ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其功效比較

趙春艷，南士敬

（西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061）

0 引言

指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型（ESTAR）是STAR系列模型中的一種，它的一階形式如式（1）所示：

其中，γ稱為斜率參數(shù)，代表兩種機(jī)制的轉(zhuǎn)換速度；st是轉(zhuǎn)換變量，它是導(dǎo)致yt由一種機(jī)制轉(zhuǎn)換為另一種機(jī)制的變量，單變量分析中，st可以選擇 yt-d（d為滯后期），也可以選擇時(shí)間項(xiàng)t；c稱為位置參數(shù)，是導(dǎo)致yt機(jī)制轉(zhuǎn)換的具體位置。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，ESTAR模型的最大特點(diǎn)體現(xiàn)在其轉(zhuǎn)換函數(shù) G(·)上，參數(shù) γ、c 決定了 G(·)的變化情況。γ越大，yt變化的速度越快。當(dāng) st→+∞和st→-∞ 時(shí)，均有G(·)=1，ESTAR模型變成普通線性AR模型，在轉(zhuǎn)折點(diǎn) c處，G(·)=0，因此，ESTAR模型中存在一個(gè)外制度和一個(gè)內(nèi)制度,st→±∞，對應(yīng)的是外制度，st→c時(shí)，對應(yīng)內(nèi)制度。

ESTAR模型常用來描述匯率偏離其購買力平價(jià)的行為，也稱為均值回復(fù)。由于交易成本的存在，匯率會在不同機(jī)制間轉(zhuǎn)換。當(dāng)匯率從均衡匯率有一個(gè)小的偏離時(shí)，商品套利的利潤不能彌補(bǔ)交易中必要的成本，這意味著在均衡匯率水平附近有較小的偏離時(shí)，匯率沒有回到其均值水平的傾向[1]。過了這個(gè)偏離區(qū)間，商品套利能獲利，這使得匯率水平能回到其均值水平。這里的均值水平就是位置參數(shù)c，因此，在c附近以及遠(yuǎn)離c的區(qū)間，匯率波動的行為是有差異的。

同STAR模型的其它形式一樣，ESTAR模型建模前要識別序列的平穩(wěn)性，本文旨在提出對ESTAR模型進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，并對其功效進(jìn)行檢驗(yàn)和比較。

1 文獻(xiàn)綜述

ESTAR模型作為一種非線性模型，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題是與其線性檢驗(yàn)相聯(lián)系的，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性決定了線性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，其平穩(wěn)性的檢驗(yàn)尚在爭論中。一類平穩(wěn)性檢驗(yàn)是利用傳統(tǒng)的ADF檢驗(yàn)，在線性AR模型中進(jìn)行[2]。這些文獻(xiàn)都是先對序列建立AR模型，并在其中進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，若單位根存在，則再用所提到的非標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行線性檢驗(yàn)[3]。這類研究利用ADF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)ESTAR模型數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，由此可以推測，它們對于ESTAR模型數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的含義同線性模型數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的含義是相同的。

與上述研究不同，另一種平穩(wěn)性檢驗(yàn)是在非線性模型中進(jìn)行的，而且提出了不同于線性模型平穩(wěn)性的概念。Kapetanios等（2003）以一階ESTAR模型為例，提出關(guān)于ESTAR模型的平穩(wěn)性概念，即整體平穩(wěn)、中間單位根的概念[4]。設(shè){yt}是均值為零的隨機(jī)過程，適合ESTAR模型，如式（3）所示。

檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量如式（8）所示，在單位根條件下，tNL統(tǒng)計(jì)量的分布是非標(biāo)準(zhǔn)的。接受H0，序列是線性單位根過程；接受H1，序列是有單位根的ESTAR模型。

Kapetanios等（2003）在研究時(shí)，假設(shè)ESTAR模型自然地在序列的中間區(qū)域存在單位根，這樣其應(yīng)用會受到限制，并且所謂的單位根檢驗(yàn)其實(shí)是單位根條件下的線性檢驗(yàn)而并非非線性單位根檢驗(yàn)。

Kilic（2011）同樣研究了ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)的模型形式同式（6）。只是與Kapetanios等（2003）不同的是，由于γ未知，參數(shù)δ無法估計(jì)，為解決這個(gè)問題，Kilic（2011）建議在參數(shù)γ的空間中取可能的t值的最小值，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

其中，Sst是st的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，γ在st的樣本標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的區(qū)間中搜索，γ的每個(gè)值對應(yīng)有相應(yīng)的δ^及t值，最小的t值即為ESTAR單位根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量值。[5]

現(xiàn)在我們分析前文的兩條研究線索。第一條研究線索中的單位根檢驗(yàn)是在線性AR模型中用ADF統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的，這意味著他們認(rèn)為，STAR模型的平穩(wěn)性同線性模型的平穩(wěn)性是一樣的。我們認(rèn)為非線性模型的平穩(wěn)性同線性模型是不一樣的，此時(shí)存在的問題是，序列本身適合的是非線性模型，而建立線性模型對其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，這有可能降低檢驗(yàn)的功效[6]。

第二條研究線索是Kapetanios等（2003）、Kilic（2011）等的研究，他們的單位根檢驗(yàn)在非線性ESTAR模型中進(jìn)行，而且提出了不同于線性模型的平穩(wěn)性概念，只是在檢驗(yàn)中，直接假定單位根存在，并沒有進(jìn)行檢驗(yàn)。

