初高中銜接中對二次函數的探究

劉娟麗

（江西省萍鄉市上栗中學）

二次函數是初高中重點內容，在新課改下，由于初中有些問題未涉及而影響學習數學的興趣。下面結合自己多年的教學實踐，探究初升高二次函數教材銜接的問題。

一、十字相乘

十字相乘（因式分解）是初中必須掌握的，可速解一元二次方程，還能理解二次函數解析式中的兩根式f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。教學中不能僅局限于二次項系數是1的，如12x2-5x-2，聯想到12x2-5xy-2y2進一步聯想到如：（x2+x）2-4（x2+x）-12，令t=x2+x，原式=（t-6）（t+2）把二次問題拓展到三次的因式分解，但不宜復雜，如：x3-3x2+2x=x（x-1）（x-2）；又如：巧拆項再分解=x3-3x-2=x3+1-3（x+1）=（x+1）（x+2）（x-1）。

二、一元二次方程

1.數形結合思想。一元二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是對應一元二次方程的根,結合函數的圖象由判別式Δ符號確定方程根的個數。若Δ＞0，基本都可因式分解確定根，不能因式分解用求根公式；若Δ＜0無根；若Δ=0一根。

2.韋達定理。一元二次方程的根與系數的關系可以用韋達定理中兩個式子體現。設，則聯想到：

三、二次函數的性質

由于圖象直觀性，教學中應強調并要求學生會數形結合分析其性質。如：開口，對稱軸，頂點，最值，增減性，會寫二次函數頂點式。拓展到給定區間求最值問題，如y=x2-3x+1，分別求在-1≤x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3上函數最大值、最小值。也可涉及簡單的含參數問題。

①a___0；②c___0；③ab___0 ④a+b+c___0

例2.y=x2+bx+1在-3≤x≤3是減函數，則b的范圍（ ）.

例3.求y=-x2+2ax+1，-1≤x≤1的最大值。

本題注意對稱軸x=a，未知a與-1和1的大小關系，故分三種情況討論。

四、一元二次不等式的解法

（1）確定ax2+bx+c=0（a≠0）的根，但當對于二次方程根不明顯的情況下可利用判別式Δ符號畫出函數簡圖解相應不等式。二次函數的圖象在x上方滿足不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解，在x下方就滿足不等式ax2+bx+c＜0的解。可涉及簡單含參的不等式，如：x2-ax≥0，又如：ax2-x≤0；甚至可以聯想到簡單的含參問題：kx2+x+1＞0對任意的x恒成立，求k的取值范圍。這是高中參數不等式恒成立的熱點問題。

以上（1）（2）兩個內容在高中階段會強化并熟練掌握。

總之，在二次函數的學習中培養學生利用函數的圖象解決一元二次方程，讓學生體會數形結合的數學思想。不等式及函數性質的題型及含參數的不等式問題，應分析開口和判別式的符號，讓學生感知分類討論和化歸轉化的數學思想。