CPPI策略風險乘數優化及實證

孫雨薇,王曉慧,周 明

（中央財經大學 中國精算研究院,北京 100081）

0 引言

在劇烈波動的證券市場中，投資組合保險策略能夠通過對組合類型以及組合頭寸的選擇，達到既將風險控制在一定范圍內，又能夠使投資者繼續擁有資產增值的潛力，充分享受市場上漲收益的目的。在我國的金融市場中，投資組合保險策略主要應用于保本基金中。由于對未來市場的難以預測，投資者逐漸對保本型金融產品有了極大地迫切需求。對于既能夠控制風險又能保證投資收益的投資組合保險策略的研究及探討，不僅有利于保本型基金的合理發展，還能夠滿足像保險公司一類的投資機構的資產管理需求。

近幾年的保本基金的投資策略大多采用動態投資組合保險策略，其中CPPI策略居多。CPPI策略由Black&Jones在1987年提出，易于理解、操作簡單、運用靈活，CPPI策略只需要簡單的設置參數就能達到投資組合保險的目的，在我國保險公司的資產管理中，CPPI策略也逐漸被應用。由于保險公司以安全性、流動性、盈利性作為運營的基本原則，并且安全性為首要原則，因此，CPPI策略是當前保險公司進行資產管理非常適合的選擇。自從CPPI策略被提出后，越來越多的學者開始討論如何優化CPPI策略。

1 CPPI模型下最優風險乘數

CPPI投資組合保險策略適用于那些需要降低向下風險以及獲取向上盈利潛力的投資者，該策略將投資資產分配到主動性資產和保留性資產上，保留性資產保持可接受的最低收益率，而主動性資產的預期收益相對保留性資產較高，兩者的關系是相對的。投資者在投資期初設定對投資策略的保本值以及風險偏好程度，在投資期內，投資者可以根據投資市場的走勢情況以及資產相對價格變化對資產配置比例進行調整，從而達到投資組合保險的目的。

1.1 模型建立

在投資期初，投資者根據風險偏好以及初始資產，確定風險乘數m以及投資組合在t時刻的保本值Ft。本文假定Ft的價值過程服從dFt=rFtdt，其中，r為無風險債券復合收益率；令Vt為投資組合在t時刻的總價值，定義投資組合價值與保本值之差為緩沖值，即Ct=Vt-Ft；投資者可選擇將緩沖值的m倍投資于風險性資產，這部分稱為組合的風險暴露，即Et=mCt；投資組合中剩余的資產Dt（Dt=Vt-Et）投資于無風險型資產。假定風險資產的價格過程St服從伊藤隨機微分方程：

其中，期初價格S0＞0，μ(t)表示瞬時期望收益率，σ(t)為瞬時波動率，Bt為標準布朗運動，是風險資產的唯一風險源。

基于上述模型，首先我們可以推導，在CPPI策略在下資產總值Vt滿足隨機微分方程為：

其中，μc=mtμt+( )1-mtrt，σc=mtσt。最后，基于假定風險資產的價格過程(1)和緩存值Ct的表達式（3），我們可以推導得到，在CPPI策略中采用乘數m，投資組合資產總價值Vt的表達式為

1.2 CPPI策略最優風險乘數求解

在本節中，我們將分別在投資長期增長率和冪效用函數兩個標準，探討投資者在期初如何選擇最優的風險乘數，從而使得超出保障部分的組合價值的投資長期增長率或者冪效用函數最大化。為了方便起見，我們假設無風險債券收益率rt、風險資產的瞬時收益率μt與波動率σt，在一個投資周期內保持不變，分別為常數r，μ，σ。此外，為了盡量降低調整風險乘數引起的分析及交易成本，本文假定，投資者在某一確定的投資周期期初確定投資規模V0以及保本值F0，以及根據根據某種優化準則確定風險乘數。乘數在整個投資期內不做任何調整。投資者可以通過事先研究證券市場的周期性，來確定自己的投資周期。

1.2.1 基于投資長期增長率的最優風險乘數

投資長期增長率是投資者在評價投資績效時最直接、有效的評價指標。首先，我們給出投資長期增長率得定義。假設用Xt表示某投資的資產盈余過程，則該投資的長期增長率定義為

以投資增長率為優化目標，尋找可使得CPPI策略的投資過程長期增長率最大的風險乘數，是我們需要解決的問題。根據投資組合資產總價值Vt的表達式（4）式可知，在CPPI策略下，投資組合資產總值包括兩部分，一部分為保本值Ft=F0ert，另外一部分為緩沖值Ct=Vt-Ft。保本值以固定收益率r累計，根據長期收益率的定義，

這部分與風險乘數m無關。調解風險乘數，可以改變的是緩沖值部分的長期收益率。因此，我們要解決的優化問題變為：

結論1：可使得CPPI策略下投資緩沖價值過程的長期收益率達到最大的最優乘數為

從結論1可以看出，通過最大化長期投資收益率，我們可以采用一個非常簡單的風險乘數（7），它與證券市場的風險價格類似（通常，風險的市場價格定義為(μ-r)/σ，但也有部分學者將風險的市場價格直接定義為（7）式）。總之，結論1告訴我們一個簡單、明確的最優乘數設定方案，在實務操作中簡單易行，且在該乘數下，緩沖值的長期收益率要確定高于無風險債券的收益率。這點充分體現出了最優乘數CPPI策略進行投資的優越性。