圖1 φ1=1，θ1=-1.5，γ=0.01

圖2 φ1=0.8，θ1=-0.3，γ=0.05

因此，我們認(rèn)為ESTAR模型中，式（1）中φ1是否等于1需要檢驗(yàn)。

鑒于此，本文以一階ESTAR模型為例，說明在其中進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的問題，尋找適合非線性模型單位根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其分布。

2 ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

由于ESTAR模型中有非線性函數(shù)，不易進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，人們提出用泰勒展式替代原模型。在數(shù)學(xué)上，二階泰勒展式能近似逼近ESTAR模型，這要比Kapetanios等（2003）的一階泰勒展式更接近ESTAR模型。Dijk（2000）也提到用ESTAR模型的二階泰勒展式進(jìn)行線性檢驗(yàn)[9]。因此，本文用ESTAR模型的二階泰勒展式進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，假定轉(zhuǎn)換變量st為 yt-1，以一階ESTAR模型為例進(jìn)行。ESTAR模型的二階泰勒展式為式（13）：

接下來，運(yùn)用蒙特卡洛試驗(yàn)（20000次）得到t統(tǒng)計(jì)量的臨界值如表1所示，由于小樣本時(shí)，參數(shù)估計(jì)往往會存在奇異矩陣，為了保證結(jié)果的穩(wěn)定性，本文只給出了大樣本的臨界值。從表1可以發(fā)現(xiàn)，樣本容量對于t統(tǒng)計(jì)量臨界值的影響并不大。在給定的顯著性水平下，當(dāng)t統(tǒng)計(jì)量值小于tα?xí)r，拒絕H0，說明序列是平穩(wěn)的；當(dāng)t統(tǒng)計(jì)量值大于tα?xí)r，接受H0，即序列存在單位根。與傳統(tǒng)單位根檢驗(yàn)的DF統(tǒng)計(jì)量的臨界值相比，我們發(fā)現(xiàn)，非線性檢驗(yàn)中的t統(tǒng)計(jì)量在相同概率下的臨界值比DF統(tǒng)計(jì)量大，只有當(dāng)樣本量趨于無窮時(shí)，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的臨界值才趨于相等。

表1 t統(tǒng)計(jì)量的臨界值

3 TAR模型單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的功效比較

為了驗(yàn)證本文提到的t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)ESTAR模型中單位根的功效，我們用蒙特卡洛試驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，并且與DF單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和Kapetanios等（2003）提出的tNL統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行比較。本試驗(yàn)的目的是：數(shù)據(jù)本身是按照有單位根的模型（1）生成的，現(xiàn)在考察本文提出的t統(tǒng)計(jì)量，傳統(tǒng)單位根檢驗(yàn)的DF統(tǒng)計(jì)量以及Kapetanios等（2003）提出的tNL統(tǒng)計(jì)量能否真正檢驗(yàn)出序列的平穩(wěn)性及其各自的功效。

具體進(jìn)行蒙特卡洛試驗(yàn)時(shí)，要求模型（1）中：

各參數(shù)所賦的值同Kapetanios等（2003）的完全相同[4]，這樣可以相互比較。模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)后，分別對其擬合模型（13）、模型（6）和AR（1），并分別計(jì)算相應(yīng)模型的t統(tǒng)計(jì)量、tNL統(tǒng)計(jì)量及DF統(tǒng)計(jì)量，試驗(yàn)次數(shù)為20000次。t統(tǒng)計(jì)量和DF統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效用它們的零假設(shè)接受概率來表示，也就是20000個(gè)t值當(dāng)中，大于臨界值（存在單位根）的個(gè)數(shù)所占的比重，因?yàn)榫托蛄械纳蛇^程來看，序列是按模型（1）生成的有非線性特征、存在單位根的序列，如果接受單位根的原假設(shè)，則表明該統(tǒng)計(jì)量能檢驗(yàn)出單位根，檢驗(yàn)的功效高，因此，接受概率越高，則檢驗(yàn)功效越高。Kapetanios等（2003）的tNL統(tǒng)計(jì)量功效用零假設(shè)的拒絕概率表示[4]，因?yàn)槭剑?）中的H0表示線性單位根過程，而H1表示有單位根的ESTAR模型。為便于比較，我們將Kapetanios等（2003）的試驗(yàn)結(jié)果放在DF統(tǒng)計(jì)量及tNL統(tǒng)計(jì)量概率值下面的括號內(nèi)，只是DF統(tǒng)計(jì)量的概率值做了處理，沒有用拒絕H0的概率而是用接受H0的概率表示功效，因?yàn)榻邮蹾0才表示其能檢測出單位根。試驗(yàn)的結(jié)果如表2所示：

表2 非平穩(wěn)的ESTAR序列的單位根檢驗(yàn)功效比較

從表2中可以看出：

圖3 φ1=1，θ1=-0.1，γ=0.01

4 結(jié)論

（1）ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)在其二階泰勒展式中進(jìn)行，本文提出用參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，并給出其極限分布和臨界值。

（2）通過給參數(shù)賦值產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，用t統(tǒng)計(jì)量、tNL統(tǒng)計(jì)量及DF統(tǒng)計(jì)量同時(shí)對數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。結(jié)果顯示，DF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)功效最低，t統(tǒng)計(jì)量與tNL統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)功效接近，但前者的穩(wěn)定性高于后者。

[1]張衛(wèi)平.購買力平價(jià)非線性檢驗(yàn)方法的進(jìn)展回顧及其對人民幣實(shí)際匯率的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)學(xué)（季刊）,2003，(4).

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[5]Kilic R.Testing for a unit root in a stationary ESTAR process[J].Econometric Reviews,2011，(3).

[6]趙春艷.平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型中線性檢驗(yàn)與單位根檢驗(yàn)問題研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2010，(7).

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