石墨烯約瑟夫森電流的推導與計算

李瑞琴　李東翔　甘　松

(1、2、3.安順學院數理學院，貴州　安順561000)

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石墨烯約瑟夫森電流的推導與計算

李瑞琴1李東翔2甘松3

(1、2、3.安順學院數理學院，貴州安順561000)

摘要：結合相對量子力學的狄拉克方程和超導體的Bogoliubov-de Gennes(BdG)方程，文章通過緊束縛近似，得到了石墨烯哈密頓量的BdG方程，通過對這個BdG方程進行自洽求解，研究了石墨烯SNS (superconductor-normal conductor-superconductor) Josephson結中的約瑟夫森電流。

關鍵詞：石墨烯；緊束縛近似；約瑟夫森電流

引言

自2004年，K.Geim等人成功制備出二維單層石墨烯以來，由于石墨烯特殊的電子特性，吸引了大量科學家們對其理論和應用方面的研究，很快對石墨烯這種材料的研究成為凝聚態物理研究的熱點[1-4]。文章主要以二維石墨烯的晶體結構為基礎，利用平均場近似的方法，得到石墨烯的BdG方程，然后對BdG方程進行自洽計算求解，從而研究由石墨烯組成的Josephson結(超導石墨烯-普通石墨烯-超導石墨烯)中的約瑟夫森電流。通過對石墨烯約瑟夫森電流的研究對石墨烯的超導電性的研究起一定的指導意義[5]。

1模型

為了研究石墨烯SNS約瑟夫森結中的約瑟夫森電流，圖1為基于石墨烯的二維晶格結構圖。根據石墨烯的晶體結構，利用有效緊束縛近似，采用平均場近似(Hartree-Fock)的方法，石墨烯的哈密頓量可寫為[6]

(1)

其中，s波超導配對勢

(2)

由于二次量子化下的超導準粒子庫伯對的哈密頓算符不能直接對角化，所以平均場哈密頓量(2)式需要通過以下的二維波戈留波夫正則變換：

(3)

對角化后的哈密頓量就可寫為：

(4)

利用準粒子費米子算符和滿足的反對易關系，另外再根據(4)式，推出以下的對易關系：

[H，γvσ]=-Evγvσ

(5)

如果用k來標記晶格中的某一原胞，則在此原胞中湮滅一個自旋為σ′的A類原子的電子的算符,可表示為fkσ′從而可以得出:

[H,fkσ′]=

(6)

[H,gkσ′]=

(7)

考慮到玻戈留波夫變換(3)式，得出:

[H,fk↑′]=

(8)

另外，[H,fk↑]的另一種表達形式可以表示為：

(9)

比較(8)式和(9)式，可以得出：

(10)

同理，可得另一組方程

(11)

按照圖1原胞標記方式，將(10)和(11)兩式的k對應于圖1中的(n,m)，擴展到整個晶格系統，易得出整個系統的哈密頓量。

下面推導石墨烯中超導配對勢的自洽表示。根據費米子準粒子算符γ和γ+滿足的平均值關系，則費米狄拉克分布函數f(En)滿足如下形式:

(12)

結合(3)式和費米子準粒子算符γ和γ-1滿足的平均值關系，可以得出

(13)

(14)

因此，石墨烯超導配對勢的自洽條件(2)式可寫為

(15)

根據費米子準粒子γ和γ+滿足的反對易關系和平均值關系，以及費米狄拉克分布函數滿足的(12)式，考慮石墨烯的鋸齒型邊界，每個橫截面的約瑟夫森電流

(17)

(18)

3模擬計算的結果與討論

文章通過改變石墨烯SNS約瑟夫森結中超導區S區和正常導電區N區的化學勢，研究了約瑟夫森結中的約瑟夫森電流，如圖2所示。由圖可得石墨烯SNS約瑟夫森結中的約瑟夫森電流與S區和N區的化學勢的選取有關，當S區和N區的化學勢都位于范霍夫奇點時，其約瑟夫森電流最大。另外，文章又通過改變約瑟夫森結長度，研究了其約瑟夫森電流的變化，如圖3所示。從圖中可以看出，約瑟夫森電流與其約瑟夫森結的長度也有關，約瑟夫森結中間的正常導電區域越短，約瑟夫森電流越大。導致其結果的主要原因是由于約瑟夫森結中超導區S區和正常導電區N區界面存在近鄰效應和Andreev反射。

4結論

總之，通過研究發現石墨烯SNS約瑟夫森結中約瑟夫森電流會受到SN界面的近鄰效應和Andreev反射的影響。因此，在以后研究石墨烯SNS約瑟夫森結中的其他超導電性，都不能忽略其界面中的近鄰效應和Andreev反射的影響。

參考文獻：

[1]K. S. Novoselov, A.K.Geim, S. V. Morozov, et al. Electric field effect in atomically thin carbon films [J]. Science, 2004, 306: 666~669.

[2]H. B. Heersche , Pablo Jarillo-Herrero, Jeroen B. Oostinga, et al. Bipolar supercurrent in graphene[J]. Nature (London), 2007,56:446.

[3]Bruno Uchoa, A. H. Castro Neto.Superconducting States of Pure and Doped Graphene[J]. PRL, 2007,98:146801~146805.

[4]P.G.de Gennes. Superconductivity of Metals and Alloys[M].

Los Angeles: Westview Press,1999, 137~159.

[5]M. Annica. Black-Schaffer. Self-consistent solution for proximity effect and Josephson current in ballistic graphene SNS Josephson junctions[J]. Phys. Rev. B, 2008, 78:024504~024511.

[6]A. H. Castro Neto F. Guinea, N. M. R. Peres, et al. The electronic properties of graphene[J]. Rev. Mod. Phys., 2009,81:109~162.

(責任編輯：王德紅)

2.李東翔(1987.03～)，山西長治人，安順學院數理學院講師。研究方向：離子物理。

The Deduction and Calculation of Josephson Current in Graphene SNS Josephson Junctions

Li Ruiqin1Li Dongxiang2Gan Song3

(1、2、3.School of Mathematics, Anshun University,Anshun561000,Guizhou,China)

Abstract：Combined with the relative quantum mechanics of the Dirac equation and superconduct of Bogoliubov-de Gennes (BdG) equation we get the Bogoliubov-de Gennes (BdG) equation of the tight-binding Hamiltonian for the graphene lattice system.Based on the self-consistent solution of the BdG equations, we investigate the Josephson current in SNS (superconductor - normal conductor -superconductor ) Josephson junction of graphene .

Key words:Graphene；Tight-binding approximation；Josephson current

中圖分類號：O472

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9507(2015)01-0122-03

作者簡介：1.李瑞琴(1986.07～)，山西呂梁人，安順學院數理學院講師，碩士。研究方向：理論物理。

收稿日期：2014-11-20