磁場調(diào)制式永磁齒輪齒槽轉(zhuǎn)矩分析

葛研軍，王 玥，孫磊道

(1.大連交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028;2.大連天運電氣有限公司，遼寧 大連 116020)*

0 引言

磁場調(diào)制式永磁齒輪(Field Modulated Permanent Magnetic Gear，F(xiàn)MPMG)的永磁體利用率高、轉(zhuǎn)矩密度大，與機械齒輪相比具有輕載啟動及過載保護特性，并且維護成本低，是一種高效的新型傳動裝置［1-3］.FMPMG主要由調(diào)磁極塊、內(nèi)磁圈轉(zhuǎn)子(內(nèi)轉(zhuǎn)子)和外磁圈轉(zhuǎn)子(外轉(zhuǎn)子)三層同心部件組成.調(diào)磁極塊在內(nèi)、外轉(zhuǎn)子間的空隙內(nèi)沿圓周方向均勻分布，對轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁場進行調(diào)制，使內(nèi)外轉(zhuǎn)子的諧波磁場相互匹配實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速傳遞.但調(diào)磁極塊在調(diào)制氣隙磁場時也會與永磁體相互作用產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩并增大轉(zhuǎn)矩波動，對FMPMG的動力學(xué)性能產(chǎn)生較大影響［4］.因此如何減小齒槽轉(zhuǎn)矩是決定FMPMG性能的關(guān)鍵技術(shù)之一.

目前絕大多數(shù)文獻僅對FMPMG的調(diào)制機理、結(jié)構(gòu)參數(shù)、渦流損耗以及傳遞效率等方面進行研究［5-10］，而對齒槽轉(zhuǎn)矩的研究與分析相對較少.文獻［11］建立了FMPMG齒槽轉(zhuǎn)矩數(shù)學(xué)模型，并通過有限元仿真及樣機實驗對該模型的準確性加以驗證，但并未對減小齒槽轉(zhuǎn)矩的修型方法深入研究;文獻［12］將FMPMG內(nèi)轉(zhuǎn)子與阻尼繞組結(jié)合，通過結(jié)構(gòu)創(chuàng)新使FMPMG傳遞動力時產(chǎn)生阻尼轉(zhuǎn)矩，以此抑制轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩波動，然而這種方法不僅增加了FMPMG結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，而且還削弱了永磁體的磁能利用率.

本文首先基于磁場能量法，建立FMPMG的齒槽轉(zhuǎn)矩數(shù)理模型，以獲得影響齒槽轉(zhuǎn)矩的物理變量，通過分析這些變量得出影響齒槽轉(zhuǎn)矩大小的結(jié)構(gòu)參數(shù);然后建立FEM模型，以內(nèi)轉(zhuǎn)子與調(diào)磁極塊相互作用時產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩為例(外轉(zhuǎn)子的齒槽轉(zhuǎn)矩分析方法與此相同)，提出相應(yīng)的修型與設(shè)計方法，并通過仿真分析證明其可行性與有效性;最后以此為基礎(chǔ)對所建模型進行修型優(yōu)化，從而有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩，提高FMPMG的動力學(xué)性能.

1 齒槽轉(zhuǎn)矩模型建立

FMPMG中內(nèi)轉(zhuǎn)子與調(diào)磁環(huán)作用產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩為內(nèi)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的磁場能量W(α)相對于調(diào)磁環(huán)位置角α的導(dǎo)數(shù)［13］.

設(shè)齒槽轉(zhuǎn)矩為T(α)，則

式(2)中，μ0為真空磁導(dǎo)率，V為磁能體積范圍，G(θ)為氣隙磁導(dǎo)率分布函數(shù)，B(θ，α)為氣隙磁場的磁感應(yīng)強度函數(shù).

設(shè)FMPMG軛鐵的磁導(dǎo)率為無窮大，則內(nèi)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的磁能主要存儲在永磁體及內(nèi)轉(zhuǎn)子與調(diào)磁環(huán)之間的氣隙中，其體積范圍為:

式中，R1、Rm2分別為內(nèi)轉(zhuǎn)子軛鐵外徑和調(diào)磁環(huán)內(nèi)徑，Ls為FMPMG的軸向長度.

將式(3)代入式(2)，得

由于FMPMG的永磁體與調(diào)磁極塊在各自區(qū)域內(nèi)均呈圓周均勻分布，所以函數(shù)G2(θ)，B2(θ，α)可通過傅里葉展開［14］:

式(5)及式(6)中，Nm、No分別為調(diào)磁極塊及內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁體個數(shù)，gnNm、bnNo分別為與之對應(yīng)的傅里葉展開系數(shù).

