergraduates in the sense that it can assist them to understand the basic concept and physical picture of atomic degrees of freedom.

atom;spin;rotation;degree of freedom

2015-04-14

聶婭，女，副教授，主要從事基礎物理教學及研究工作.nieya1104@scu.edu.cn

向鋼，男，教授，主要從事凝聚態物理的科研和教學工作，研究方向為自旋電子學.gxiang@scu.edu.cn