2015 年高考江蘇數學卷19 題解法探究

朱允洲

（江蘇省徐州高等師范學校）

朱允洲

（江蘇省徐州高等師范學校）

題目：已知函數f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），

（1）試討論f（x）的單調性；

（2）若b=c-a（實數c 是與a 無關的常數），當函數（fx）有三個不同的零點時，a 的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪（1）∪（，+∞），求c 的值。

本題考查了函數的零點、導數的運算、函數的極值等知識，涉及函數與方程、數形結合和分類討論以及化歸與轉化的數學思想，同時考查了學生對多參數問題的分析處理的能力。下面給出幾種與標準答案不同的解法。

解（1）略

（2）法1：顯然，a=0 不合題意。對（fx）求導，f（′x）=3x2+2ax，令f（′x）=0，得x=0，或x=-，易知0，-是函數的兩個極值點，函數（fx）有三個不同的零點?（f0）·（f-）＜0，即（a-c）（a3-a+＞0，因為此不等式的解集恰好為（-∞，-3）∪（1，∪，+∞），此處求解可有兩種思路：

思路一 （方程法）

方程（a-c）（a3-a+c）=0 的根應為：a=-3，1，（二重根），將它們帶入方程得：c=-3，1，經檢驗只有c=1 時，上述方程的解為：-3，1。

思路二 （待定系數法）

當c=1 時，（fx）=x3+ax2+1-a=（x+1）（a-1）x+1-a因（fx）有三個不同的零點，故x2+（a-1）x+1-a=0 有兩個異于-1 的根，于是由Δ＞0 及1+（a-1）（-1）+1-a≠0，得a 的取值范圍（-∞，-3）∪（1，）∪，+∞）。綜上，c=1。

法2：由x3+ax2+1-a=0，得x3+ax2=a-c，令p（x）=x3+ax2，q（x）=ac，函數（fx）有三個不同的零點，等價轉化為兩函數p（x）與q（x）的圖象有三個不同的交點。p（′x）=3x2+2ax，令p（′x）=0，得x=0，或x=-，且易知其為p（x）的兩個極值點，①當a＞0 時，p（x）極大值=p（-=-，p（x）極小值=p（0）=0，應有0＜a-c＜，即a-＜c＜a 恒成立，?a∈（1）∪（，+∞），于是（a-）max＜c＜amin，即1≤c≤1，所以c=1。②當a＜0 時，p（x）極大值=p（0）=0，p（x）極小值=p=，應有＜a-c＜0，即a＜c＜a-恒成立，?a∈（-∞，-3），于是amax＜c＜（a-min，即-3≤c≤1。綜上，由①②得c=1，經檢驗c=1滿足題意。

法3：設函數（fx）=x3+ax2-a+c，由f（′x）=0，得x=0，或x=-，當a＞0 時，（fx）極大值=-a+c，f（x）極小值=c-a；當a＜0 時，f（x）極小值=-a+c，（fx）極大值=c-a。令h（a）=-a，易知其圖象關于原點對稱（如圖），且h（=-1，h=0。將h（a）的圖象上下平移個單位，有：

函數（fx）有三個零點等價于［h（a）+c］·（c-a）＜0。考慮a＜0 情況，由h（a）＜0 得：a∈（-∞，-，而h（a）+c=-a+c＜0 的解集為（-∞，-3）（**），由（*）式知由h（a）向上平移c 個單位，同時ca＞0。由（**）式知-3 為方程-a+c=0 的根，得c=1，將c=1 帶入原函數（fx）檢驗符合題意。

注：

1.由h（a）圖象平移的對稱性知：當函數（fx）有三個不同的零點時，若a∈（-∞，-∪（-，-1）∪（3，+∞），則c=-1；特別地，若a∈（-∞，-，+∞），則c=0；

2.若函數（fx）有三個不同的零點，將h（a）的圖象向上平移（c＞0）個單位與向下平移個單位，則a 的取值范圍關于原點對稱。