將式(4)、式(5)及式(6)分別代入式(1)，并由三角函數(shù)的正交性得

式中，NL為Nm與No的最小公倍數(shù)，GnNL與BnNL分別為函數(shù)G(θ)、B(θ，α)的傅里葉展開系數(shù).

由式(7)可知，與FMPMG齒槽轉(zhuǎn)矩大小相關(guān)的變量有 Ls、R1、Rm2、NL、GnNL及 BnNL.

設(shè)計FMPMG時，為使FMPMG的永磁體磁能利用率最大，應(yīng)首先確定R1、Rm2及Ls［15］.此時齒槽轉(zhuǎn)矩僅與NL、GnNL及BnNL相關(guān)，所以需針對NL、GnNL及BnNL分析與之相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并提出相關(guān)修型方法以便進一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，減小齒槽轉(zhuǎn)矩.

2 結(jié)構(gòu)修型與優(yōu)化

設(shè)FMPMG傳遞功率P=5.5 kW，則由文獻［15］可得表1所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其機械結(jié)構(gòu)如圖1所示.

表1 FMPMG結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖1 FMPMG機械結(jié)構(gòu)

2.1 NL與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

由式(7)知:NL與相鄰調(diào)磁極塊間隙個數(shù)相關(guān)，因此改變間隙個數(shù)可以改變NL，進而改變齒槽轉(zhuǎn)矩的大小.

當(dāng)FMPMG傳動比一定時，Nm與No為常數(shù)，則相鄰調(diào)磁極塊間隙數(shù)也為常數(shù)，此時可在圖2所示修型前的調(diào)磁極塊底端開槽以增加間隙個數(shù)并進而改變NL值，修型后結(jié)果如圖所示.

圖2 調(diào)磁極塊修型前后對比

圖中，調(diào)磁極塊底端開槽數(shù)為2，槽間角φ=4.3°，槽寬角 γ=1.4°，槽深 δ=1 mm.

通過FEM計算修型前后的齒槽轉(zhuǎn)矩可得圖3所示齒槽轉(zhuǎn)矩曲線.

圖3 調(diào)磁極塊修型前后齒槽轉(zhuǎn)矩曲線

由圖3可知:調(diào)磁極塊底端開槽后，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值由修型前的696 mN·m減小至修型后的110 mN·m，且齒槽轉(zhuǎn)矩周期角度由原來的2.15°減小至修型后的0.92°，說明調(diào)磁極塊底端開槽后，可使內(nèi)轉(zhuǎn)子相對調(diào)磁環(huán)轉(zhuǎn)動同一角度時的間隙個數(shù)增加(NL由168增至504).由于轉(zhuǎn)子的輸出轉(zhuǎn)矩由平均轉(zhuǎn)矩和NL次諧波轉(zhuǎn)矩(即齒槽轉(zhuǎn)矩)合成［14］，因此當(dāng)諧波轉(zhuǎn)矩次數(shù)增加3倍時，齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)以及波動幅值也相應(yīng)減小.

2.2 GnNL與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

由于FMPMG的調(diào)磁極塊具有周向均布特征，因此其氣隙磁導(dǎo)率函數(shù)G(θ)的分布如圖4所示.

圖4 氣隙磁導(dǎo)率分布圖

由圖4知，G(θ)的傅里葉展開與dc密切相關(guān)，對dc進行修型(即改變極弧角)可使GnNL發(fā)生變化從而改變齒槽轉(zhuǎn)矩.

取表1中的dc值分別為:dc1=11.5°＞ dc與dc2=7°＜dc.通過FEM建模計算齒槽轉(zhuǎn)矩，并將所得齒槽轉(zhuǎn)矩曲線與表1模型的齒槽轉(zhuǎn)矩比較，可得圖5所示的轉(zhuǎn)矩曲線.

圖5 dc修型前后齒槽轉(zhuǎn)矩曲線

圖5中，齒槽轉(zhuǎn)矩分別減小至109 mN·m和247 mN·m，因此合理增大或減小dc均能減小齒槽轉(zhuǎn)矩.這是因為dc變化時，G(θ)中的矩形波寬度也隨之變化，即GnNL也隨之發(fā)生了變化.

由于 G(θ)中不同次展開項擁有不同的GnNL，因此存在對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的展開項.當(dāng)dc為最優(yōu)值時，調(diào)磁環(huán)調(diào)制作用也最優(yōu)，使此展開項中的GnNL取最小值，從而減少無用諧波影響，有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩.

圖5中的計算結(jié)果并未考慮外轉(zhuǎn)子永磁體對調(diào)磁極塊的影響，因此為防止dc減小時出現(xiàn)磁飽和現(xiàn)象，應(yīng)優(yōu)先選擇增大dc的修型方法，這樣在減小齒槽轉(zhuǎn)矩的同時還可保證調(diào)磁極塊具有良好的磁導(dǎo)率.

