一類特殊四面體的探究

林龍英

（廣東省佛山市順德區中等專業學校）

我們知道直角三角形在三角形當中是一類特殊的三角形，具有很大的研究價值，得到了很多有用的結論。那么在推廣到三維空間，在所有的四面體中也有一類比較特殊的四面體叫做直四面體，經常在各類高考模擬考試中出現，本文對其進行探討，得到一些重要的結論.

直四面體的定義：如圖1 所示，在四面體P-ABC 中，側棱PA，PB，PC 兩兩相互垂直，我們稱這樣的四面體為直四面體，以下是基于直四面體的研究得到的結論.

圖1

一、海倫公式的變形

引理：在△ABC 中∠A，∠B，∠C 所對的邊長分別為a，b，c，s=，S 表示△ABC 的面積，則有S=；我們稱為海倫公式，對其進行等價變形后會得到一些等價的形式。

二、結論

為了研究方便，如圖2 假設直四面體P-ABC 的側棱PA，PB，PC 的長度分別為m，n，t，容易證明PA⊥面PBC，PB⊥面PAC，PC⊥面PAB；三角形PBC，PAC，PAB 都是直角三角形.

圖2

結論1：S2PAB+S2PBC+S2PAC=S2ABC

證明：∵側棱PA，PB，PC 的長度分別為m，n，t，且三角形PBC，PAB，PAB 都是直角三角形.

∴SPAB=mn；SPBC=nt；SPAC=mt；

結論2：假如在棱AB，BC，AC 邊上分別取中點D，E，F，如圖3則有：S2PDC+S2PAE+S2PBF=2S2ABC

圖3

證明：∵D 是AB 的中點，且△PAB 是直角三角形；

∴SPDC=·t；

同理可得：SPAE=·m；SPBF=

由前面可知：SABC=

即S2PDC+S2PAE+S2PBF==2S2ABC

結論3：假如在結論2 中的棱AB，BC，AC 邊上的中點D，E，F 分別改為棱AB，BC，AC 的垂足，則有：

證明：∵△PAB 是直角三角形，對△PAB 的面積算兩次即，

∵PC⊥面PAB；∴PC⊥PD；∴△PDC 是直角三角形；∴SPDC=PD·

同理可得：SPAE=

結論4：假設如圖4 側面PAB，PBC，PAC 與底面ABC 的二面角分別為α，β，γ，則有sin2α+sin2β+sin2γ=2；cos2α+cos2β+cos2γ=1.

圖4

證明：如圖4 所示，作PO⊥面ABC 于點O；對四面體的體積算兩次，即VP-ABC=S△ABC·PO=S△PAB·PC，由前面可知SABC=

∴sin2α=

同理可得：sin2β=

∴sin2α+sin2β+sin2γ==1；

cos2α+cos2β+cos2γ=3-（sin2α+sin2β+sin2γ）=3-1=2

證明：將四面體P-ABC 補全為長方體（如圖6 所示）；則四面體的外接球與長方體的外接球相同，而長方體的外接球半徑R=（證明略），所以直四面體的外接球半徑R=

即，sin2α=，

同理可得：sin2β=，sin2γ=

cos2α+cos2β+cos2γ=3-（sin2α+sin2β+sin2γ）=3-2=1

結論5：如果四面體的三條棱PA，PB，PC 分別與底面ABC 所稱的角分別記為α，β，γ（如圖5），則sin2α+sin2β+sin2γ=1；cos2α+cos2β+cos2γ=2

圖5

圖6

假設內接球的半徑為r，對四面體的體積算兩次，

徐晨，陸智明，羅華，等.對一個特殊四面體性質的研究［J］.中學理科，2000（09）.