以長期投資收益率為優化目標直接、明確，但不能有效反應投資者不同的風險厭惡程度。因此，在下節中我們引入可以體現投資者風險厭惡程度的效用函數為優化目標。

1.2.2 基于冪效用函數的最優風險乘數

在經濟學中，通常用效用函數U(x)來表示市場參與者的風險厭惡程度。常用的效用函數有兩種，一種為具有常數絕對風險厭惡系數（CARA）的指數形式效用函數，另一種為具有常數相對風險厭惡系數（CRRA）的冪效用函數。為了使得結論和上文統一，我們這里采用CRRA效用函數，即投資者的效用函數為

其中，參數γ表示投資者的相對風險厭惡系數。

從投資者期望效用函數最大化的角度來研究投CPPI策略下的最優乘數問題。同樣的，由于保本部分是一個確定的函數，我們只考慮緩沖值部分的期望效用最大化。因此，優化問題為：

其中T為投資周期的跨度。

結論2：在CRRA效用下，可使得CPPI策略中投資緩沖價值期末效用最大的最優乘數為

對比結論1和2可知，考慮了投資者風險厭惡程度的因素，最優風險乘數發生了改變，與投資者風險厭惡系數成反比關系。風險厭惡程度越大，用于投資風險資產的比例就越低，這與直觀相符。特別的，當投資者風險厭惡系數γ=0時，投資者效用函數為對數效用函數，最大化期望效用與最大化長期投資收益率的最優風險乘數是一致的。換句話說，市場中風險厭惡系數γ=0的投資者最終能夠獲得最高的投資收益率。這一點是尤其需要我們引起注意的。

結論3：過度風險厭惡（γ＜0）或風險厭惡不足（1＞γ＞0）均使得長期投資收益率降低。特別地，當風險厭惡γ＞0.5時，緩沖值的長期收益率將低于無風險收益率。

2 實證分析

本文選取上證綜合指數每日收盤數據作為樣本數據對CPPI策略及最優風險乘數的績效進行實證分析，并且將不同經濟形勢下的采取不同風險乘數的CPPI策略績效進行比較，最后得出比較分析結果。共考慮三種市場走勢情況，即多頭時期、空頭時期以及震蕩時期。由于2006年年底至2008年年底的波動幅度巨大，不具有一般性，因此，本章的實證分析將不選取該段時期的歷史數據。其中，多頭時期選取1996～2000年的5年數據，空頭時期選取2001～2005年的5年數據，震蕩時期選取1998～2002年的5年數據。

2.1 參數估計

表1 市場不同時期的參數估計

2.2 不同時期的CPPI策略的績效比較

為了研究不同時期對CPPI策略的績效表現的影響程度，本文選取上證綜合指數歷史數據，統一采用目前市場常用的風險乘數m=3，最低保本數額為90%，即9000萬元，分析比較CPPI策略的收益率。

2.2.1 多頭時期的CPPI策略績效比較

1996年1月1日到2000年12月31日，上證綜合指數由555.29點幅漲至2073.48點，漲幅超過3倍。

表2 多頭時期CPPI策略的績效表現

如表2所示，多頭時期，股市價格持續上漲，收益率達到273.40%。CPPI策略采用“追漲殺跌”的操作方法，設定的風險乘數越大，投資于風險性資產的比例就越多。但是由于CPPI策略中無風險性資產的配置，使得最終CPPI策略的期末收益率低于上證綜指的收益率，取得了124.70%的收益，失去了一部分上漲的收益。

2.2.2 空頭時期的CPPI策略績效比較

2001年1月1日到2005年12月31日，上證綜合指數由2073.48點下跌至1161.06點，下跌了44%。如表3所示，空頭時期，股市價格持續下跌，而CPPI策略由于無風險性資產的比例以及保本數額的確定，使得CPPI策略在經濟形勢極其惡劣的情況下，仍然能夠保持保本值。由于在投資期初設定了90%的最低保本數額，因此，在投資期內CPPI策略的下跌程度絕對不會超過10%，期末收益率尤其接近無風險利率，很大程度上使投資者在暴跌的市場行情下能夠避免遭受巨大損失。

表3 空頭時期CPPI策略的績效表現

2.2.3 震蕩時期的CPPI策略績效比較

在震蕩時期，本文選取了1998年1月1日至2002年12月31日，上證綜合指數價格先上漲后下跌，從期初的1194.1點漲至最高點2218.03點，之后下跌至期末1357.65點，上漲13.70%。

表4 震蕩時期CPPI策略的績效表現

從表4可以看出，在上證綜合指數價格震蕩時期，由于上證綜指整體呈現出上升的趨勢，因此這個時期的CPPI策略價格也出現了上升。然而，上升的幅度小于上證綜指的上升幅度。