2.3 BnNL與齒槽轉(zhuǎn)矩關(guān)系

由于BnNL取決于單個永磁體在單位極距下氣隙磁場的有效極弧角，即BnNL與永磁體極弧系數(shù)相關(guān)［15］.為此可在永磁體相互連接處開槽，即對永磁體修型以改變齒槽轉(zhuǎn)矩，如圖6所示.

圖6 永磁體修型前后對比

圖6中，取下槽寬角c=1.8°，上槽寬角d=4.5°.通過FEM計算可得圖7所示的齒槽轉(zhuǎn)矩對比曲線.

圖7中，修型后齒槽轉(zhuǎn)矩的波動幅值減小至449 mN·m.B(θ，α)中各次展開項對應(yīng)氣隙磁場中的各次諧波，而不同諧波對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響也不同.極弧系數(shù)最優(yōu)時，對齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大展開項的BnNL最小.

圖7 永磁體修型前后齒槽轉(zhuǎn)矩

由于各次諧波磁密與極弧系數(shù)呈非線性變化，因此選取極弧系數(shù)時，應(yīng)根據(jù)文獻［16］求出對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的諧波次數(shù).表1中，對齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的諧波次數(shù)為8，因此可通過有限元分析計算求出該次諧波在幅值最小時的極弧系數(shù).

3 修型前后靜、瞬態(tài)特性比較

基于上述三種優(yōu)化方法，分別對表1所示的dc、底端開槽數(shù)及永磁體極弧系數(shù)進行優(yōu)化修型:①通過FEM計算調(diào)整調(diào)磁極塊寬度并獲得最優(yōu)值;②對極塊底端開槽并通過FEM仿真選取合理槽口參數(shù);③選擇不同極弧系數(shù)優(yōu)化內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁體寬度并通過仿真對比獲得最優(yōu)值.

表1優(yōu)化后的模型及修型參數(shù)如圖8及表2所示(未變參數(shù)不在表2列選中).

圖8 調(diào)磁極塊及永磁體修型

表2 表1模型優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)

對表2模型進行齒槽轉(zhuǎn)矩靜態(tài)仿真并與表1對比，可得圖9所示的齒槽轉(zhuǎn)矩對比曲線.

圖9 表1與表2齒槽轉(zhuǎn)矩靜態(tài)曲線

由圖9可知，表2所示的齒槽轉(zhuǎn)矩較表1有顯著減小.將圖9與上述各圖形曲線對比，可知dc修型方法對齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱作用最明顯，且該修型方法僅需改變單個尺寸參數(shù)，因此無論參數(shù)優(yōu)化還是實體加工均較前述其它方法具有更為顯著的優(yōu)勢.

由于FMPMG的靜態(tài)特性未考慮渦流損耗及轉(zhuǎn)動慣量等因素，因此無法反應(yīng)其瞬態(tài)特性.為進一步驗證修型方法的合理性，應(yīng)對表1及表2進行瞬態(tài)仿真分析.

若設(shè)外轉(zhuǎn)子輸入轉(zhuǎn)速ωi=20 r/m，負載轉(zhuǎn)矩TL=42.5 N·m，則表1及表2的轉(zhuǎn)矩瞬態(tài)曲線如圖10所示.

圖10 表1與表2轉(zhuǎn)矩瞬態(tài)曲線

由圖10可知:由于修型后齒槽轉(zhuǎn)矩被極大地削弱，因此表2輸出的轉(zhuǎn)矩曲線由啟動至平穩(wěn)所需的調(diào)整時間也縮短(由1 s減小至0.5 s);同時表2輸出轉(zhuǎn)矩的波動幅值相較表1也明顯減弱，即轉(zhuǎn)矩特性曲線更加平穩(wěn).

4 結(jié)論

(1)優(yōu)化調(diào)磁極塊寬度、轉(zhuǎn)子極弧系數(shù)以及對調(diào)磁極塊進行修型可調(diào)整 G(θ)、B(θ，α)及NL值，實現(xiàn)齒槽轉(zhuǎn)矩減小目的;

(2)設(shè)計FMPMG時，可在粗選參數(shù)基礎(chǔ)上首先優(yōu)化調(diào)磁極塊寬度;然后通過仿真對比確定調(diào)磁極塊各修型參數(shù);最后優(yōu)化永磁體極弧系數(shù).如此反復(fù)可極大減小FMPMG運行時產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩;

(3)相較其它方法，dc修型的效率最高，且加工工藝簡單，可作為FMPMG削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的首選方法;

(4)削弱FMPMG齒槽轉(zhuǎn)矩不僅可使其轉(zhuǎn)矩輸出更加平穩(wěn)，而且縮短了其啟動至平穩(wěn)所需時間，進一步提高了其動力學(xué)性能.

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