通過上述三種價格變化時期的CPPI績效比較，可以看出，CPPI策略作為投資組合保險策略的一種，完全可以達到獲得向上收益、減小向下損失的效果，并且，在股市價格巨幅上升時，CPPI策略的收益率有限，低于股市價格上升幅度，但是當股市價格巨幅下降時，CPPI策略的保本效果明顯，將資產總價值控制在最低保本限額。因此，CPPI策略確實是一種適用于穩健型投資者的理想的投資組合保險策略。

2.2.4 不同風險乘數下的CPPI策略的績效比較

在不同行情下，同樣統一設定最低保險數額為90%，分別設定期初風險乘數為前文所求解的最優風險乘數并選取最優風險乘數的周邊數值，進行分析對比，從而研究不同的風險乘數對CPPI策略的績效影響程度以及最優風險乘數的優越性。仍然將期末收益率作為績效評價指標。各種情況下的CPPI策略績效如表5所示：

由表5我們可以得出以下結論：在多頭時期，股市價格持續上升，期初風險乘數越大，CPPI策略捕捉向上收益的能力就越強，體現在CPPI策略的期末值越大，期末收益率有著一定程度的提高。當期初風險乘數等于3.5時，CPPI策略的期末收益率最高，當期初風險乘數高于或低于3.5時，CPPI策略的期末收益率均低于期初風險乘數等于3.5時的期末收益率。因此，在這段投資期，采用期初風險乘數為3.5作為最優風險乘數，將會使得CPPI策略的期末收益率達到最大。

在空頭時期，股市價格持續下降，當風險厭惡型投資者對股市的預期收益率低于無風險利率時，較傾向于提高投資于無風險性資產的比例，期初風險乘數越大，風險性資產乘以風險乘數后，價格下降的越多，投資者將遭受更大的損失。因此，在期初風險乘數為2時，CPPI策略的上升幅度最大，為6.78%，幾乎接近無風險利率。如果令期初風險乘數為1，CPPI策略的上升幅度會更大，但是，此時的CPPI策略將成為買入并持有策略，即在投資期內，投資者將不會對風險性資產與無風險性資產的配置比例做出調整。因此，將期初風險乘數設定為2是這段時期的最優風險乘數。并且，從表中可以看出，使用CPPI策略，投資者在投資期結束后的下跌幅度都將遠遠小于上證綜合指數價格的下跌幅度，進一步證明了CPPI策略在股價巨幅下跌的空頭市場是非常有效的。

表5 各個時期不同期初風險乘數下的CPPI策略績效

在震蕩時期，股市價格變動幅度不大，本章的實證分析中選取的震蕩時期，期末收益率為正值，但是整體波動不大。采用CPPI策略后，在股價上升時，累計收益率低于上證綜指累計收益率，在股價下跌時，采取CPPI策略也在一定程度上減小了資產價值下跌幅度。從表中可以看出，在這段震蕩時期，期初風險乘數為1.27為最優風險乘數，期末收益率最高。

3 結論

固定比例投資組合保險策略操作簡單、易于理解，目前在國內的金融市場，尤其在保本基金中的應用已經非常廣泛。當股市價格上升時，期初風險乘數越大，投資者對風險性資產的投資比例越大，獲得的收益越多；當股市價格下跌時，期初風險乘數越大，投資者遭受的損失就越大。還有一些問題需要今后進一步研究探討。首先，本文假設風險乘數在期初設定后保持不變。我們可以借助動態控制理論探討如何優化動態調整的風險乘數；其次，本文僅分析了不同時期與不同風險乘數下的CPPI策略的績效，后續研究可以引入更多的參數，比如設置不同的保本率，分析比較不同參數對CPPI策略的績效影響程度，并且可以引入其他投資組合保險策略，如買入并持有策略或者TIPP策略，與CPPI策略進行分析比較。

[1]王春峰,屠新曙,厲斌.效用函數意義下投資組合有效選擇問題的研究[J].中國管理科學，2002，（10）.

[2]程兵,魏先華.投資組合保險CPPI策略研究[J].系統科學與數學,2005,（25）.

[3]杜少劍,陳偉忠.CPPI投資組合保險策略的實證分析[J].財貿研究,2005,(1).

[4]張大偉,陳亮.基于效用函數下的最優投資組合問題研究[J].產業與科技論壇,2008,(7).

[5]高璐.股票指數幾何布朗運動模擬及實證分析[J].現代經濟信息,2010,(6).

[6]徐競.基于馬爾科夫鏈的動態CPPI投資策略及實證分析[J].重慶理工大學學報,2012,(26).

[7]Jamil Baz,George Chacko.金融衍生工具定價、應用與數學[M].北京大學出版社,2005.

[8]Black F.and Scholes M.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].The Journal of Political Economy,1973,81(3).

[9]Cipollini A.Capital Protection:Modeling the CPPI Portfolio[M].Italy:University of Milan-Bicocca,2012.

[10]Mkaouar F Prigent J L.Constant Proportion Portfolio Insurance Effectiveness under Transaction Costs[J].International Journal of Business,2010，15(3).